课时作业(42) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十二)　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [基础保分练] 1．(2023·江苏如皋中学高三开学考试)直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　) A．， B．－，－ C．－，－ D．－， C　解析：将直线变形为斜截式得y＝－x－，所以直线的斜率为－，在y轴上截距为－. 2．(2023·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，1) B．(－1，2) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) A　解析：由题意知＜0， 即＜0，解得－2＜a＜1. 3.如图，直线l的方程是(　　) A．x－y－＝0 B．x－2y－＝0 C．x－3y－1＝0 D．x－y－1＝0 D　解析：由题图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k＝tan 30°＝，又直线l与x轴的交点为(1，0)，由直线的点斜式方程可得l：y－0＝(x－1)，即x－y－1＝0. 4．在直角坐标系中，直线x－2y＋3＝0经过(　　) A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 A　解析：由x－2y＋3＝0，令x＝0可得，y＝；令y＝0可得x＝－3，即直线x－2y＋3＝0过点(0，)，(－3，0)，所以直线x－2y＋3＝0经过一、二、三象限． 5．直线2x cos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． B　解析：直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α. 因为α∈，所以≤cos α≤， 因此k＝2cos α∈[1，]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈， 即倾斜角的取值范围是. 6．(2023·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　) A．0° B．1° C．2° D．3° C　解析：∵O，O3都为五角星的中心点， ∴OO3平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°， 过O3作x轴的平行线O3E，如图， 则∠OO3E＝α≈16°， ∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°. 7．过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________. 答案：5x＋3y＝0或x－y＋8＝0　解析：①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x－y＝a，代入点(－3，5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0. 8．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________． 答案：和－3 　解析：设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋，其斜率为tan (α＋)，根据题意tan (α＋)＝2，可得＝＝2，解得tan α＝，即正方形其中一边所在直线的斜率为，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为－3. 9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为. 解：(1)由题意知，直线l斜率存在． 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4， 它在x轴、y轴上的截距分别是－－3，3k＋4， 由已知，得(3k＋4)(＋3)＝±6，解得k1＝－或k2＝－. 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，解得b＝±1. 所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程． 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan (180°－30°)＝－， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C(，)， 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，). 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. [技能提分练] 11．直线ax＋by－1＝0经过一、三、四象限的充要条件是(　　) A．ab＞0 B．ab＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 C　解析：直线ax＋by－1＝0经过第一、三、四象限，等价于其横截距、纵截距都存在且横截距为正值，纵截距为负值，由于横截距、纵截距都存在，故ab≠0，由于直线方程可化为＋＝1，横截距为，纵截距为，所以直线ax＋by－1＝0经过第一、三、四象限的充要条件是即 12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，|AC|＝|BC|，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0 C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 D　解析：线段AB的中点为M(1，2)，kAB＝－2，∴线段AB的垂直平分线为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.∵|AC|＝|BC|，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为x－2y＋3＝0. 13．(2023·淄博实验中学月考)已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线恒过定点(　　) A． B． C． D． D　解析：直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0， 令得 ∴直线恒过定点. 14．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为________． 答案：　解析：∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0. 又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3， ∴＝3，解得m＝0，∴a＋c＝3. 则＋＝(a＋c)(＋)＝ (＋＋)≥(＋2 )＝，当且仅当c＝2a＝2时取等号． 15.如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？ 解：如图建立平面直角坐标系，则P点坐标为(3，4)， 设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)， 所以A(3－，0)，B(0，4－3k)， 所以△ABO的面积S＝(4－3k)(3－)＝ (24－9k－). 因为k<0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号． 此时，A(6，0)，B(0，8)，所以人行道的长度为10米． [素养拉分练] 16．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正实数，则＋的最小值为________． 答案：4　解析：已知直线kx－y＋2k－1＝0，整理得y＋1＝k(x＋2)，由直线恒过定点A，得A(－2，－1).因为点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，所以2m＋n＝2，整理得m＋＝1，由于m，n均为正数，则＋＝(m＋)(＋)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当 即时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$