课时作业(40) 空间向量及其运算（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十)　空间向量及其运算 [基础保分练] 1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 D　解析：由题意知a·(a－λb)＝0， 即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 2．(2023·江苏南通模拟)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四点共面， 当P，A，B，C四点共面时，x＋y＋z＝1，x，y，z的值不确定．故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件． 3．(2023·山东烟台二中月考)直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l∥α或l⊂α D．l与α的位置关系不能判断 B　解析：直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)，显然它们共线，所以l⊥α. 4.(2023·四川南充模拟)如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． D　解析：∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－， 故||＝. 5．(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列结论正确的有(　　) A．与是共线向量 B．与共线的单位向量是(1，1，0) C．与夹角的余弦值是－ D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) CD　解析：对于A，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，不存在实数λ，使得＝λ， 所以与不是共线向量，所以A错误； 对于B，因为＝(2，1，0)，所以与共线的单位向量为或，所以B错误； 对于C，向量＝(2，1，0)，＝(－3，1，1)， 所以cos 〈，〉＝＝－，所以C正确； 对于D，设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)， 因为＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)， 所以即 令x＝1，则n＝(1，－2，5)，所以D正确． 6．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝______． 答案：　解析：由条件得 解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝. 7．正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则 ·的取值范围是________． 答案：[0，1]　解析：如图所示， 由题意，设＝λBD1，其中λ∈[0，1]， ·＝ ·(＋ )＝ ·(＋λBD1)＝ 2＋λ ·BD1＝1＋ λ·(－)＝1－λ∈[0，1]. 因此 · 的取值范围是[0，1]. 8．(2023·山东青岛模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________． 答案：垂直　解析：以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1， 则A(0，0，0)，M，O，N. ∵·＝·＝0， ∴ON与AM垂直． 9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离． 解：∵∠ACD＝90°，∴ ·＝0.同理 ·＝0. ∵AB与CD成60°角，∴〈， 〉＝60°或120°. 又∵＝＋＋， ∴| |2＝| |2＋| |2＋| |2＋2 ·＋2·＋2 ·＝3＋2×1×1×cos 〈， 〉． 当〈， 〉＝60°时，| |2＝4； 当〈， 〉＝120°时，| |2＝2， ∴| |＝2或，即B，D间的距离为2或. 10.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB. (1)证明：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F， ＝，＝(0，a，0). 因为·＝0，所以⊥，即EF⊥CD. (2)解：设G(x，0，z)，则＝， ＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)， 若使GF⊥平面PCB，则需·＝0， 且·＝0， 由·＝·(a，0，0)＝ a＝0，得x＝， 由·＝·(0，－a，a)＝ ＋a＝0，得z＝0. 所以G点坐标为， 即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB. [技能提分练] 11．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么(　　) A． · < · B． ·＝ · C． · > · D． · 与 · 的大小不能比较 C　解析：取BD的中点F，连接EF， 则EF∥CD且EF＝ CD. 因为AE⊥BC，〈， 〉＝〈， 〉>90°，所以 ·＝0， · <0，因此 · > ·. 12．(多选)下面四个结论正确的是(　　) A．向量a，b(a≠0，b≠0)，若a⊥b，则a·b＝0 B．若空间四个点P，A，B，C，＝＋，则A，B，C三点共线 C．已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－3，x，9)，若x<，则〈a，b〉为钝角 D．任意向量a，b，c满足(a·b)·c＝a·(b·c) AB　解析：由向量垂直的充要条件可得A正确； ∵＝＋， ∴－＝－， 即＝3， ∴A，B，C三点共线，故B正确； 当x＝－3时，两个向量共线，夹角为π，故C错误； 由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误． 13．如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 设B(0，1，0)，A(0，0，1)，P(x，y，0)， 则＝(0，1，－1)，＝(x，y，－1)， cos 〈，〉＝＝， 整理得3x2＋(y－2)2＝3. 所以点P的轨迹是椭圆． 14.(2023·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝________；EF＝________． 答案：　　解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ∵正方体棱长为1， 则E，F， ∴＝，＝， ＝， cos 〈，〉＝＝＝， ∴cos ∠EAF＝， EF＝||＝＝. 15．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，MN是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是____________． 答案：[0，8]　解析：当弦MN的长度最大时，弦过球心O，如图，建立空间直角坐标系，不妨设M，N是上、下底面的中心， 则M(2，2，4)，N(2，2，0)，P(x，y，z)， ＝(2－x，2－y，4－z)，＝(2－x，2－y，－z)， 则·＝(2－x)2＋(2－y)2－z(4－z)＝ (x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2－4， 而(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2表示点P(x，y，z)和定点(2，2，2)距离的平方，很显然正方体的顶点到定点(2，2，2)距离的平方最大，最大值是()2＝12，正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是4，所以·的最小值是4－4＝0，最大值是12－4＝8. [素养拉分练] 16．如图，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． (1)证明：设BD与AC交于点O， 则BD⊥AC，连接A1O， 在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， 所以A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AO cos 60°＝3， 所以AO2＋A1O2＝AA，所以A1O⊥AO. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD， 且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC， A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD. 以O为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)， D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，). 由于＝(－2，0，0)，AA1＝(0，1，)， AA1·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0， 所以⊥AA1，即BD⊥AA1. (2)解：假设在直线CC1上存在点P， 使BP∥平面DA1C1， 设＝λCC1，P(x，y，z)， 则(x，y－1，z)＝λ(0，1，). 即P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ). 设平面DA1C1的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 又A1C1＝(0，2，0)，DA1＝(，0，)， 则取n1＝(1，0，－1)， 因为BP∥平面DA1C1，所以n1⊥， 即n1·＝－－λ＝0，解得λ＝－1， 即点P在C1C的延长线上，且||＝|CC1|. 学科网（北京）股份有限公司 $$