课时作业(36) 基本立体图形及其表面积、体积（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(三十六)　基本立体图形及其表面积、体积 [基础保分练] 1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆柱、一个圆台 D．一个圆柱、两个圆锥 D　解析：从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图． 2．如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为(　　) A．2 B． C．2 D．4 D　解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的倍，故原图形的面积为·＝4. 3．(2023·惠州调研)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”，则这个问题中，葛藤长的最小值为(注：1丈等于10尺)(　　 ) A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 C　解析：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为＝26(尺)，即为2丈6尺． 4．(2023·陕西西安中学月考)在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A． B． C． D．2π C　解析：由题意可知旋转后的几何体如图，直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体， 所以该组合体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π×12×2－×π×12×1＝. 5.(多选)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则(　　 ) A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米 C．正四棱锥的侧面积为24平方米 D．正四棱锥的侧面积为12平方米 AC　解析：如图，在正四棱锥S­ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点， 则SH⊥AB，设底面边长为2a. 因为∠SHO＝30°， 所以OH＝AH＝a，OS＝a，SH＝a. 在Rt△SAH中，a2＋＝21， 解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝×6×2×4＝24(平方米). 6．已知圆锥的侧面积(单位： cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________． 答案：1　解析：如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2. 由于侧面展开图为半圆，可知πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1. 7．(2021·重庆巴蜀中学月考)在三棱台ABC­A1B1C1中，棱AA1，BB1，CC1的中点分别是D，E，F，已知＝，记三棱台ABC­DEF，A1B1C1­DEF的体积分别是V1与V2，则＝________． 答案： 　解析：如图所示，分别延长AA1，BB1，CC1相交于点P， 记VP­A1B1C1＝V，则VP­DEF＝8V，VP­ABC＝27V，则V1＝19V，V2＝7V，则＝. 8．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体称为正八面体，则图中正八面体体积为________；若图中正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为________． 答案：　　解析：由题图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的对角线是正方体的棱长2，故底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为2××()2×1＝.由题图中几何关系知正八面体的外接球，即正方体的内切球，故半径R＝1，所以体积V＝π·13＝. 9．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积． 解：如图所示，连接AB1，AC1. 因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积． 又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等， 所以VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝VA­BB1C1C. 又VA­A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1， VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m， 所以VA­A1B1C1＝， 所以VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝， 所以VA­BEFC＝×＝， 即四棱锥A­BEFC的体积是. 10．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积． 解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5， 所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°. 又球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心，也是Rt△ABC的外接圆的圆心， 所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示). 设O′C＝r，OC＝R，即球半径为R，截面圆半径为r， 在Rt△O′CO中，由题设知 sin ∠O′CO＝＝，所以∠O′CO＝30°， 所以＝cos 30°＝，即R＝r.(*) 又2r＝AC＝30，所以r＝15，代入(*)得R＝10. 所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10)2＝1 200π. 球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4 000π. [技能提分练] 11．(多选)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　) A．π B．(1＋)π C．2π D．(2＋)π AB　解析：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，所以所形成的几何体的表面积是S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝(＋1)π.如果绕斜边旋转，形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π或π. 12．(2023·江西南昌月考)《数书九章》第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸(注：1尺＝10寸)时，平地降雨量是(　　) A．9寸 B．7寸 C．8寸 D．3寸 D　解析：由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为×(14＋6)＝10寸，则盆中水体积为π×9×(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平地降雨量为＝3(寸). 13．小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图①所示)，并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图②所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则的值为________． 图①　　　　　　图② 答案：　解析：∵点心盒的长、宽、高之比是2∶2∶1， ∴设点心盒的长、宽、高分别为4a，4a，2a. 由题意可得l1＝4×a＋4×2a＝12a， l2＝4×4a＋4×2a＝24a， ∴＝＝. 14．(2023·山东日照月考)某市民广场有一批球形路障球(如图①所示).现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳(如图②所示).其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面(6个正方形、8个正三角形)，它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．经过测量，这批球形路障球每个直径为60 cm，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体的表面积为________cm2. 答案：5 400＋1 800　解析：由题意知，立方八面体表面有8个正三角形，再加上6个小正方形，且正方形边长与正三角形边长相等，路障球为立方八面体的外接球．设立方八面体棱长为a，外接球直径d＝＝2a＝60，则a＝30.立方八面体表面积S＝6a2＋8×a2＝5 400＋1 800. 15．(2023·广东高三月考)在空间中，定义“点到几何图形的距离”为这个点到几何图形上各点距离中的最小值．现有边长为2的正方形ABCD，则到定点A距离为1的点围成的几何体的体积为________；该正方形ABCD区域(包括边界以及内部的点)记为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为________． 答案：　8＋　解析：到定点A距离等于1的点所围成的几何体是半径为1的球，其体积V＝π×13＝；由题意可知，几何体为组合体，是一个棱长为2的正方体和四个高为2，底面半径为1的半圆柱及四个半径为1的四分之一球，其体积为V＝2×2×2＋4××π×12×2＋4××π×13＝8＋. 16．如图所示，一边长为30 cm的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，求等腰三角形的底边长． 解：设等腰三角形的底边长为x(0<x<30)cm， 由已知得等腰三角形的高为15 cm， 所以正四棱锥的高h＝＝(cm)， 所以正四棱锥的体积V＝x2＝(cm3). 令g(x)＝900x4－x6，则g′(x)＝3 600x3－6x5， 令3 600x3－6x5＝0，得x＝10， 令g′(x)<0，则x>10；令g′(x)>0，则0<x<10， 所以g(x)的单调递增区间为(0，10)，单调递减区间为(10，＋∞)，所以当x＝10时，g(x)取得极大值(也是最大值)，所以要使正四棱锥的体积最大，等腰三角形的底边长为10 cm. [素养拉分练] 17．(多选)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，则下列判断中正确的是(　　) A．直三棱柱侧面积是4＋2 B．直三棱柱体积是 C.三棱锥E­AA1O的体积为定值 D．AE＋EC1的最小值为2 ACD　解析：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；连接AE，A1E(图略)，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，得三棱锥E­AA1O的高为定值，S△AA1O＝××2＝，所以VE­AA1O＝××＝，故C正确；设BE＝x∈[0，2]，则B1E＝2－x，故在Rt△ABE和Rt△EB1C1中，AE＋EC1＝＋，由其几何意义，即平面内动点(x，1)与两定点(0，0)，(2，0)距离和的最小值，由对称性可知，当E为BB1的中点，即x＝1时，AE＋EC1最小，其最小值为＋＝2，故D正确． 18．为迎接中国共产党100周年诞辰，我校扬帆文学社举办有奖征文活动，每位获奖者的奖品为4个半径为2 cm的球形饰品，文学社的同学们为每一位获奖选手制作一个正四面体的包装盒，则包装盒的高度最小值为________cm. 答案：＋8　解析：当4个球如图放置，再让正四面体包装盒的每个面与三个球相切，这样的包装盒高最小，连接4个球心，得到一个棱长为4的小四面体，小四面体的中心与包装盒正四面体的中心重合，容易求出小四面体的高为，由正四面体的性质知，正四面体中心到底面的距离为高的，所以小正四面体中心到底面的距离为，所以小四面体中心(正四面体包装盒中心)到正四面体包装盒底面的距离为＋2，再利用正四面体性质，四面体包装盒的高度为4×(＋2)＝＋8. 学科网（北京）股份有限公司 $$