课时作业(17) 利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时作业（十七利用导数证明不等式 [基础保分练] 1.(2023宁夏贺兰期末)已知函数fx)=anx-xr2(a∈R) (1)讨论)的单调性： (2)若a=1,证明：x)>1ex-1x一x2 (1)解：由题易知x)的定义域为(0，十∞)， f(x)=ax-2x=a-2x2x 当a≤0时，(x)0恒成立， 因此)在(0，十∞)上单调递减： 当a>0时，令fx>0,得0<x<a2: 令f)<0,得x>a2 故x)在(0，a2)上单调递增， 在(a2,十∞)上单调递减. 综上所述，当a≤0时，fx)在(0，+∞)上单调递减： 当a>0时，x)在(0，a2)上单调递增， 在(a2),十∞)上单调递减 (2)证明：当a=1时，x)=nx-x2, 不等式fx)>lex-lx-x2,即lnx十Ix>lex, 令gx)=lnx+1x,则g'x)=1x-Ix2=x-lx2, 令g'x)=0,得x=1 所以当x∈(0,1)时，g'(x)0,gx)单调递减： 当x∈(1，十∞)时，g'(x>0,gx)单调递增. 所以gc)≥g1)=1.又当0时，1x<1, 所以lnx+lx>lex,故原不等式得证. 2.已知fx)=xnx (1)求函数x)的极值： (2)证明：对一切x∈(0，十∞)，都有lnx>1欧一2e成立. (I)解：由x)=xlnx,x0, 得fx)=nx十l,令fx)=0,得x=le 当x∈lavs4 alcol0,fle时，f(x)0,fx)单调递减： 当x∈avs4 alcol((le),+o时，c>0,fx)单调递增. 所以当x=le时，取得极小值， x)小值=fas4 alcol(f1e)=-1e,无极大值. ◆独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：问题等价于证明 x Inx-xex-2e,xE(0,+oo). 由(I)可知=xnxc∈(0，+o)的最小值是一le,当且仅当x=1e时取得. 设mx)=xex-2e,x∈(0，+o∞) 则m'(x)=1一xex,由m'(x)0,得x1,此时m(x)单调递减：由m'x)>0,得0<1，此 时mx)单调递增，易知mx)m=m(I)=一1e,当且仅当x=1时取得，从而对一切x∈(0， +oo),xlnx≥一le≥xex一2e,两个等号不同时取到，所以对一切x∈(0，+o∞)，都有nx >1ex-2ex成立. 3.(2024湖北武汉月考)已知函数x)=x一2alnx-x(a∈R) (1)讨论函数x的单调性： (2)若，x为函数x)的两个极值点，证明：才(x1)一f(x2)xl-x2>2一4a (1)解：fx)=x2-2a+1x2,x>0, 令x2-2amr+1=0,4=4a2-4, 当4≤0，即-1≤a≤1时，f(≥0， x)在(0+十∞)上单调递增： 当>0，即a>1或a<-1时， ①当a<-1时，-2a>0,产(x)>0,x)在(0，+o)上单调递增： ②当a>1时，令f)=0,得灯=a-a2一1,2=a十a2-l,(x),fx)随x的变化情 况如下， r (0,x) x (c1,x2) X2 (,+∞) f) + 0 0 fx) 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上，当a≤1时，fx)在(0，+∞)上单调递增： 当a>1时，f)在(0，a-a2-D,(a+a2-1,+o∞)上单调递增，在(a-a2-1,a十a2-) 上单调递减， (2)证明：由(I)知a>1时fx)有两个极值点1，， 且为十2=2a,2=1,不妨设x2>1>>0, 则f(xl)-f(x2)xl-x2= 11x2x1x2= xIx/-x2x1x2x1-x2=2-x1x2x/-x2 要证f(xl)-f(x2)x1-x2>2-4a,即证xlx2x1-x2<2, 即2lnx1x2<2,n-x十1x2<0, 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设g0=lnt-t+1t(t>1), 由(1)知当a=12时，)在(0，十∞)上单调递增， g(0=一0，则g(0在(1，十∞)上单调递减， …g(0<g(1)=0.原式得证. [技能提分练] 4.已知函数fx)=x十1x,gx)=2+n)2证明： (1)两函数图象有且只有一个公共点； e空-名>a+1aeN 证明：(1)令h9=x十1x-nx)2-2, 则h'x)=1一1x2-2nx·1x=1xx 令ox)=x-lx-2lnx, 则o'x)=1+1x2-2x=x2-2x十1x2=(x-1)22≥0 ∴.(x)在(0，+∞)上单调递增，注意到(1)=0， .当0<x<1时，中(x)<0,h'(x)<0,x)单调递减：当x>1时，(x>0,h'(x) >0,h(x)单调递增： x)≥h(1)=0,当且仅当x=1时等号成立， 两函数图象有且只有一个公共点。 (2)由(I)知x+1x-Qnx2-2≥0对任意的x>0恒成立， ∴.nx)2≤(c-Irx)2, 当x>1时，nx<x-Ir),取x=k十lk,k=1,2,,n,k∈N, ∴lnk十1k<k+1-k十) ..))>In (+1)-Ink, ÷()>知+)h. 甲含 >ln(n十l)(n∈N),得证. 5.(2023湖南常德模拟)已知函数fx)=xe一x (1)讨论x)的单调性： (2)证明：当x0时，一nx≥1 (1)解：由题意得fx)=(c+1)e-1, 设gr)=c+1)e,则g'x)=c+2)e, 当x≤-1时，gx)≤0，f(0, fx)在（一∞，一1]上单调递减； 当x>一1时，g'(xP0,gx)单调递增， ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 又因为g0)=1, 所以当x<0时，gx1,即fx)0, 当x0时，gx)>1,即fx)P0, 综上可知，)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， (2)证明：要证x)一nx≥1， 即证xe-x一nx≥l, 即证e+hx-(c十nx)≥l, 令=x十lnx,易知teR,待证不等式转化为 ef-t≥l. 设u(t0=e-t,则'(0=e一1， 当0时，'()0，当0时，'(0>0， 故0在（一∞，0）上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 所以(0≥u(0)=1,原命题得证. [素养拉分练] 6.已知函数x)=xnx一2十a∈R) (1)证明：曲线y=x)在点(1,1)》处的切线1恒过定点： 22 (2)若x)有两个零点，龙，且2>2x1,证明：x十x>4 证明：(1)f(x)=nx-2r+2, 则f(1)=2-2a,即切线斜率为2-2a, 又f1)=1-a 则切线1的方程为y-(1一a)=(2-2a)c-1), 即y=(2-2ax-12), 可得当x=12时，y=0, 故切线1恒过定点(12,0) (2),是x)的零点， >21,且>0，>0， 22 则1x1lmx1-a十xl=0,x2lnx2-ax十x2=0,即mxl+1=al,1mx2+1=a2,) ..a=InxI+Inx2+2x1+x2=Inx2-Inxlx2-x1, 即n十2=x2xlx2-xl, 令t=x2l,则t>2,则nx2十2=(t+1)1mt-1, 令g0)=(t+1)1nt-1,则g'(0)=1t(t-1)2, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 令0=t-1t-2nt, 则h'(0=(1一1)22>0，则h0在(2，+∞)上单调递增， .h(0>h2)=32-2n2>0, 即g'(0>0,则g0在(2，+∞)上单调递增， ∴.g0>g2)=3n2, .In xix2+2>3In 2,In xpx2>3In 2-2=In 8e2, 即>8e2, 22 则1x十x>2xlx2>4(由于≠x2,故不取等号)，得证. ·独家授权侵权必究·