课时作业(15) 导数与函数的单调性（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十五)　导数与函数的单调性 [基础保分练] 1．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞) B　解析：f(x)的定义域为R，且f′(x)＝＝＝， 所以当－1＜x＜1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为(－1，1). 2．(2023·广东清远高三开学考试)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) A 　　　　　B C 　　　　　D A　解析：根据f(x)的图象可知，函数从左到右，单调性是：递增、递减、递增、递减，即导数从左到右是：正、负、正、负．结合选项可知，只有A选项符合． 3．(2024·福建泉州现代中学月考)若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，2) C．(－∞，2) D．(－2，＋∞) D　解析：令g(x)＝f(x)－3x－6， 则g′(x)＝f′(x)－3＜0， 所以函数g(x)在R上单调递减， g(－2)＝f(－2)－3×(－2)－6＝0， 由g(x)＜0⇔g(x)＜g(－2)，则x＞－2. 4．(2023·四川内江期末)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＞0，则(　　) A．2f(1)＜f(2) B．2f(1)＞f(2) C．f(1)＜2f(2) D．f(1)＞2f(2) C　解析：令g(x)＝xf(x)， 则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴g(1)＜g(2)，即f(1)＜2f(2). 5．已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a>－ B．0<a< C．a>或－<a<0 D．a> D　解析：f′(x)＝2ax－4a－＝， 令g(x)＝2ax2－4ax－1， 则函数g(x)＝2ax2－4ax－1的对称轴方程为x＝1， 若f(x)在(1，4)上不单调，则g(x)在区间(1，4)上有零点． 当a＝0时，显然不成立； 当a≠0时，只需 或解得a>或a<－. ∴a>是f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件． 6．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x ACD　解析：依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝x ln x，g′(x)＝1＋ln x， 当x∈时，g′(x)<0， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝x sin x，g′(x)＝sin x＋x cos x， 当x∈时，g′(x)<0， 故D中函数不是“F函数”． 7．(2023·江西鹰潭模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________． 答案：c＜a＜b　解析：设g(x)＝， 则g′(x)＝， 又当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0， 所以g′(x)＜0，即函数g(x)在区间(－∞，0)内单调递减．因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)内单调递减．由0＜ln 2＜e＜3，可得g(3)＜g(e)＜g(ln 2)，即c＜a＜b. 8．(2023·湖南长沙长郡中学月考)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为________． 答案：－2　解析：由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n， 由f(x)的单调递减区间是(－3，1)， 得f′(x)<0的解集为(－3，1)， 则－3，1是f′(x)＝0的解， ∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3， 可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. 9．若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，2ln 2－2)　解析：∵函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间， ∴f′(x)＝2x－ex－a＞0，即a＜2x－ex有解． 设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex， 令g′(x)＝0，得x＝ln 2， 则当x＜ln 2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， 当x＞ln 2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减， ∴当x＝ln 2时，g(x)取得极大值也是最大值， 且g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，∴a＜2ln 2－2. 10．已知函数f(x)＝x3－x的值域为，则f(x)的定义域可以是__________．(写出一个符合条件的即可) 答案：[－1，1](答案不唯一)　解析：f′(x)＝x2－1， 令f′(x)＝0可得x＝－1或x＝1， 所以当x＜－1或x＞1时，f′(0)＞0， 当－1＜x＜1时，f′(0)＜0， 故f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减， 且f(－1)＝，f(1)＝－， 由此可知定义域可以是[－1，1]. 11．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R). (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex， 其导数为f′(x)＝ex(2－x2)， 由f′(x)＞0，解得－＜x＜， 由f′(x)＜0，解得x＜－或x＞. 故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递增区间为(－，). (2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·ex的导数为 f′(x)＝ex[a－x2＋(a－2)x]， 由函数f(x)在(－1，1)上单调递增， 则有f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立， 即为a－x2＋(a－2)x≥0， 即有x2－(a－2)x－a≤0， 则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥. 则a的取值范围为). 12．讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＝. ①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝， 则当x∈(0, )时，f′(x)<0， 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(0, )上单调递减， 在( ，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，f(x)在(0, )上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． [技能提分练] 13．(2023·重庆模拟)已知a＝log35，b＝log46，c＝log67，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a A　解析：设f(x)＝，则a＝f(3)，b＝f(4)， f′(x)＝， 当x＞1时，y＝x ln x单调递增，故f′(x)＜0， 即f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故f(3)＞f(4)＞f(6)，即a＞b＞log68，又log68＞log67，故a＞b＞c. 14．(多选)(2023·湖南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(2)＝－1 B．f(1)·f(2)＞4 C．f′(1)f′(2)＜0 D．方程f′(x)＝0无解 BC　解析：对于A，f(x)为奇函数， 且f(－2)＞2，则f(2)＝－f(－2)＜－2，A错误； 对于B，f(x)为奇函数， 且f(－1)＝2，f(－2)＞2， 则有f(1)f(2)＝f(－1)f(－2)＞4，B正确； 对于C，由所给的函数f(x)的图象， 可得f′(－1)＜0，f′(－2)＞0， 则f′(1)f′(2)＝f′(－1)f′(－2)＜0，C正确； 对于D，由C的结论f′(－1)f′(－2)＜0， 则必定存在x0∈(－2，－1)， 使得f′(x0)＝0，即f′(x)＝0一定有解，D错误． 15．(多选)已知函数f(x)＝ex－e－x－sin 2x，若f(x1)＞f(x2)，则(　　) A．x＞x B．ex1－x2＞1 C．ln |x1|＞ln |x2| D．x1|x1|＞x2|x2| BD　解析：因为f′(x)＝ex＋e－x－2cos 2x≥2－2cos 2x≥0， 所以f(x)在R上单调递增， 由f(x1)＞f(x2)可得x1＞x2， 所以ex1－x2＞1，选项B正确； 又因为函数y＝x|x|＝ 函数在R上单调递增， 所以x1|x1|＞x2|x2|，选项D正确； 由于二次函数y＝x2不是单调函数， 所以当x1＞x2时，x＞x不一定成立，选项A错误； 由于函数y＝ln |x|＝不是单调函数， 所以当x1＞x2时，ln |x1|＞ln |x2|不一定成立，选项C错误． 16．若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0，2)上单调递增，则实数a的取值范围为__________． 答案：[2，＋∞)　解析：f(x)＝－x3＋ax2＋4x， 则f′(x)＝－3x2＋2ax＋4， 若f(x)在区间(0，2)上单调递增， 则－3x2＋2ax＋4≥0在(0，2)上恒成立， 即a≥－在(0，2)上恒成立， 令g(x)＝－，x∈(0，2)， 则g′(x)＝＋＞0，g(x)在(0，2)上单调递增， 故g(x)＜g(2)＝2，故a≥2， 故实数a的取值范围为[2，＋∞). 17．(2022·广东高三一模)已知函数f(x)＝ex－(x＋m)ln (x＋m)＋x，m≤2. (1)若直线l：y＝x＋1是函数f(x)的切线，求m的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并证明． 解：(1)函数f(x)的定义域为(－m，＋∞). 对函数f(x)求导可得f′(x)＝ex－ln (x＋m). 设直线l关于函数f(x)的切点为(n，t)， 则有 解方程组可得m＝1，n＝0，t＝1. (2)由(1)可得f′(x)＝ex－ln (x＋m)， 令g(x)＝ex－(x＋1)，则g′(x)＝ex－1. 可知当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， 即g(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， 于是有g(x)＝ex－(x＋1)≥g(0)＝0， 即有ex≥x＋1恒成立． 构造函数h(x)＝(x＋1)－ln (x＋2)，x∈(－2，＋∞)， 则h′(x)＝1－＝. 可知当x∈(－2，－1)时，h′(x)＜0； 当x∈(－1，＋∞)时，h′(x)＞0. 即h(x)在(－2，－1)上单调递减， 在(－1，＋∞)上单调递增， 于是有h(x)＝(x＋1)－ln (x＋2)≥h(－1)＝0， 即有ln (x＋2)≤x＋1恒成立． 当m≤2时，ln (x＋m)≤ln (x＋2)≤x＋1成立． 综上可得ex≥x＋1≥ln (x＋m)， 即有f′(x)≥0恒成立， 故函数f(x)为增函数． [素养拉分练] 18．若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x A　解析：设函数g(x)＝ex·f(x)， 对于A，g(x)＝ex·2－x＝()x， 在定义域R上为增函数，符合题意． 对于B，g(x)＝ex·x2，则g′(x)＝x(x＋2)ex， 由g′(x)>0得x<－2或x>0， ∴g(x)在定义域R上不是增函数，不符合题意． 对于C，g(x)＝ex·3－x＝()x， 在定义域R上是减函数，不符合题意． 对于D，g(x)＝ex·cos x， 则g′(x)＝ex cos (x＋)， g′(x)>0在定义域R上不恒成立，不符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$