课时作业(14) 导数的概念与运算（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十四)　导数的概念与运算 [基础保分练] 1．(2024·横峰中学月考)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 B　解析：由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处的切线斜率，由函数图象可知f′(xA)＜f′(xB). 2．(2023·四川高三二模)曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．－1 C　解析：设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则解得所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此f′(1)－f(1)＝1－3＝－2. 3．(2023·山西临汾模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　) A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0 C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0 B　解析：因为f(x)＝2e2ln x＋x2， 所以f′(x)＝＋2x， 所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝＋2e＝4e， 所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e，即4ex－y－e2＝0.故选B. 4．函数f(x)＝x sin x在x＝处的切线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． B　解析：由已知，得f′(x)＝sin x＋x cos x， 所以在x＝处的切线的斜率k＝f′()＝1. 设切线的倾斜角为θ，则tan θ＝1，故θ＝. 5．已知函数f＝－x3＋3x，则过点可作曲线y＝f的切线的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：因为f(x)＝－x3＋3x， 所以f′(x)＝－3x2＋3， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为 y＝－3－a3＋3a， 又在切线上， 所以－9＝－3－a3＋3a， 即－9＝3·－a3＋3a， 整理得2a3＋9a2＝0，解得a1＝0或a2＝－， 所以过点可作曲线y＝f(x)的切线的条数为2.故选C. 6．(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．f′(3)>f′(2) B．f′(3)<f′(2) C．f(3)－f(2)>f′(3) D．f(3)－f(2)<f′(2) BCD　解析：f′(x0)的几何意义是f(x)在x＝x0处切线的斜率．由题图知f′(2)>f′(3)>0， 故A错误，B正确． 设A(2，f(2))，B(3，f(3))， 则f(3)－f(2)＝＝kAB， 由题图知f′(3)<kAB<f′(2)， 即f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故C，D正确． 7．已知曲线y＝ln x在x＝et处的切线为l，点M(－1，t)到切线l的距离为d，则d的最大值为(　　) A．1 B．2 C． D． D　解析：由y＝ln x求导得y′＝，所以切线l的斜率为e－t，又＝ln et＝t， 所以切线l的方程为y－t＝e－t， 即x－ety＋et＝0， 所以d＝＝＝ ＝≤， 当且仅当t＝0时取等号，故d的最大值为.故选D. 8．(2022·赤峰二中高三三模)函数y＝f(x)的图象在点M(2，f(2))处的切线方程是y＝2x－8，则＝________． 答案：－2　解析：由题意，知f′(2)＝2，又f(2)＝2×2－8＝－4，∴＝＝－2. 9．(2023·山东济南模拟)已知直线y＝ax－1与曲线y＝a ln x＋2相切，则a＝________． 答案：3　解析：对y＝a ln x＋2求导得y′＝，设切点为，则解得 故答案为3. 10．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0，1)处的切线方程为________． 答案：2xex2　y＝1　解析：∵f(x)＝ex2， 故f′(x)＝(x2)′ex2＝2xex2， 则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1. 11．(2024·河北饶阳中学模拟)曲线f(x)＝(x3－mx)ex－1在点(1，f(1))处的切线与直线x－4y－1＝0垂直，则该切线的方程为__________. 答案：4x＋y－1＝0　解析：由题意得f′(x)＝(x3＋3x2－mx－m)ex－1， 则f′(1)＝4－2m，所以切线的斜率k1＝4－2m. 直线x－4y－1＝0的斜率k2＝. 因为两直线相互垂直， 所以k1k2＝(4－2m)＝－1，解得m＝4， 则k1＝f′(1)＝－4，f(x)＝(x3－4x)ex－1， 所以f(1)＝－3， 故该切线的方程为y＋3＝－4(x－1)， 即4x＋y－1＝0. 12．已知函数f(x)＝x3－3x. (1)求函数f(x)在[0，2]上的值域； (2)若过点(2，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围． 解：(1)∵f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． ∴f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝－2， 又f(0)＝0，f(2)＝2， ∴f(x)在[0，2]上的值域为[－2，2]. (2)设切点为(x0，x－3x0)， 则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x－3， 所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)， 又切线过点(2，t)， 则t－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)， 整理得2x－6x＋6＝－t， 则曲线有三条切线方程等价于g(x0)＝2x－6x＋6与y＝－t有三个交点， g′(x0)＝6x－12x0＝6x0(x0－2)， 令g′(x0)＞0，解得x0＜0或x0＞2； 令g′(x0)＜0，解得0＜x0＜2， ∴g(x0)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减， ∴g(x0)在x＝0处取得极大值g(0)＝6，在x＝2处取得极小值g(2)＝－2， 要使g(x0)与y＝－t有三个交点， 则需满足－2＜－t＜6，解得－6＜t＜2. [技能提分练] 13．(2023·贵州贵阳一中月考)曲线y＝e2x上的点到直线2x－y－4＝0的最短距离是(　　) A． B． C． D．1 14．已知函数y＝f(x)的图象是经过原点的曲线(非直线)，且在原点处的切线方程为y＝x，请写出一个符合条件的函数y＝f(x)的解析式____________. 答案：y＝ex－1(答案不唯一)　解析：由题意可知，f(0)＝0，f′(0)＝1，取f(x)＝ex－1， f′(x)＝ex，此时f(0)＝e0－1＝0，f′(0)＝1，故符合条件． 15．(2024·山东济南历城二中月考)若函数f(x)＝ex－2x的图象在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b的最小值为________． 对于函数y＝xex－2，有y′＝ex(x＋1)， 当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0. 所以函数y＝xex－2在x＝－1处取得极小值，即最小值为－2－，即k－b的最小值为－2－. 16．(2023·江西南昌模拟)已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，求实数m的取值范围． 解：由题意知，l1，l2的斜率存在，设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，设l1与C1，C2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 故k1＝－k1， 整理得m＝ln k1－－1， 同理可得，当直线l2：y＝k2x＋b2与C1，C2都相切时，有m＝ln k2－－1， 综上所述，只需m＝ln k－－1(k>0)有两解， 令f(k)＝ln k－－1，则f′(k)＝－＝， 故当f′(k)>0时，0<k<4， 当f′(k)<0时，k>4， 所以f(k)在(0，4)上单调递增， 在(4，＋∞)上单调递减， 故f(k)max＝f(4)＝ln 4－－1＝2ln 2－2， 所以只需满足m<2ln 2－2即可． 17．已知函数f(x)＝ax3－x2＋bx＋c(a≠0，且a，b，c∈R)在x＝0处取得极值－1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)判断是否存在实数a使得函数f(x)的图象与直线x－y－2＝0相切，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为f′(x)＝3ax2－2x＋b，且f′(0)＝0，f(0)＝－1，得b＝0，c＝－1， 故f(x)＝ax3－x2－1，f′(x)＝3ax2－2x， 当a＞0时，f(x)，f′(x)随a的变化情况如下， (－∞，0) (0，) (，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x) 递增 递减 递增 即函数f(x)单调递增区间为(－∞，0)和(，＋∞)，单调递减区间为(0，). 当a＜0时，f(x)，f′(x)随a的变化情况如下， (－∞，) (，0) (0，＋∞) f′(x) － ＋ － f(x) 递减 递增 递减 即函数f(x)单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(－∞，)和(0，＋∞). (2)假设存在实数a使得函数f(x)的图象与直线x－y－2＝0相切，设切点的坐标为P(t，t－2)(t∈R)， 可得f(t)＝at3－t2－1＝t－2， f′(t)＝3at2－2t＝1， 消掉a，可得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或－3. 当t＝1时，得a＝1；当t＝－3时，得a＝－. 综上，存在实数a＝1或－使得函数f(x)的图象与直线x－y－2＝0相切． [素养拉分练] 18．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系，其中P0为初始时该放射性同位素的含量，已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为9贝克时，衰变所需时间为(　　) A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 学科网（北京）股份有限公司 $$