课时作业(13) 函数模型及其应用（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十三)　函数模型及其应用 [基础保分练] 1．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为(　　) ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． 其中y表示离开家的距离，t表示所用时间． A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②① A　解析：对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图象④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图象①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图象②符合． 2．盈亏平衡点又称零利润点，通常是指全部销售收入等于全部成本时(销售收入线与总成本线的交点)的销售量，其计算公式为BEP＝(其中BEP为盈亏平衡点，CU为单位产品变动成本，TU为单位产品税金及附加，P为产品单价，CF为总固定成本).某企业某种产品的年固定成本为1 800万元，单位产品变动成本为600元，单位产品税金及附加为200元，若该企业这种产品每年的盈亏平衡点为75 000台，则该产品的单价为(　　) A．1 000元 B．1 020元 C．1 040元 D．1 060元 C　解析：由公式BEP＝得75 000＝，解得P＝1 040元，故选C. 3．(2024·北京师大附中月考)某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了(　　) A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米 B　解析：该女生训练前立定跳远距离为 1．84－0.03×＝1.72(米)， 训练后立定跳远距离为 1．84＋0.1×＝2.14(米)， 则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米). 4．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R).当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0)(　　) A．6 min B．7 min C．8 min D．9 min B　解析：由题意可知， 当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60， 所以y＝60×0.908 5x＋25. 当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25， 即0.908 5x＝0.5， 则x＝log0.908 50.5＝＝≈≈7，所以茶水泡制时间大约为7 min. 5．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为r＝lg I＋2，则每增加一个震级，相对能量程度扩大到(参考数据：≈3.16)(　　) A．31.6倍 B．13.16倍 C．6.32倍 D．3.16倍 A　解析：由r＝lg I＋2，可得I＝10， 所以＝＝10≈31.6.故选A. 6．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲同学从家到公园的时间是30 min C．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x BD　解析：在A中，甲同学在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确； 甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k， 解得k＝，D正确． 7．牛顿流体符合牛顿黏性定律，在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τ＝ηγ，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．非牛顿流体会产生很多非常有趣的现象，如人陷入沼泽越挣扎将会陷得越深；也有很多广泛的应用，如某些高分子聚合物还可以做成“液体防弹衣”．如图是测得的某几种液体的流变τ－γ曲线，则其中属于沼泽和液体防弹衣所用液体的曲线分别是(　　) A．③和① B．①和③ C．④和② D．②和④ C　解析：由题意得牛顿流体黏度η恒定，即在τ－γ曲线中，图象为直线，即①和③为牛顿流体，④和②为非牛顿流体，又属于沼泽和液体防弹衣所用液体为非牛顿流体，且沼泽的黏度小，所以对应曲线为④和②.故选C. 8．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________． 答案：506　解析：日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－＋350＋， ∵t∈N，∴t＝12或t＝13时，ymax＝506. 9．(2023·浙江杭州模拟)我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子·本经训》和《山海经·海内经》都有一定记载．如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3 500光年，如果将“3 500光年”的单位“光年”换算成以“米”为单位，所得结果的数量级是__________．(光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速v＝3×105 km/s；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字2.6×103的数量级是3) 答案：19　解析：根据题意得到距离地球约3 500光年，一年有365×24×3 600秒，光速v＝3×105 km/s，一年走过的路程为365×24×3 600×3×105 km， 3 500光年走过的路程为3 500×365×24×3 600×3×105×1 000＝3.311 28×1019 m， 数量级为19. 10．(2023·广东广州测试)某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫的繁殖速度很快，迁徙能力很强．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，若蝗虫数量达到4 000亿只，需经过多少天？(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 解：由题意知，每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，设每天的增长率为a，则(1＋a)15＝10，解得a＝－1. 设经过x天后，蝗虫数量会达到4 000亿只， 则有1×(1＋a)x＝4 000， 所以10＝4 000，即＝lg 4 000， 故＝3＋lg 4＝3＋2lg 2≈3＋2×0.3＝3.6， 所以x＝54， 故若蝗虫数量达到4 000亿只，需经过54天． 11．尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. (1)已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型； (2)2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(参考数据：≈3.2) 解：(1)某次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M， 化简得M＝＝＝4.8. 因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”． (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2. 由题意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8， lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3， 即E1＝1016.8，E2＝1018.3， 所以＝101.5＝10≈32. 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍． 12．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解：设该旅行团的人数为x，飞机票的价格为y元．旅行社可获得的利润为w元． (1)①当0≤x≤30时，y＝900； ②当30<x≤75时， y＝900－10(x－30)＝－10x＋1 200， 综上有y＝ (2)当0≤x≤30时，w＝900x－15 000， 当x＝30时，wmax＝900×30－15 000＝12 000； 当30<x≤75时， w＝(－10x＋1 200)·x－15 000＝ －10x2＋1 200x－15 000＝－10(x－60)2＋21 000， 当x＝60时，w最大值为21 000，∵21 000>12 000， ∴每团人数为60时，旅行社可获得最大利润． [技能提分练] 13．已知某种垃圾的分解率为v，与时间t(单位：月)满足函数关系式v＝abt(其中a，b为非零常数)，若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．48个月 B．52个月 C．64个月 D．120个月 B　解析：由题意可得解得 所以v＝·2， 这种垃圾完全分解，即当v＝1时，有1＝·2，即2t＝2012，解得t＝log22012＝12log220＝24＋12log25＝24＋12×＝52.故选B. 14．(2023·云南昆明一模)2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v满足公式：v＝w ln ，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M＝3m时，v＝5.544千米/秒．在保持w不变的情况下，若m＝25吨，假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)(　　) A．135吨 B．160吨 C．185吨 D．210吨 B　解析：因为当M＝3m时，v＝5.544， 所以w＝＝≈＝4， 由v＝w ln ＝4ln ＝8， 得ln ＝2， 所以1＋＝e2≈7.389， 解得M＝159.725≈160(吨)， 即M至少约为160吨．故选B. 15．(多选)目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表： 年份x 2016 2017 2018 2019 包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5 有下列函数模型：①y＝a·bx－2016；②y＝a sin ＋b；③y＝a lg (x＋b)(a>0，b>1)，则以下说法正确的是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin ＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 AD　解析：若选y＝4·，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5， 若选y＝4sin ＋2 016，计算可得对应数据近似值都大于2 012，显然A正确，B错误； 按照选择函数模型y＝4·， 令y>40，即4×>40， ∴>10， ∴x－2 016>log10， ∴x－2 016>＝≈5.678 6， ∴x>2 021.678 6， 即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确． 16．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择．方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折．不重复打折．方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000元．已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，求这个旅游团购票总费用的最小值． 解：方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元， 方案二：满5 000元减1 000元，按原价计算≈16.7，则满5 000元至少凑齐17人， 17×300－1 000＝5 100－1 000＝4 100，则单人票价为≈241， 满10 000元时，≈33.3，则需34人，单人票价为241元， 满15 000元时，＝50，人数不足，因为241<270， 所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一， 所以总费用为34×300－2 000＋13×300×0.9＝11 710(元). [素养拉分练] 17．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当x>1时，乙走在最前面 C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 CD　解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型． 当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A错误； 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B错误； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$