课时作业(12) 函数与方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十二)　函数与方程 [基础保分练] 1．设f(x)是区间[－1，1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在区间(－1，1)内(　　) A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根 C　解析：∵f(x)在区间[－1，1]上是增函数，且f(－)·f()<0，∴f(x)在区间(－，)上有唯一的零点． ∴方程f(x)＝0在区间(－1，1)内有唯一的实数根． 2．(2023·广东广雅中学月考)函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) B　解析：函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续． 因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0， 所以f(2)·f(3)＜0， 所以函数的零点所在的区间是(2，3). 3．(2023·湖北武汉模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B．[2，＋∞) C． D． D　解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解， 设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是. 所以实数a的取值范围是. 4．函数f(x)＝x3＋x2＋x＋c的零点个数为(　　) A．1 B．1或2 C．2或3 D．1或2或3 A　解析：因为函数f(x)＝x3＋x2＋x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋2x＋1， 因为Δ＝4－12＝－8＜0，所以f′(x)>0， 从而f(x)＝x3＋x2＋x＋c在R上单调递增， 又当x→－∞时，f(x)→－∞， 当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 由零点存在性定理得，函数f(x)＝x3＋x2＋x＋c有且只有一个零点． 5．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 　解析：因为f(x)＝ln x－在定义域内单调递增，且f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，由零点存在定理可得2＜x0＜3，根据[x]表示不超过实数x的最大整数可知g(x0)＝2. 6．(多选)(2023·浙江学军中学月考)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　) A．函数f(x)的周期T＝2 B．f(2 021)＝f(2 022)＝0 C．点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)在[－2，2]上有4个零点 ABC　解析：定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，所以A正确； f(－1＋2)＝f(－1)， 即f(1)＝f(－1)＝－f(1)， 所以f(1)＝f(－1)＝0， 所以f(2 021)＝f(1)＝0， f(2 022)＝f(0)＝0，所以B正确； f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，C正确； f(x)在[－2，2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，有5个零点，所以D错误． 7．已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)－x＝0在[－2，2]上的根的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　解析：根据题意得， f(x)＝ 分别作出y＝f(x)与y＝x的图象， 则根据图象可知，关于x的方程f(x)－x＝0在[－2，2]上的有4个根． 8．已知函数f(x)＝若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) B　解析：如图所示， 指数函数y＝2x>0，没有零点，y＝－x有唯一的零点x＝0，所以若函数f(x)存在零点，需f(x)＝－x(x<a)有零点，即0∈(－∞，a)，所以a>0. 9．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，3) B．[2，3) C．( D．1) D　解析：根据函数f(x)＝作出函数图象，如图所示， 方程f(x)＝m恰有三个不同的实数解，即函数f(x)的图象与y＝m的图象有三个交点，如图，f(－1)＝，当≤m＜1时，函数f(x)的图象与y＝m的图象有三个交点． 10．已知函数f(x)＝()x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)________f(x0).(填“>”“<”“≥”“≤”) 答案：>　解析：(方法一)　∵f(x)＝()x－log3x在(0，＋∞)上为减函数，且0<x1<x0， ∴f(x1)>f(x0). (方法二)　如图可知，f(x1)>f(x0). 11．(2023·黑龙江哈三中月考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，求a的值． 解：在同一平面直角坐标系内作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示． 由题意得2a＝－1，解得a＝－. 12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数y＝[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数．设{x}＝x－[x]，求函数f(x)＝2x{x}－x－1的所有零点之和． 解：∵当x＝0时，f(0)＝－1；当x≠0时，令f(x)＝0，可得2{x}＝1＋，则函数y＝f(x)的零点，即为函数y＝2{x}与函数y＝1＋的图象交点的横坐标，作出函数y＝2{x}与函数y＝1＋(x≠0)的图象，如下图所示， 由图象可知，两函数除交点(－1，0)之外，其余的交点关于点(0，1)对称，所以，函数y＝f(x)的所有零点之和为－1. [技能提分练] 13．(多选)(2023·辽宁沈阳月考)已知函数f(x)＝xax－1和g(x)＝－logax的零点分别为m，n，若a>1，则下列可能符合m，n的取值的有(　　) A.m＝1，n＝ B．m＝，n＝2 C．m＝，n＝2 D．m＝，n＝4 BD　解析：由题意知m是方程xax－1＝0，即＝ax的解，n是方程－logax＝0，即＝logax的解，即m，n分别是y＝ax与y＝，y＝logax与y＝的交点A，B的横坐标，因为a>1，由图象可得0<m<1，n>1.又y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，且y＝的图象也关于直线y＝x对称，所以点A(m，)，B(n，)也关于直线y＝x对称，即m＝，mn＝1，符合条件的为B，D. 14．函数f(x)＝ln x＋(a∈R)在区间[e－2，＋∞)上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A．) B． C．( D． A　解析：由函数f(x)＝ln x＋在区间[e－2，＋∞)上有两个零点， 令f(x)＝0，即ln x＋＝0，得－a＝x ln x，x∈[e－2，＋∞). 记g(x)＝x ln x，x∈[e－2，＋∞)，则g′(x)＝1＋ln x． 由此可知g(x)在区间[e－2，e－1]上单调递减，在区间(e－1，＋∞)上单调递增， 且g(e－2)＝－2e－2，g(e－1)＝－e－1， 且当x→＋∞时，g(x)→＋∞.要使得f(x)＝ln x＋在x∈[e－2，＋∞)上有两个零点，则－e－1＜－a≤－2e－2，即≤a<，所以实数a的取值范围是). 15．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x)f(1－x)＝1，则f()＝________．若m，n∈R且mn＝－1，记函数g(x)＝f(x)－1，则g(x)在[m，n]上最少存在________个零点． 答案：1　2　解析：令x＝，则f()f()＝1， 因为f(x)＞0，所以f()＝1， 又f(x)f(1－x)＝1⇒f(－x)f(1＋x)＝1， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(1＋x)＝1， 故f(1＋x)＝，所以f()＝＝1； 由题意知，mn＝－1，m＜0，n＞0，且n－m＝n＋≥2，当且仅当n＝1时，等号成立，说明区间[m，n]的长度大于等于2， 而g(x)＝f(x)－1，易知x＝k＋，k∈Z是g(x)的零点，而相邻零点的距离为1，故g(x)在[m，n]上最少存在2个零点． 16．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示， 故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1<a<1， 故实数a的取值范围为(－1，1). [素养拉分练] 17．对于定义在R上的函数y＝f(x)，若存在非零实数x0，使函数y＝f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零点，则称x0为函数y＝f(x)的一个“折点”．下列四个函数存在“折点”的是(　　) A．f(x)＝3|x－1|＋2 B．f(x)＝lg (|x|＋2 021) C．f(x)＝－x－1 D．f(x)＝x2－2mx－1 D　解析：因为f(x)＝3|x－1|＋2＞2恒成立，所以函数f(x)不存在零点，所以函数f(x)不存在折点，故A错误；因为|x|＋2 021≥2 021，所以函数f(x)＝lg (|x|＋2 021)不存在零点，即不存在折点，故B错误；对函数f(x)＝－x－1，f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，当f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1；当f′(x)＜0时，－1＜x＜1，所以函数f(x)＝－x－1在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，又f(－1)＝－＜0，所以函数f(x)＝－x－1 只有一个零点，所以该函数不存在折点，故C错误；对于函数f(x)＝x2－2mx－1＝(x－m)2－m2－1，由于f(m)＝－m2－1≤－1，结合图象可知该函数一定有折点，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$