课时作业(10) 对数与对数函数（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(十)　对数与对数函数 [基础保分练] 1．(2023·山东聊城期中)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|log3x<1}，则A∩B＝(　　) A．{1，2} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{x|0<x<3} A　解析：由log3x<1＝log33，解得0<x<3， ∴B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝{1，2}． 2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　) C　解析：由lg a＋lg b＝0，得ab＝1. ∴f(x)＝a－x＝＝bx， 因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同． A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同． 3．(2023·山西高三期中)设函数f(x)＝则f(－1)＋f(log23)＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 4．(2023·江苏扬州中学月考)设a＝e0.01，b＝logπe，c＝ln ，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b B　解析：因为a＝e0.01>e0＝1，b＝logπe∈(0，1)，c＝ln ＝－ln π<0，所以a>b>c.故选B. 5．复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．CR400BF－C智能复兴号动车组实现时速350 km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．我们用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为L＝10lg ，已知I＝103 W/m2时，L＝10 dB.若要将某列车的声强级降低30 dB，则该列车的声强应变为原声强的(　　) A．10－5倍 B．10－4倍 C．10－3倍 D．10－2倍 6．(多选)已知函数f(x)＝ln (e2x＋1)－x，则(　　) A．f(ln 2)＝ln B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2 ACD　解析：f(ln 2)＝ln (e2ln 2＋1)－ln 2＝ln ， 故A项正确； f(x)＝ln (e2x＋1)－x＝ln (e2x＋1)－ln ex＝ln ＝ln (ex＋e－x)， 所以f(－x)＝ln (ex＋e－x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B项错误； 当x>0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增， 因此y＝ln (ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C项正确； 由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，故D项正确． 答案：3　解析：原式＝lg 2＋lg 5＋2＋2－2＝lg 10＋2＝3. 8．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logaN.现已知2a＝6，3b＝36，则＝__________，＋＝__________． 答案：　1　解析：因为2a＝6，3b＝36，所以4a＝36，9b＝362， 即＝，a＝log26，b＝log336， 故＋＝＋＝log62＋log63＝1. 9．(2023·江苏常州调研)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________． 答案：(0，1)　解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)， ∴ab＝1，0<c<lg 10＝1，∴abc的取值范围是(0，1). 10．已知f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明； (2)解不等式f(x)>1. 解：(1)由题意，因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， 所以解得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称， 因为f(－x)＝log3(2－x)－log3(2＋x)＝ －[log3(2＋x)－log3(2－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为(－2，2)上的奇函数． (2)因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)＝ log3>1， 所以解得1<x<2， 所以不等式f(x)＞1的解集为(1，2). 11．是否存在实数a，使得f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上单调递增？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由． 解：设t＝ax2－x＝a(x－)2－. 若f(x)在[2，4]上单调递增， 则或解得a>1. ∴存在实数a满足题意， 即当a∈(1，＋∞)时，f(x)在[2，4]上单调递增． [技能提分练] 12．(2023·江西宜春九中月考)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　) A.a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0 C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b B　解析：∵a＝log0.20.3>log0.21＝0， b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0. ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4， ∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0， ∴0<<1，∴ab<a＋b<0. 13．饮酒驾车、醉酒驾车是严重违反《道路交通安全法》的行为，将受到法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 ml，小于80 mg/100 ml的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80 mg/100 ml的驾驶行为．”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100 mg/100 ml，若经过n(n∈N*)小时，该人血液中的酒精含量小于20 mg/100 ml，则n的最小值为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 B　解析：经过n(n∈N*)小时，该人血液中的酒精含量为100×0.8n mg/100 ml，由题意得，100×0.8n＜20，即0.8n＜0.2，解得n＞log0.80.2＝＝＝≈≈7.2，所以n的最小值为8. 14．函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n－m＝(　　) A． B． C． D． A　解析：∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)， ∴0＜m＜1＜n，且|log3m|＝|log3n|， ∴log3m＝－log3n，∴log3m＋log3n＝0，解得mn＝1， 又f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2， 易知f(m2)＝－log3m2＝2， 此时∴n－m＝. 15．(多选)若实数a，b，c满足2a＝log2b＝log3c＝k，其中k∈(1，2)，则下列结论正确的是(　　) A．ab＜bc B．logab＜logbc C．a＜logbc D．cb＜ba ABC　解析：由条件可知，a∈(0，1)，b∈(2，4)，c∈(3，9)，且b＝2k，c＝3k， 所以ab∈(0，1)，bc＞1，即ab＜bc，故A正确； logab＜0，logbc＞0， 即logab＜logbc，故B正确； a＝log2k，logbc＝log2k3k＝log23， 因为k∈(1，2)，所以log2k＜log23，即a＜logbc，故C正确； cb＞32＝9，ba＜41＝4，即cb＞ba，故D不正确． 16．(2023·广东惠州模拟)若函数f(x)＝loga有最小值，则实数a的取值范围是________． 答案：(1，)　解析：令u＝x2－ax＋＝ ＋－， 则u有最小值－， 函数f(x)＝loga有最小值， 则解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，). 17．在①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝0；③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答． 已知函数f(x)＝log2(＋x)(a∈R)满足________． (1)求a的值； (2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－，证明：g(x2－x)≤. 若选择①f(x)＋f(－x)＝0， (1)解：因为f(x)＋f(－x)＝0， 所以log2(＋x)＋log2(－x)＝0， 所以log2[(＋x)(－x)]＝0， 所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1. (2)证明：由(1)知，f(x)＝log2(＋x)，f(－x)＝log2(－x)， 所以g(x)＝2log2(－x)＋1－＝－x＋1－＝－x＋1， 所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1＝ －(x－)2＋≤. 若选择②f(x)－f(－x)＝0， 因为f(x)－f(－x)＝0， 所以log2(＋x)－log2(－x)＝0， 所以＋x＝－x， 所以x＝0，a≥0，此时求不出a的具体值，所以不能选②. 若选择③f(－2)＝－f(2)， (1)解：因为f(－2)＝－f(2)， 所以log2(－2)＝－log2(＋2)， 所以(－2)(＋2)＝1， 所以4＋a－4＝1，所以a＝1. (2)证明：由(1)知，f(x)＝log2(＋x)， f(－x)＝log2(－x)， 所以g(x)＝2log2(－x)＋1－＝－x＋1－＝－x＋1， 所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1＝ －(x－)2＋≤. [素养拉分练] 18．因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号．把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题． (1)对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，n∈R，那么logaMn＝nlogaM； (2)请你运用上述对数运算性质，计算(＋)的值； (3)对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就．例如，因为210＝1 024∈(103，104)，所以210是一个4位数，我们取lg 2≈0.301 0，请你运用上述对数运算性质，判断250的位数是多少？ 解：(1)设M＝ax，则Mn＝anx. 根据对数定义有logaM＝x，logaMn＝nx， 因此logaMn＝nlogaM. (2)由logaMn＝nlogaM可得 (＋)＝(＋)＝ (＋)＝×＋×＝＋＝. (3)设250的位数为k，则10k－1≤250≤10k， 所以lg 10k－1≤lg 250≤lg 10k，即k－1≤50lg 2≤k. 因为lg 2≈0.301 0，所以50lg 2≈15.05. 由k－1≤15.05≤k得15.05≤k≤16.05. 因为k∈N*，所以k＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $$