课时作业(9) 指数与指数函数（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(九)　指数与指数函数 [基础保分练] 1．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)f(b)等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．25 A　解析：∵f(x)＝5x，∴f(a＋b)＝5a＋b＝3， ∴f(a)f(b)＝5a×5b＝5a＋b＝3. 2．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1，6) B．(1，5) C．(0，5) D．(5，0) A　解析：由于函数y＝ax的图象过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1，6). 3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，0<b<1 D．0<a<1，b<0 D　解析：(方法一)　由题图可知0<a<1，当x＝0时，a－b∈(0，1)，故－b>0，得b<0. (方法二)　由题图可知0<a<1，f(x)的图象可由函数y＝ax的图象向左平移得到，故－b>0，则b<0. 4．(2023·安徽合肥冲刺)若0<b<a<1，则ab，ba，aa，bb中最大的是(　　) A．ab B．ba C．aa D．bb A　解析：∵0<b<a<1，∴指数函数y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab>aa，ba<bb，∵幂函数y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab. 5．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃ 的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　) A．22 h B．23 h C．24 h D．33 h C　解析：由题意可得解得 ∴e33k＋b＝(e11k)3×eb＝×192＝24， ∴该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h． 6．(多选)(2023·山东潍坊模拟)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) ABD　解析：由题图可得a1＝2，即a＝2， y＝a－x＝单调递减，且过点(－1，2)，故A正确；y＝x－a＝x－2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确； y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，结合指数函数图象可知C错误； y＝|logax|＝|log2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确． 7．不等式a2x－7>a4x－1(0<a<1)的解集为________． 答案：(－3，＋∞)　解析：因为y＝ax(0<a<1)为减函数，所以2x－7<4x－1，解得x>－3. 8．已知a>0，b>0，则＝________． 9．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________． 答案：[－3，0)　解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]， 当a≤x<0时，f(x)∈， 所以 [－8，1]， 即－8≤－<－1，即－3≤a<0. 所以实数a的取值范围是[－3，0). 10．已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数． (1)求f(x)的表达式； (2)判断F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并加以证明． 解：(1)由a2－2a－2＝1， 可得a＝3或a＝－1(舍去)，∴f(x)＝3x. (2)F(x)是偶函数，证明如下：F(x)＝f(x)＋＝3x＋3－x，x∈R. ∵F(－x)＝3－x＋3x＝F(x)，∴F(x)是偶函数． 11．(2023·安徽滁州月考)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0，b∈R)在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围． 解：(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)， 则对称轴为直线x＝－＝1，故函数g(x)在[2，4]上单调递增， 所以当x＝2时，g(x)min＝1；当x＝4时，g(x)max＝9， ∴解得 故a的值为1，b的值为0. (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝＝x＋－2， 因为不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解， 所以3x＋－2－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解， 设t＝，t∈， 所以t2－2t＋1≥k在上有解，即(t2－2t＋1)max≥k. 设h(t)＝t2－2t＋1，t∈， 对称轴t＝1，则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4， 所以实数k的取值范围是(－∞，4]. [技能提分练] 12．(2023·辽宁大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A．{0} B．{－1，0} C．{－2，－1，0} D．{－1，0，1} C　解析：f(x)＝－＝－＝ －＋， ∵ex>0，∴ex＋1>1，∴0<<2， ∴－2<－<0，∴f(x)∈， ∴y＝[f(x)]的值为－2或－1或0. 13．正实数a，b，c满足a＋2－a＝2，b＋3b＝3，c＋log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a A　解析：c＋log4c＝4⇒log4c＝4－c，即c为函数y＝log4x与y＝4－x的图象交点的横坐标，b＋3b＝3⇒1＋3b＝4－b，即b为函数y＝1＋3x与y＝4－x的图象交点的横坐标，a＋ 2－a＝2⇒2＋＝4－a，即a为函数y＝2＋与y＝4－x的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出图象，如图所示， 由图象可知b<a<c. 14．已知函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝g(x)在[a，b]上同时递增或同时递减时，[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”．若[1，2]为函数y＝|2x＋t|的“不动区间”，求实数t的取值范围． 解：因为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)＝f(－x)＝|2－x＋t|. 因为[1，2]为函数y＝|2x＋t|的“不动区间”， 所以函数f(x)＝|2x＋t|和函数g(x)＝|2－x＋t|在[1，2]上的单调性相同． 又因为y＝2x＋t和y＝2－x＋t的单调性相反， 所以(2x＋t)(2－x＋t)≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x≤t≤－2－x在[1，2]上恒成立，得－2≤t≤－. [素养拉分练] 15．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则(　　) A．z>x>y B．z>y>x C．x>y，x>z D．z>x，z>y D　解析：设2x＝3y＝log4z＝k＞0， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k， 根据指数、对数函数图象易得4k＞log2k，4k＞log3k， 即z>x，z>y. 学科网（北京）股份有限公司 $$