课时作业(4) 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四)　基本不等式 [基础保分练] 1．(2023·广州揭阳模拟)设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2成立的条件是ab＞0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的必要不充分条件． 2．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　) A． B． C．－1 D．0 D　解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值为0. 3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 C　解析：因为＋＝，所以a>0，b>0， 由＝＋≥2＝2， 得ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2. 4．(2023·福建宁德模拟)已知a>0，b>0，且(a－2)·(b－1)＝，则a＋2b的最小值为(　　) A．3＋ B．8 C．4＋ D．10 D　解析：由(a－2)(b－1)＝得2ab＝5＋2(a＋2b)，由基本不等式得2ab≤，即5＋2(a＋2b)≤，解得a＋2b≥10或a＋2b≤－2.因为a>0，b>0，所以a＋2b≤－2舍去，即a＋2b的最小值是10，故选D. 5．(2023·河南信阳模拟)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　) A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 B　解析：设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则 方案一：两次加油平均价格为 ＝>， 方案二：两次加油平均价格为 ＝<， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算． 6．(2023·河北邯郸摸底)已知x，y均为正数，且，，成等差数列，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．3＋2 D　解析：由题可知＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·(＋)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x，即x＝＋1，y＝2＋时等号成立). 7．(2024·内蒙古通辽月考)已知x>0，y>0，且＋＝2.若4x＋y＞7m－m2恒成立，则m的取值范围为(　　) A．(3，4) B．(－4，3) C．(－∞，3)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) C　解析：由题意可得4x＋y＝(4x＋y)(＋)＝(12＋＋)≥×(12＋2)＝12，当且仅当x＝，y＝6时取等号，得12＞7m－m2，解得m>4或m<3. 8．(2023·江苏南京调研)设a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则＋(　　) A．有最小值为2＋1 B．有最小值为＋1 C．有最小值为 D．有最小值为4 A　解析：根据题意，＝＝1＋，因为a＞0，b＞0，所以＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当＝，即a＋b＝a时等号成立，故＋有最小值为2＋1. 9．(2023·湖北襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，求＋的最小值． 解：令x－1＝m，2y－1＝n， 则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1， ∴＋＝＋＝(m＋n)＝ 2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”． ∴＋的最小值为4. 10．已知函数y＝，求函数的最大值． 解：由题知y＝，当x－1＝0时，y＝0；当x－1>0时，y＝≤＝， ∴当且仅当＝，即x＝5时，等号成立， ∴ymax＝. [技能提分练] 11．(多选)(2023·广东广州三校联考)设a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．(a＋b)(＋)≥4 B．a2＞2a－1 C．＋≥a＋b D．≥ ACD　解析：(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，故A正确；当a＝1时，a2＝2a－1＝1，故B错误；＋＋a＋b＝＋a＋＋b≥2＋2＝2a＋2b，∴＋≥a＋b，故C正确；＝＝(a＋b)－≥2－＝，故D正确． 12．(2023·山东济南模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　) A.2 B．2＋ C．4 D．2＋2 D　解析：因为△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1， 所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2， 所以＋＝＋＝ 2＋＋≥2＋2， 当且仅当＝且a＋b＋c＝2， 即c＝2－2时，等号成立， 所以＋的最小值为2＋2. 13．(2023·安徽六安模拟)已知3a＝2，5b＝3，则下列结论正确的有(　　) ①a<b；②a＋<b＋；③a＋b<2ab； ④a＋ab<b＋ba. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　解析：因为3a＝2，5b＝3， 则a＝log32，b＝log53. 对于①，∵23<32，则2<3，从而0＝log31<a＝log32<log33＝， ∵33>52，则3>5，则＝log55<log53＝b<log55＝1，即0<a<<b<1，①正确； 对于②，－＝＋＝ ， 因为0<a<<b<1，则a－b<0，0<ab<1， 所以a＋>b＋，②错误； 对于③，∵2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54， 所以a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝ log32－log5>log3－log5＝0， 所以a＋b>2ab，③错误； 对于④，构造函数f(x)＝，其中0<x<e， 则f′(x)＝. 当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在上单调递增， 因为0<a<b<1，则f<f，即<，可得ab<ba，所以a＋ab<b＋ba，④正确．故选B. 14．(2023·江苏苏州中学月考)函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，则的最小值是(　　) A．10 B．9 C．8 D．3 B 　解析：对函数求导可得，f′(x)＝2ax＋b.根据导数的几何意义，f′(1)＝2a＋b＝2，即a＋＝1.＝＋＝(＋)(a＋)＝＋＋5≥2＋5＝4＋5＝9，当且仅当时取等号．所以最小值是9. 15．(2023·山东枣庄第三次月考)已知a＞b＞0，求a＋＋的最小值． 解：因为a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0，a＋＋＝＋＋＋≥2＋2＝2＋2×＝3，当且仅当即a＝，b＝时等号成立． [素养拉分练] 16．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤ (a>0，b>0) D 　解析：由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤ (a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号． 17．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊗k＝3，则k的值为______，此时函数f(x)＝的最小值为________． 答案：1　3　解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故函数f(x)的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$