2024年高一数学暑假作业2

高一数学暑假自主学习检测二 满分：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，m⊥n，则n⊥α 2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若，则(　　) A． B． C．2 D．3 3．若非零向量、满足，且，则与的夹角为(　　) A． B． C． D． 4．已知||＝2，向量与向量的夹角为120°，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 5．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中．AA1＝1，AB＝BC，cos∠ABC，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为(　　) A． B． C．1 D．3 6．若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是(　　) A．0 B．﹣2 C． D．﹣3 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则角A＝(　　) A． B． C． D． 8．如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值(　　) A． B．12 C．6 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且(acosC+ccosA)＝2bsinB，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是(　　) A．△ABC是等边三角形 B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最大值为3 D．四边形ABCD面积最小值为3 10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，能推出AP⊥BC的条件是(　　) A．AP⊥PB，BC⊥PB B．AP⊥PB，AP⊥PC C．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 11．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，其中成立的有(　　) A．SG⊥平面EFG B．SE⊥平面EFG C．GF⊥SE D．EF⊥平面SEG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为 　 　． 13．如图，梯形ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝2，2，若点M为边AB上的动点，则•的最小值是 　 　． 14．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biē nào)．已知在鳖臑M﹣ABC中，MA⊥面ABC，MA＝AB＝BC＝2，则该鳖臑的表面积为 　 　，它的内切球的半径为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数f(x)＝x2+mx+3，其中m∈R． (1)若不等式f(x)＜5的解集是(﹣1，2)，求m的值； (2)若函数y＝f(x)在区间[0，3]上有且仅有一个零点，求m的取值范围． 16．武汉市重点中学联合体高一年级举行了期中统一考试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表： 分组 频数 频率 [0，30) 2 0.02 [30，60) 5 0.05 [60，90) 35 0.35 [90，120) m n [120，150] 13 0.13 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N的值，并根据表中数据补全频率分布直方图； (2)请根据频率分布直方图估计这次数学成绩的样本数据的第35百分位数； (3)命题老师在考前期待这份试卷成绩的平均分在95到105之间，请你根据频率分布直方图估计最终成绩是否符合他的期待？ 17．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CD，BF⊥CD．将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形． (1)证明：平面PAE⊥平面PBF； (2)求二面角P﹣AB﹣F的正弦值； (3)若，求四棱锥P﹣ABFE的体积． 18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB+bcosA＝2ccosC，． (1)求角C； (2)求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围． 19．某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为2百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设∠COB＝θ． (1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当θ满足什么条件时，郁金香种植面积最大； (2)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值(单位：百米)． 第1页(共1页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业2参考答案 1．B 【解析】 若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，故A错误； 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误； 若m⊥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误． 故选：B． 2．C 【解析】 在正方形网格中，设分别是水平向右方向上、坚直向上方向上的单位向量， 于是有， 由⇒⇒， 所以． 故选：C． 3．B 【解析】 根据题意，设与的夹角为θ， 非零向量、满足，则有()••2＝0，变形可得2•， 又由，则有()2＝52，即2+2•2＝52，即222， 则有cosθ， 又由0≤θ≤π，则θ， 故选：B． 4．D 【解析】||＝2，向量与向量的夹角为120°，是与同向的单位向量， 所以在上的投影向量为：||cos120°， 故选：D． 5．B 【解析】 连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1， 设点C1的新位置为C'，连接AC'，则AC'即为AP+PC1的最小值， 由题意可知AA1＝1，AB＝BC，cos∠ABC，得A1B＝BC'＝A1C'＝2， ∠AA1B＝∠BA1C'＝60°， 所以在△AA1C'中，AC'， 故选：B． 6．C 【解析】 不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0，]恒成立， 即有﹣a≤x对于一切x∈(0，]恒成立． 由于y＝x的导数为y′＝1，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减． 则当x时，y取得最小值且为， 则有﹣a，解得a． 则a的最小值为． 故选：C． 7．C 【解析】 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，而三角形面积为， 故 整理得到，而A为三角形内角，故． 故选：C． 8．D 【解析】 (如图)取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC ∵M是边BC的中点，∴ ∴， ， 由数量积的定义可得， 而||，故4； 同理可得1， 故5， 故选：D． 9．AC 【解析】 ∵(acosC+ccosA)＝2bsinB， ∴(sinAcosC+sinCcosA)＝2sinB•sinB，即sin(A+C)sinB＝2sinB•sinB， ∴由sinB≠0，可得sinB，∴B或． 又∵a＝b．∴B＝∠CAB＝∠ACB，故A正确； 若四点A，B，C，D共圆，则四边形对角互补，由A正确知D， 在△ADC中，∵DC＝1，DA＝3，∴AC，故B错； 等边△ABC中，设AC＝x，x＞0， 在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cosD， 由于AD＝3，DC＝1，代入上式，得x2＝10﹣6cosD， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDx•xsin•3sinDx2sinD＝3sin(D， ∵D∈(0，π)，∴， ∴四边形ABCD面积的最大值为3，无最小值， 故C正确，D错误， 故选：AC． 10．BCD 【解析】 对于A，AP⊥PB，BC⊥PB，不能证明AP⊥BC，不合题意； 对于B，AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，则AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，可得AP⊥BC，合题意； 对于C，平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，合题意； 对于D，AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，可得AP⊥BC，合题意； 故选：BCD． 11．AC 【解析】 ①正确． ∵在折前正方形SG1G2G3中， SG1⊥G1E，SG3⊥G3F， ∴折成四面体S﹣EFG后，SG⊥GE，SG⊥GF， 又∵GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG． ②错误． 根据①知，SG⊥平面EFG． 若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，而由图知SE与SG明显相交． ③正确． ∵FG2⊥EG2即FG⊥EG， 又∵SG∩EG＝G， ∴GF⊥平面GSE，又SE⊂平面GSE，所以GF⊥SE． ④错误． ∵EF不垂直于EG， ∴EF不垂直于平面SEG． 故成立的有①③． 故选：AC． 12．{λ|} 【解析】 ∵与的夹角为锐角，∴且与不共线， 由，得1+3λ＞0，解得， 当与共线时，1×3＝1×λ，解得λ＝3， 故实数λ的取值范围为{λ|}． 故答案为：{λ|}． 13． 【解析】 以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)， 设D(2，n)，则(2，﹣2)，(2，n)， 因为2， 所以4﹣2n＝﹣2，解得n＝3，即D(2，3)， 设M(0，y)，y∈[0，2]，则(2，﹣y)，(2，3﹣y)， 所以•4﹣y(3﹣y)＝y2﹣3y+4， 所以•的最小值为． 故答案为：． 14． 【解析】解：已知在鳖臑M﹣ABC中，MA⊥面ABC，MA＝AB＝BC＝2， 如图所示： 故：AB2+BC2＝AC2，MB2+BC2＝MC2，AC2+AM2＝MC2， 故4+4； 设内切球的半径为r， 利用等体积转换；， 解得：． 15．【解析】 (1)f(x)＜5的解集是(﹣1，2)，得到x2+mx﹣2＜0的解集是(﹣1，2)， 所以﹣1+2＝1＝﹣m，所以m＝﹣1 (2)令f(x)＝x2+mx+3＝0， 因为f(0)≠0，所以当x∈(0，3]时，f(x)＝x2+mx+3＝0， 即有，因为函数y＝f(x)在区间0，3]上有且仅有一个零点， 令，根据对勾函数的性质， 可得，因为y＝﹣m与y＝g(x)有且仅有一个交点， 根据对勾函数的图像性质，得或﹣m＞4，进而可得答案为：． 16．【解析】 (1)由频率分布表，得总数M， ∴m＝100﹣(2+5+35+13)＝45，第四组的频率n， 由频率之和为1，可得N＝1． 补全频率分布直方图如图： (2)由题意，总人数为100，前两组的频率为0.02+0.05＝0.07， 第三组的频率为0.35，则第35百分位数一定在第三组内，等于60； (3)由频率分布直方图可得分数的平均值为：0.02×15+0.05×45+0.35×75+0.45×105+0.13×135＝93.6， ∵93.6＜95，∴不符合命题老师的期待． 17．【解析】 (1)证明：由题意得AE⊥PF，又PE⊥PF，AE∩PE＝E，故PF⊥平面PAE， 又PF⊂平面PBF，故平面PAE⊥平面PBF； (2)如图，连接PC，PD，CD，C，D分别为AB，EF的中点， 由(1)知PA＝PB，故PC⊥AB，又CD∥AE，AE⊥AB，∴CD⊥AB， 故∠PCD为二面角P﹣AB﹣F的平面角， 由(1)知，AE⊥平面PEF，又AE⊂平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE， 又平面ABFE∩平面PFE＝EF，PD⊥EF，∴PD⊥平面ABFE， 设EF＝2a，则PE＝AEa，PA2a，PCa， PD＝ED＝a， 故二面角P﹣AB﹣F的正弦值为sin∠PCD； (3)由(2)得PD⊥平面ABFE，又AB，所以AE＝1，PD， 故四棱锥P﹣ABEF的体积为1． 18．【解析】 (1)由题意，因为acosB+bcosA＝2ccosC， 所以由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A+B)＝2sinCcosC， 可得sinC＝2sinCcosC， 因为sinC≠0， 所以， 又因为C∈(0，π)， 所以． (2)由正弦定理得，可得R＝1， 由题意可得，可得：， 所以， 由于，可得， 则， 可得△ABC的周长的取值范围为． 19． 【解析】 (1)∵线段AB长为2百米，所以圆的半径为1百米，即OA＝OB＝OC＝OD＝1， 当时，由三角形的面积公式得： SABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA ，(其中φ满足，且)， 当，即时取等号， ∴当时，取得最大值， ∴当时，郁金香种植面积最大(其中φ满足，且)． (2)由余弦定理得： ， ∴， 令，∵，∴， ∴ ， ∴，即时，l的最大值为3， 故当时，栈道的总长l最长，l的最大值为3百米． 第1页(共1页) 学科网（北京）股份有限公司 $$