2024年中考数学二轮复习重难点题型突破题型三 几何证明与计算题 课件

题型三 几何证明与计算题 与三角形有关的证明与计算 1. 如图,在 ABC中,BE平分∠ABC,交AC于点E,DE∥BC. (1)求证: BDE是等腰三角形; (1)证明:∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBC. ∵DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC. ∴∠DEB=∠ABE. ∴BD=ED. ∴ BDE是等腰三角形. (2)若∠A=50 ,∠ABE=30 ,求∠AED的大小. (2)解:∵∠ABE=30 ,BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠ABE=60 . 又∵∠A=50 , ∴∠C=180 -∠A-∠ABC=180 -50 -60 =70 . ∵DE∥BC,∴∠AED=∠C=70 . 2. 如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD. (1)求证: ABC≌ CDE; (1)证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE, ∴∠B=∠D=∠ACE=90 . ∴∠BAC+∠BCA=90 =∠BCA+∠DCE. ∴∠BAC=∠DCE. 在 ABC和 CDE中, ∴ ABC≌ CDE(ASA). (2)请写出线段AB,DE,BD之间的数量关系,并说明理由. (2)解:BD=AB+DE. 理由如下: 由(1)可知, ABC≌ CDE. ∴AB=CD,BC=DE. ∴BD=CD+BC=AB+DE. 3. 如图,在 ABC中,∠A=90 ,∠B=15 . (1)用尺规作出BC的垂直平分线交AB于点D,垂足为点E;(保留作图 痕迹,不写作法) 解:(1)如图,DE即为所求. (2)若AC=8,求BD的长. (2)如图,连接CD. ∵DE是BC的垂直平分线, ∴CD=BD. ∴∠BCD=∠B=15 . ∴∠ADC=2∠B=2 15 =30 . ∵∠A=90 ,AC=8, ∴在Rt ACD中,CD=2AC=2 8=16. ∴BD=CD=16. 4. 如图,Rt ABC中,∠B=90 ,点D在边AC上,且DE⊥AC交 BC于点E. (1)求证: CDE∽ CBA; (1)证明:∵DE⊥AC,∠B=90 , ∴∠CDE=90 =∠B. 又∵∠C=∠C, ∴ CDE∽ CBA. (2)若AB=3,AC=5,点E是BC的中点,求DE的长. (2)解:在Rt ABC中,∠B=90 ,AB=3,AC=5, ∴BC==4. ∵点E是BC的中点,∴CE=BC=2. 由(1)知 CDE∽ CBA, ∴=,即=. ∴DE==. 5. 如图,在 ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB 的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF. (1)求证:EF∥BC; (1)证明:∵DC=AC,CF平分∠ACB, ∴点F是AD的中点. 又∵点E是AB的中点, ∴EF是 ABD的中位线.∴EF∥BC. (2)若四边形BDFE的面积为6,求 ABD的面积. (2)解:∵EF是 ABD的中位线, ∴EF∥BC,EF∶BD=1∶2. 如图,连接DE. 易得S DEF∶S DEB=1∶2. 又∵四边形BDFE的面积为6, ∴S DEF=6 =2. ∵点F是AD的中点,∴S AEF=S DEF=2. ∴ ABD的面积为2+6=8. 6. 已知:如图,在四边形ABCD中,∠BCD=∠BAD=90 ,点 E,F分别是对角线BD,AC的中点. (1)请判断线段EF与AC的位置关系,并说明理由; 解:(1)EF⊥AC. 理由如下:如图,连接AE,EC. ∵∠BCD=90 ,点E是BD的中点,∴CE=BD. ∵∠BAD=90 ,点E是BD的中点, ∴AE=BD. ∴AE=CE. ∴ ACE是等腰三角形. ∵点F是AC的中点, ∴EF⊥AC. (2)若∠ADC=30 ,BD=8 cm,试求线段EF的长度. (2)∵BD=8 cm,∴EA=EB=ED=EC=4 cm. ∴易得∠AEB=2∠ADB,∠CEB=2∠CDB. ∴∠AEC=∠AEB+∠CEB=2∠ADC=60 . 由(1)知AE=CE. ∵点F是AC的中点, ∴EF⊥AC,∠AEF=∠CEF=∠AEC=30 . ∴AF=AE=2(cm). ∴EF===2(cm). 7. 综合与实践课上,李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转” 为主题开展数学活动.数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形 AOB和等腰直角三角形COD按图1的方式摆放,∠AOB=∠COD=90 , 随后保持 AOB不动,将 COD绕点O按逆时针方向旋 (0 < <90 ), 连接BC,AD,延长BC交AD于点M. 该数学兴趣小组进行如下探究,请你 帮忙解答: 【初步探究】 (1)如图1,直接写出线段BC和AD的关系: ; (2)如图2,当CD∥BO时,则 = ; BC=AD,BC⊥AD 45 【深入探究】 (3)如图3,当0 < <90 时,连接OM,兴趣小组认为不仅(1)中的结 论仍然成立,而且在 COD旋转过程中,∠CMO的度数不发生变化,请 给出推理过程并求出∠CMO的度数; 解:(3)如图,过点O作ON⊥OM,交MB于点N. 同理(1), 易知 BOC≌ AOD(SAS). ∴BC=AD,∠CBO=∠DAO. 设BM与OA的交点为点P. ∵∠CBO+∠BPO+∠BOP=180 ,∠DAO+∠APM+∠AMP= 180 ,∠BPO=∠APM, ∴∠AMP=∠BOP=90 ,即BC⊥AD. ∵∠BON+∠NOA=∠NOA+∠AOM=90 , ∴∠BON=∠AOM. 又BO=AO,∴ BON≌ AOM(ASA). ∴ON=OM. 又∵ON⊥OM,∴∠NMO=45 ,即∠CMO=45 . 【拓展延伸】 (4)如图3,试探究线段AM,BM,OM之间是否存在某种特定的数量 关系,若存在,直接写出数量关系式;若不存在,请说明理由. (4)存在,BM=AM+OM. 提示:由(3)可知, BON≌ AOM. ∴BN=AM. ∵ NOM是等腰直角三角形,OM=ON, ∴MN==OM. ∴BM=BN+MN=AM+OM. 与四边形有关的证明与计算 8. 如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠DCB的平分线交AD于点F,点G,H分别是AE和CF的中点,连接FG,EH. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠BAD=∠DCB,∠B=∠D. ∵AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB, ∴∠BAE=∠DAE=∠BAD,∠BCF=∠DCF=∠DCB. ∴∠BAE=∠DCF. 在 ABE和 CDF中, ∴ ABE≌ CDF(ASA). (1)求证: ABE≌ CDF; (2)连接EF. 若EF=AF,请判断四边形GEHF的形状,并证明你 的结论. (2)解:四边形GEHF是矩形.证明如下: 由(1)知 ABE≌ CDF, ∴AE=CF,∠AEB=∠CFD. 易知AD∥BC,∴∠CFD=∠BCF. ∴∠AEB=∠BCF. ∴AE∥CF,即GE∥FH. ∵点G,H分别为AE,CF的中点,∴GE=FH. ∴四边形GEHF是平行四边形. ∵EF=AF,点G为AE的中点, ∴GF⊥AE,即∠FGE=90 . ∴四边形GEHF是矩形. 9. 如图,四边形ABCD为矩形,点O为AC的中点,过点O作AC的垂 线分别交AD,BC于点E,F,连接AF,CE. (1)证明:∵点O为AC的中点,EF⊥AC, ∴EF为AC的垂直平分线. ∴EA=EC,FA=FC,∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA. ∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥CF. ∴∠EAC=∠FCA. ∴∠FAC=∠ECA. ∴AF∥CE. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又EA=EC,∴四边形AFCE是菱形. (1)求证:四边形AFCE是菱形; (2)若AC=8,EF=6,求BF的长. (2)解:∵四边形AFCE是菱形,AC=8,EF=6, ∴OE=3,OA=4.∴易得AE=5.∴AF=CF=AE=5. 设BF=x.在Rt ABF中,AB2=AF2-BF2, 在Rt ABC中,AB2=AC2-BC2. ∴52-x2=82-(x+5)2.解得x=.∴BF=. 10. 如图,已知E,F是 ABCD对角线AC上两点,AE=CF. (1)求证: ABE≌ CDF; (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD. ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF, ∴ ABE≌ CDF(SAS). (2)若CH⊥AB交AB的延长线于点H,=3,BC=,tan ∠CAB =,求 ABCD的面积. (2)解:∵=3,∴CH=3BH. 又∵CH⊥AB,BC=, ∴BH2+CH2=BC2,即BH2+(3BH)2=()2. 解得BH=1(负值已舍去).∴CH=3. 又∵tan ∠CAB==,∴AH=4. ∴AB=AH-BH=4-1=3. ∴ ABCD的面积为AB CH=3 3=9. 11. 已知,如图,点F是正方形ABCD的边CD上一点,过点F作 FE⊥BD于点E,连接AE,BF. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠C=90 . ∵FE⊥BD, ∴∠BEF=∠BCF=90 . 又∵BE=BC,BF=BF, ∴Rt BEF≌Rt BCF(HL).∴FE=FC. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠EDF=45 . ∴易得 DEF是等腰直角三角形,DF=FE. ∴DF=FC. (1)当BE=BC时,求证:DF=FC; (2)求的值. (2)解:如图,过点A作AG⊥BD于点G. 易得 ABG是等腰直角三角 形.设正方形ABCD的边长为a,FC=m.易得AG=BG=A. ∴BF==,DF=DC-FC=a-m. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠EDF=45 . ∴易得 DEF是等腰直角三角形. ∴易得DE=EF=DF=(a-m). ∴BE=BD-DE=a-(a-m)=(a+m). ∴GE=BE-BG=(a+m)-a=m. 在Rt AGE中,AE===. ∴==. 12. 如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE, EA=ED=. (1) ADE的面积为 ; 解:(1)提示:如图,过点E作EH⊥AD. ∵正方形ABCD的边长为3,∴AD=3. ∵ ADE是等腰三角形,EA=ED=,EH⊥AD, ∴AH=DH=AD=. 3 在Rt AHE中,EH===2. ∴S ADE=AD EH= 3 2=3. (2)若F为BE的中点,连接AF并延长,与CD相交于点G,求AG的 长. (2)如图,延长EH交AG于点K. ∵正方形ABCD的边长为3, ∴∠BAD=∠ADC=90 ,AB=3. ∴AB⊥AD,CD⊥AD. ∵EK⊥AD,∴AB∥EK∥CD. ∴∠ABF=∠KEF. ∵点F为BE的中点,∴BF=EF. 在 ABF和 KEF中, ∴ ABF≌ KEF(ASA).∴KE=AB=3. 由(1)可知,AH=AD,EH=2.∴KH=1. ∵KH∥CD,∴ AHK∽ ADG. ∴.∴GD=2. 在Rt ADG中,AG=. 13. 综合与实践 (1)动手操作:如图1,将一张长方形的纸对折两次,然后沿45 的方 向剪下一个角,打开,剪出的是一个 形.再利用图形的“旋转” 开展数学探究活动,体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想 方法. 正方 (2)问题探究:如图2,由“动手操作”所得的四边形ABCD的对角线 相交于点O,把一个与它全等的四边形OGHM绕点O旋转,OG交AB于点 E,OM交BC于点F. 探究线段OE,OF之间的数量关系,并说明理由. 解:(2)OE=OF. 理由如下: 由(1),得四边形ABCD为正方形. ∴四边形OGHM为正方形,OB=OC,∠OBE=∠OCF=45 . 易知∠MOG=∠COB=90 . ∴∠BOE+∠FOB=∠FOB+∠COF. ∴∠BOE=∠COF. ∴ OEB≌ OFC(ASA). ∴OE=OF. (3)拓展迁移:如图3,矩形ABCD的对角线交点为O,直角∠EOF的 边OE,OF分别与边AB,BC相交于点E,F. 设=k(k为常数),探究线段 OE,OF之间的数量关系,并说明理由. (3)OF=kOE. 理由如下: 如图所示,过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N. ∴∠OME=∠ONF=∠ONB=90 . ∵∠MBN=90 ,∴四边形BMON是矩形. ∴∠MON=90 =∠EOF. ∴∠MOE+∠EON=∠NOF+∠EON. ∴∠MOE=∠NOF. ∴ OME∽ ONF. ∴=. ∵OM∥BC,∴=. ∵AO=OC,∴AM=MB. ∴ON=MB=AB,OM=BC. ∴===.∴OF=kOE. $$