福建省龙岩市上杭县第一中学2023-2024学年高二下学期数学限时训练五

福建省龙岩市上杭县第一中学2023-2024学年第二学期高二数学限时训练五 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在处取得极大值，则（     ）. A．3 B． C．3或 D．1 2．已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   6．若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知恰有三个不同的零点，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（    ） A．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B对立 B．若随机变量，则方差 C．若随机变量，，则 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和 10．如图，在直三棱柱中，，，P为棱的中点，Q为棱上的动点，平面APQ与棱交于点R，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点Q，使得 B．线段长度的取值范围是 C．当点Q与点B重合时，四棱锥的体积为16 D．设截面AQPR，，的面积分别为，则 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为1 C．当时， D．若函数恰有2个零点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则表中m的值为 ． 13．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是 . 14．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 【分析】利用导函数和极值点的定义求解即可. 【详解】由题意得， 令得或， 当时恒成立，单调递增，不存在极大值； 当时在和上大于0，单调递增，在上小于0，单调递减， 所以在处取得极大值，由得； 当时在和上大于0，单调递增，在上小于0，单调递减， 所以在处取得极大值，所以， 综上或， 故选：C 2．A 【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得． 当时，得或，当时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为， 即时，函数取得极小值，    当时，即， 解得或， 故要使函数在区间上存在最小值， 需有，解得， 即实数a的取值范围为 故选：A． 3．C 【分析】在散点图中作出三条线性回归方程对应直线的大致形状，数形结合即得. 【详解】记三条回归直线分别为，，， 画出这三条回归直线的大致图象，如图所示， 由图可知这三条回归直线的斜率大小关系为， 截距大小关系为． 故选：C. 4．D 【分析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件为“此人患了流感”．利用条件概率公式计算出，根据题中条件可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围，即可得解. 【详解】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”， 事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”， 事件为“此人患了流感”． 由题可知，，，， ， 由条件概率公式可得， ，， 由题意可得，即，解得， 故选：D. 5．B 【分析】根据函数的奇偶性可排除C；根据的符号可排除A；利用导数说明不是函数的极值点，即可排除D. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故排除C； 因为，故排除A； 当时，，则， 因为，所以不是函数的极值点，故排除D. 故选：B. 6．B 【分析】由，可知，即，由在区间上单调递减，可知，即有. 【详解】，，， 只需比较，，的大小即可， ，， 所以，即， 所以，即. 构造函数，（）， 则有， 所以在区间上单调递减， 所以，即， 所以有，， 即. 综上：. 故选：B. 7．C 【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数，结合导数可得恒成立，进而结合二次函数的性质即可求解. 【详解】根据，可知， 令 由，知为增函数， 所以恒成立， 分离参数得， 而当时，在时有最大值为， 故，即实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数，结合导数可得恒成立，进而求解即可. 8．D 【分析】由已知方程有三个不同的根，即方程或有三个不同根，利用导数分析函数与的性质，由此确定实数a的范围. 【详解】由， 得，即． 令，则，令可得， 当时，，当时，， ∴  在单调递增，在单调递减， 所以，即仅有唯一的解． 依题意，方程有两个不同的解，即与有两个不同的交点，令，则，易得在单调递增，在单调速减，，画出的草图 观察图象可得， 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．CD 【分析】由互斥、对立事件关系判断A；利用二项分布方差公式及方差性质判断B；由正态分布的性质求概率判断C；根据题设有，即可得参数值判断D. 【详解】A：由于互斥事件不一定对立，但对立事件必互斥，故错误； B：由二项分布方差公式得，故，错； C：由正态分布的对称性知：，对； D：由题意，模型改写为，则，故，对. 故选：CD 10．BCD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中，.，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用锥体和台体的体积公式可判断C选项；利用函数的性质可判断D选项. 【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、 设点、，其中，. 对于A选项，若存在点，使得，且，， ，解得，不合乎题意，A错； 对于B选项，设，其中、， 即，即，可得， ，则，所以，，B对； 对于C选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如下图所示： 在直三棱柱中，四边形为矩形，则且， 所以、分别为、的中点，则且， 所以，且，同理且，且， 所以，，故几何体为三棱台， ，， ， ， 因此，，C对； 对于D选项，，， 则点到直线的距离为， ，则点到直线的距离为 ， 所以，，故， 令，则， 则，由双勾函数的性质知，在上单调递增， 则当时，；当时，，则，D对. 故选：BCD. 11．BCD 【分析】对于选项AB，通过对函数求导，直接求出函数的单调区间和最大值，即可判断出选项AB的正误；对选项C，通过构造函数，利用的单调性即可判断出选项C的正误；对于选项D，令，从而得到，再利用的单调性即可判断出选项D的正误. 【详解】选项AB，易知的定义域为，，所以， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减， 则，故选项A错误，选项B正确； 选项C，令，则 ，因为，所以，即在区间上单调递增， 则，即，故选项C正确； 选项D，令，由，得到， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于0， 所以时，恒有，所以， 如图1，当或时，无解， 则无零点，不合题意； 当时，时，，由，得到，即时， 则有且只有一个零点，不合题意； 当时，有两个解， 因为，如图2，有且仅有两解，，无解， 则有且两个零点，符合题意； 所以恰有两个零点时，，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．4.5 【分析】表示出样本中心点的横、纵坐标，将其代入回归直线方程即可求解. 【详解】样本中心点的横坐标为，样本中心点的纵坐标为， 所以由样本中心点必在回归方程所对应的直线上，可得，解得. 故答案为：4.5. 13．0.8/ 【分析】利用条件概率公式求解. 【详解】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则 ， 则， 故答案为：0.8 14． 【分析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可. 【详解】因为恒成立即， 可得，令，则恒成立. 又，故当时，，故在区间上为增函数. 又恒成立，则在区间上恒成立，即，. 构造，则，令有， 故当时，，为增函数；当时，，为减函数. 故，故，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$