专题十五 解直角三角形-【领跑】2024年中考数学一轮复习基础梳理

专题十五 解直角三角形 // // 1.知识点梳理 链接教材 人教:九下第二十八章P60~P85;北师:九下第一章P1~P27. 一定义。 在直角三角形中,由已知元素求 未知元素的过程叫做解直角三角形 锐角4的正弦,余弦,正切 定义 角的关系。 都是乙A的锐角三角形函数 sinA-4的对边-g-C正弦 三边关系一勾股定理 斜边 -依据 sinA-4的对边- cos424的邻边4余弦 斜边 斜边 -边和角的关系 cosA--4的邻边-2 (tan,440正切 斜边 -.tan ,-4的对边- 0csinA1 乙A的邻边 0<cosA<1-锐角A的三角函数值的取值范围 锐角三 仰角:向上看的视 tan />0- 仰角。 角函数 线与水平线的夹角: 俯角问题俯角:向下看的视 锐角A 300 452 60 锐 线与水平线的夹角 三角函数 坡角:坡面与水 ### sir/ 特殊角的 平面的夹角a 三角函数值 cosA 坡度与坡角问题 坡度:坡面的垂直 -应用 高度与水平宽度/的比 tanA 以正北或正南为基 南偏西60。北 方向角。准,用向东或向西 问题。 旋转的角度表示方向 2.命题点精炼 之星) 学词之星 命题点一 锐角三角函数 星 之星 1./北师九下P6习题1变式/在Rt△ABC中,C-90{,AB-5,AC=3,则下列等式正确的是 ) A.sinA- D.cosA-4 5 2.在Rt△ABC中,若各边长都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值 (,__ A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.以上都不对 3.在△ABC中,C-90{*,tanA=2,则sinA的值是 A. 1. ) A.30* B.45t C.600 D.90* 领跑-数学91 冒 5./人教九下P69习题6变式/如图,在Rt△ABC中,ACB=90*},CD|AB于点D. 下列各组线段的比不能表示sin BCD的是 ) BAB BC (5题图) 6./人教九下P63例1变式/如图,在Rt△ABC中,C-90*,AC=8,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值 HC (6题图) 三之{ 目之星 二冒 7./人教九下P66例3变式7计算:2sin45*-6cos30{*}+3tan45*+4sin60{. 命题点二 解直角三角形 ·考向1 仰角和俯角 8./人教九下P76练习1变式/ 如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距 m 20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52{*},观测旗杆底部B的仰角为45*; 则旗杆AB的高度约为 m.(结果精确到0.1m.参考数据: (8题图) sin52*~0.79,cos52*~0.62,tan52*~1.28./②~1.41) 9./新考向·创设真实情境/如图是消防员攀爬云梯到小明家的场景.已知AE1BE,BC上BE,CD/ BE,AC=10.4m,BC-1.26m,在点C处测得点A的仰角为70*,求楼AE的高度.(结果保留 整数,参考数据:sin70~0.94,cos70~0.34,tan70*~2.75) (9题图) 92领跑-数学 10./新考向·创设真实情境/如图是某景区的一座大桥,学校数学兴趣小组在一次数学实践活动中对 桥墩的高度进行了测量,测得斜坡BC的长为50m,CBE一30{,在斜坡顶端C处水平地面上 以3.6km/h的速度行走0.5min到达点D,在点D处测得桥墩最高点A的仰角为34^①} (1)水平地面CD的长为 m; (2)求桥墩AB的高度.(结果精确到0.1m.参考数据;sin34{*}~0.56,cos34*}~0.83,tan34*}~ 0.68.③~1.73) (10题图) ,考向2一方位角 11./2023阜新模拟/如图,AB为东西走向的滨海大道,小莉参加沿滨海大道“低碳生活·绿色出行” 健步走公益活动.小莉在点A处时,某艘海上观光船位于小莉北偏东68{的点C处,观光船到滨 海大道的距离CB为200m.当小莉沿滨海大道向东步行200m到达点E时,观光船沿北偏西 40{*}的方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小莉的正北方向,求观光船从C处航行到D处的 距离.(结果精确到0.1m.参考数据:sin40~0.64,cos40}~0.77.tan40*~0.84,sin68~ 0.93,cos68~0.37,tan68*~2.48) 司 (11题图) ·考向3 坡角 12.学校运动场的四角各有一盏灯,其中一盏灯B的位置如图所示,灯杆AB的正前方有一斜坡 AC.已知斜坡AC的长为12m,坡度i一1:/3,坡角为a.灯光受灯罩的影响,最远端的光线与 地面的夹角为27*},最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处,且与地面的夹角 BCG一 60{*,点A,B,C,D,G在同一平面上. ()一。 ,乙ABD一 (2)求灯杆AB的高度; (3)求CD的长.(结果精确到0.1m.参考数据:sin27*~0.45,cos27*~0.89,tan27*~0.50. 3~1.73) (12题图) 领跑-数学93 T冒 .考向4 实物情境 13./新考向·创设真实情境/如图1,小明家住在某小区一楼,在自家的小院中安装了一个遮阳棚,经测 量,安装遮阳棚的那面墙AB高2.81m,安装的遮阳棚展开后BC长为3m,已知正午时刻太阳 光与水平地面的夹角为63.4^{},安装好的遮阳篷BC与水平面的夹角为10{},如图2为其侧面示意 图,求正午时刻遮阳棚下阴影纳凉处的宽度AD.(参考数据:sin10~0.17,cos10{~0.98, tan 10~0.18,sin63.4~0.89,cos63.4~0.45,tan63.4~2.00) (13题图1) (13题图2) 四冒 r口司 14./新考向·创设真实情境//2023鞍山一模/图1是一盏可调节台灯,图2为其平面示意图,固定底座 OA与水平面OE垂直,AB为固定支撑杆,BC为可绕着点B旋转的调节杆,若AB=30cm. BC=35cm,OA=8cm, OAB-143{*}, ABC=80{,求台灯灯体C到水平面OE的距离.(结果 精确到0.1cm.参考数据:sin37*~0. 60.cos37*~0. 80.tan 37*~0.75.sin 27*~0.45,cos 27~0.89. tan270~0.51) (14题图1) (14题图2) 3.易错点警示 易错点一忽略结果要求 1.乡村振兴使人民有更舒适的居住条件,更优美的生活环境,如图是怡佳新村中的两栋居民楼,小 明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30*,观测乙居民楼楼顶C处的仰角 是15{,已知甲居民楼的高为10m,则乙居民楼的高约为 m.(结果保留整数.参考数据: ②~1.414.3~1.732) 2./新考向·创设真实情境/一棵珍贵的百年老树的倾斜程度越来越厉害了,出于对它的保护,需要测 量这棵树AB的长度,做法如下:在地面上选取一点C.测得 BCA-37{*,AC=28m, BAC 45^{*,则这棵树AB的高约为 m.(结果保留整数,参考数据:sin37*~0.60,tan37*~ 0.75./2~1.41) (1题图) (2题图) 94领跑-数学 易错点二 忽视锐角三角函数是在直角三角形中 3.如图,在△ABC中,AC-6,AB=4, A-60{*},则BC的长为 3 ,则AB的长为 (3题图) (4题图) 4.综合练习 (温馨提示:此版块为针对前面重要命题点以及前面未涉及的低考频命题点的综合练习) 1.72022沈阳大东区一模7如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接0P,则OP与工轴正方向所 夹锐角a的正弦值是 B C 2.△ABC在网格中的位置如图所示,则cosACB的值为 # D P 口司 ) (1题图) (2题图) 3.在△ABC中,若 4./全国视野·新考法/将45*的 AOB按如图所示的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与刻度尺下 沿的端点重合,OA与刻度尺下沿重合,OB与刻度尺上沿的交点B在刻度尺上的读数为2cm,若 按相同的方式将37*的 AOC放置在该刻度尺上,则OC与刻度尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm.(结果精确到0.1cm.参考数据:sin37*~0.60,cos37*~0.80,tan37*~0.75) 5./星·改编/如图,我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行,船在点B时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60*方向,船以54nmile/h的速度继续航行2.5h后到达点C,此时钓鱼岛A在船 的北偏东30方向,则船继续航行 _ nmile与钓鱼岛A的距离最近 6.如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为10m,若在坡度为i 1.2.5的山坡上种树,也要求株距为10m,那么相邻两棵树间的坡面距离为 m. __ ### (4题图) (5题图) (6题图) 领跑-数学95 冒 7.计算:4sin 450-2tan 30{cos 30° cos 450 coS60{ 8./全国视野;新考法/如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物,现需检测其到皮肤的距离,为 避免伤害器官,可利用一种新型检测技术,检测射线可避开器官从侧面测量,某医疗小组制定方 案,通过医疗仪器的测量获得相关数据,并利用数据计算出新生物到皮肤的距离,方案如下: 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 皮默 2寻 H乙星 示意图 一新生物 (8题图1) (8题图2) 如图2,新生物在A处,先在皮肤上选择避开器官的B处照射新生物,检测射线与 说明 皮肤MN的夹角为 DBN;再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物. 检测射线与皮肤MN的夹角为ECN. 测量数据 DBN-35*. ECN-22*,BC-9cm. 请根据上表中的测量数据,求新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1cm.参考数据; sin 35~0.57,cos35*~0.82,tan35*~0.70,sin 22*~0.37,cos 22*~0.93,tan22*~0.40) 9./新考向·创设真实情境/如图,北大桥是大连燕窝岭景区壮观秀丽的景点之一,北大桥桥面AB是 水平且笔直的,一架无人机悬停在桥面正上方130m的点P处,此时测得其中一根主索CD的顶 部D的俯角为66{},测得桥的一端B的俯角为45{},已知主索CD的高度为13.2m,且CD1AB, AC=48m.求北大桥AB的长度.(结果保留整数.参考数据:sin66{}~0.914,c0s66~0.407. tan66*~2.246) (9题图) 96领跑-数学13.解:(1)证明:·AD.BE是△ABC的高 7.解:原武-2×({)#-6×+×1+4×-2× *ADC= BFC-90” 又C= C...△ACD△BCE. 33+3+23-1-33+3+23-4-3 (2)'D是BC的中点.AD1BC...AB-AC 8.5.6 在Rt△BFC中,根据勾股定理,得 9.解:如图,延长CD交AE于点H. BC= CE+BE-3+4-5. 根据题意,得四边形CBEH是矩形. '.CH=BE,EH=BC=1.26. .CD- A$AC-10.4, ACH=70”. '$AH-AC·sin 70~10.4×0.94-9 776. '$AE-AH+EH-9.776+1.26-11(m). .ACBC.CD CE 答:楼AE的高度约为11m. 艺局 词之 之星 14.解:如图,延长DF交MG于点Q,则DQ1MG. 又DP 1$PA.MG 1$PA..'$P= $PGQ= $DOG-90 ·四边形DPGO是矩形。 ##_# $.DQ-PG-23.6.QG-DP-1.5. (9题图) .BC 1PA.MG 1PA... BCA= NGA-90* 10.解:(1)30 (2)如图:延长DC交AB于点H. 根据题意,得BC-50. ADC=34*,DC/BE.CBE=30{ *. BCH= $CBE-30$. AHD= BHD=90$$ HC 在Rt△CBH中,.'cosBCH= BH BC.sinBCH- BC: .DF-2EF...MQ- *HC-50Xcos30*-50x ③ 2. -25v3.BH=50×sin30*= $.MN-MQ+QG-GN-11.8+1.5-12-1.3(m). 答:旗帜的宽度MN是1.3m. *DH-HC+CD-25、3+3073.25. 之星 写 之冒 在R△ADH中,'乙ADH-34',tan之ADH-DH' ..AH-DH·tan34*~73.25×0.68-49.81 (14题图) *$AB-AH+BH-49.81+25~74.8(m). 专题十五 解直角三角形* 答:桥墩AB的高度约为74.8m 2.命题点精炼 1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AB-BC+AC- 6+8-10 (10题图) BC3 BC3 .sinA- AB-co8 A-AC4 ABtanA- 11.解:如图,过点C作CH1DE于点H AC4 根据题意,得 D-40*, ACB-68”,AE-200,CB-200. 领跑-数学 21 2冒” CB' *CD-DF-CE-36-6v/3~25.6(m) *.AB-CB·tan68~200×2.48-496 答,CD的长约为25.6m 13.解:如图,过点C作CF上AD,交AD的延长线于点F *BE-AB-AF-496-200-296. 根据题意,得 A=AEC= CFA=90{ . CHE- HEB= CBE-90{. *.四边形AFCF是矩形 '.四边形HEBC是矩形。 '.AE-CF,CE-AF. *CH-BF-296 BE 在Rt△BEC中,.sinBCE= CE BC.cos BCE= BC' CD' CH 乙BCE-10*,BC-3 .CD- 29 sin 40~0.60-462.5(m) 'BE-BC·sin 10*-3X0.17-0.51,CE-BC·cos 10* 答,观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m 3×0.98-2.94. 回2冒 #1三叔 *AE-AB-BF-2:81-0:51-2.3. 之星 ..CE-AF-2.94,AE=CF=.3. )耳__ 40 在Rt△DCF 中.'tanCDF-Df.CDF-63.4. n---c CF Cr 2.3 ..DF一 tan 63.4*~2.00 -1.15. (11题图) '$AD-AF-DF=2.94-1.15-1.79(m). 12.解:(1)30:63 答:正午时刻遮阳棚下阴影纳凉处的宽度AD约为1.79m (2)如图,延长BA交CG于点E. ..BE1CG. 根据题意,得AC-12 在Rt△ACE中.·AC的坡度i-1:3. 1 .tana= (13题图) ③ -1x12-6.CF-AC·cos a-12x 14.解:如图:过点C作CM|OE于点M:过点B作BN1CM #3_. 于点N,延长OA交BN于点P. BE 在Rt△BCE中,'BCE-60tan BCE .BN1CM.CMIOE,OA)OE. CE' 'BE-CE·tan60*-63x3-18 '. POM- OMN- MNP-90* *AB-BE-AE-18-6-12(m). .'.四边形POMN是矩形. 答:灯杆AB的高度为12m. '.MN-OP./APN-90 .乙OAB-143*. '. BAP$-180$- 0AB-180'-143'-37* AB (12题图) ..AP-AB.c0s37-30×0.80-24 (3)在Rt△BDE中,'乙;-27*,tang-DE' BE *OP-OA+AP-8+24-32 BE .乙BAP-37*. .DE= tan27~05-36. '. ABP-90*- BAP-90*-37*-53 22 领跑-数学 .乙ABC-80. 9.解:如图,过点P作PE1 AB于点E,过点D作DF1PE于 “. CBN= ABC- ABP-80*-53*-27*。 点F. CN 根据题意,得PE-130. MPD-66{, NPB-45*$CD 在Rt△CBN中..BC=35:sin /CBN BC' 13.2.AC-48. *CN-BC.sin27*~35×0.45-15.75 .'PE AB.DF | PE.CD |AB. *.CM-MN+CN-32+15.75-~47.8(cm) ·.四边形DCEF是矩形 答:台灯灯体C到水平面OE的距离约为47.8cm '$CE=$DF.$FF=CD=13$2 . $PFD= $PFA= $ EB= 0$$ '$PF=PF-EF-130-13.2-116.8.DF/AB .'MN//AB..'MN//DF/IAB. *$ PPDF- MPD-66$, PBE- NPB-45$ '. PBE- BPE-45*. 学之司 1.BE-PE-130.-2寻 之 (14题图) 在Rt△PFD中.: PDF-66” tanPDF-Df. 3.易错点警示 PF 1.15 2.17 3.2/7 4.8 PF 116.8~52.0. .DF- tan 66{2.246 4.综合练习 *CE-DF-52.0. 1.D 2.B 3.60* 4.2.7 5.67.5 6.229 $.AB-AC+CE+BE-48+52.0+130~230(m). 答:北大桥AB的长度约为230m. -2V2-1+/2-3v2-1 8.解:如图,过点A作AFIMN于点F 设BF-r. .BC-9..CF=BF+BC-r+9. (9题图) 在Rt△ABF中.'ABF- DBN-35',tan ABF= AF 专题十六 平行四边形与多边形 之冒 2.命题点精炼 在R△ACF中.'乙ACF-乙ECN-22” tan ACF-CF 1.B 2.B 3.D 4.23 cm 5.D 6.C *.AF-CF.tan22*~0.4(x+9). 7.6 8.B '.0.7x-0.4(x+9).解得x-12. 9.解:(1)如图,射线AD即为所求. .AF-0.7x-8.4. 答:新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm. M (9题图) (2)证明:'AB-AC.'乙B-乙ACB (8题图) :AD平分CAE.:.CAD=EAD 领跑-数学23