专题十四 相似三角形-【领跑】2024年中考数学一轮复习基础梳理

学可之星 专题十四 相似三角形M ①知识点梳理 链接教材 人教：九下第二十七章P23~P59:北师：九上第四章P75~P123. DE P BC 平行于三角形一边的直线 和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似 定义。三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形 ①棉瓷格 ①三边成比例的 成比例对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两 两个三角形相似 线段条线段的比相等，我们就说这四条线段成比例 2格-瓷 判定 2两边成比例且 夹角相等的两个 相似比。相似多边形对应边的比 △ABCP△ABC 三角形相似 31 两条直线被一 ∴ACn△ABC 3两角分别相 平行线分 组平行线所截 等的两个三角 相似三角形 线段成比 所得的对应线 形相似 例的基本 段成比例 学可2星 事实 4△ABC△ABC ④对应角相等 ,∠BAC=∠BAC,∠B=∠B 对应边成比例 ∠C=∠C 平行于三角形一边的 5对应高的比， 推论◆ 直线截其他两边（或两 对应中线的比与 边的延长线)，所得的 对应角平分线的 对应线段成比例 比都等于相似比 DE BC. 性质 5△ABC△ABC,AD和，AD分别是 △ABC和△AB℃对应的高. 6相似三角形 1)利用影长测量物体的高度 周长的比等于 应用 2利用相似测量河的宽度（测量距离） 相似比 RFRCCA 6△MCn△4℃，BC,C 3借助标杆或直尺测量物体的高度 乙相似三角形 7△ABC△AgCS 面积的比等于 相似比的平方 2.命题点精炼 命题点一相似三角形的判定 1./人教九下P27习题4变式「在下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在 格点上，则选项中与如图所示的三角形相似的是 () 学可2星 学可之星 (1题图) B 2.如图，点D在△ABC的边AB上，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是 A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB c把-贸 D.AC2=AD·AB 3.如图，在△ABC中，D,E两点分别在BC,AC上，且AD平分∠BAC,若∠ABE=∠C,BE与AD相交 于点F,则图中与△ABD相似的是 (2题图) (3题图) 86领塑-数学 命题点二相似三角形的判定与性质 4.1人教九下P31练习2变式1如图，在△ABC中，E,F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.下列结 论错误的是 () A能-黑 B.AF_EF c能- AB AC EB BC D.EBFC 5./北师九上PI08习题1变式1已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应角平分线，若 AD=8,A'D'=12,则△ABC与△A'BC的面积比是 () A.23 B.49 C.3:2 D.9:4 6.1星改编1已知△ABC△A'B'C,AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=15,A'D'=12,则 △ABC与△A'B'C'的周长比是 7,2022鞍山中考1如图，ABCD,AD,BC相交于点E,若AE:DE=1:2,AB=2.5,则CD的长为曰 8./星改编1如图，在矩形ABCD中，AB=10BC=8,点E在AB边上，AE=6,连接DE,点F在 BC的延长线上，连接AF,且∠F= ∠EDC,则CF= 学月之星 (4题图) (7题图) (8题图) 9./人教九下P44习题13变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. (1)求证：BC2=AB·BD: (2)若AD=6,BD=4,求CD的长. 学可2星 学可之星 学百之星 学月之星 (9题图) 领跑-数学87 学可之星 命题点三相似三角形的实际应用 10.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC的位置，已知AB⊥BD, CD⊥BD,垂足分别为B,D,若AO=6m,AB=1.2m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距 离CD为 m. 11.人教九下P40例5变式/如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取 点Q和点S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适 当的点T,PT与过点Q且垂直PS的直线b交于点R.如果测得QS=90m,ST=180m,QR= 120m,那么河的宽度PQ= m. 12./新考向·创设真实情境11人教九下P43习题10变式1如图，小明在地面上放置一个平面镜C,选择合适 的位置，刚好在平面镜C中看到旗杆DE的顶部，此时小明与平面镜C的水平距离BC为2m,旗 杆底部与平面镜的水平距离CE为16m,若小明的眼睛与地面的距离AB为1.6m,则旗杆DE的 高度为 mZ星 学日Z星 学日Z星 (10题图) (11题图) (12题图) 3.易错点警示 易错点相似三角形的对应边关系掌握不牢固 1.如图，在△ECD中，∠C=90°，点A在DE上，过点A作AB⊥EC于点B,若AB=1.2,EB= 1.6,BC=12.4,则CD的长是 A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.3 2.如图，在△ABC中.DE/BC,且分别交AB,AC于点D,E,若AD 2 ，则下列说法不正确的是 AB 学可之星 学月之星 学可之星 2星 学之，星 A8怨 B能-号 C S△ADE 4 S四边形DBcE 21 -号 3./新考向·开放性试题1如图，在△ABC中，AB=12,AC=15,D为AB上一点，且AD=8,在AC上 取一点E,使得以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为 () B.10或号 c号我10 D.以上答案都不对 (1题图) (2题图) (3题图) 88领距-数学 4.综合练习 (温馨提示：此版块为针对前面重要命题点以及前面未涉及的低考频命题点的综合练习) 1.下列各组线段中，是成比例线段的是 A.3,5,7,9 B.2,5,6,8 C.1,3,4,7 D.3,6,9,18 2.12023朝阳三模/如图，AD∥BECF,若AB=2,BC=4,EF=5,则DE的长是 A.6 a C n号 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，DE∥BC,若AD:DB=3:1,则AE:AC= A.3:1 B.3:4 C.3:5 D.2:3 4./2023沈阳和平区三模1如图，△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C‘的高，若 AD=2,A'D'=3,则△ABC与△A'B'C‘的面积的比为 学A.4:9 5B.9;4 学日C.23 学曰D.3:2 学之星 (2题图) (3题图) (4题图) 5.12023葫芦岛绥中县二模/如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE 相似的是 学月之 AB BC AB AC A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.AD DE D.AD-AE 6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS,若BC=3, AD=2,则正方形PQRS的边长为 () 号 B月 C.1 n 7./新考向·跨学科融合1一根均匀的木棒OA所受重力G=10N,小亮以木棒的一端O为支点，竖直 向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F,若B为OA的中点， 学AC,BD分别垂直地面于点C,D,则根据杠杆平衡原理，得拉力F的大小为 学（之）星 A.5N B.10N C.15N D.20N 8.新课标·渗透传统文化1《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开 门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方儿何？”大意 是：如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点.从 北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰 好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为 () A.105步 B.200步 C.250步 D.305步 (5题图) (6题图) (7题图) (8题图) 领跑-数学89 学可之星 9如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D,若BF=3EF,则BD DC A青 B名 cs 号 10./2022大连模拟1在某一时刻，测得身高为1.6m的小强的影长是1.2m,同时测得旗杆的影长是 15m,则旗杆高为 m. 11./新考向·创设真实情境/小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与 大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如 下：如图，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38m,塔的顶端为点A,且AB⊥EB, 在点E处竖直放一根标杆，其顶端为点D,DE⊥EB,在BE的延长线上找一点C,使C,D,A三点 在同一条直线上，测得CE=2m.已知标杆DE=2.2m,则该塔的高度AB= m. 12./2022大连日井子区模拟/如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,∠ABC=2∠DAC,若AB=3, AC=x,CD=y,则y关于x的函数解析式为 .(不需要写出自变量x的取值范围) 学月之 日 日 异日星 学2星 (9题图) (11题图) (12题图)】 13.人教九下P58复习题9变式/如图，AD,BE是△ABC的高，连接DE. (1)求证：△ACD∽△BCE; (2)若D是BC的中点，CE=3,BE=4,求AB的长. (13题图) 14./新考向创设真实情境12022年5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北 京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响.某校为庆祝共青团成 立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN,他们进行 学了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆BC,地面上的点A,标杆顶端B和点N在一 条直线上，BC=1.5m,AC=1m,AG=8m;然后，贺基旭手持自制的直角三角形纸板DEF,使 长直角边DF与水平地面平行，调整位置，当点D恰好在点P上方，且点D,E,M在一条直线 上时，DP=1.5m,PG=23.6m,DF=2EF,已知DP⊥PA,MG⊥PA,BC⊥PA,点P,G,C. A在同一水平直线上，点N在MG上，求旗帜的宽度MN, (14题图) ■90领跑-数学2冒” (乙ACE- BDF. '.EAH-FAC. 11.解;(1)证明;在△ACE和△BDF中,A=B '.CAH= FAE= BGA AE-BF. '. FAH+/FAC=/FAC+ ADB ..△ACE△BDF(AAS) :/FAH-ADB. (2)由(1).知△ACF%△BDF (2)AG-2AH.理由如下. .AC-BD-2. 如图,过点B作BN1AG于点N. .AB-8..$CD=AB-AC-BD=8-2-2=4$ .BG=AB,BN1AG..'AG=2AN 12.D 13.C .'BN]AG,AH1EC..' AHC= ANB=90* 3.易错点警示 又AB-AC, BAN= CAH. 21 1.③ :△ABN△ACH. 'AN-AH. 4.综合练习 之用 之星 学之冒 .AG-2AH. 1. B 2.A 3. B 4.C 5.C 6. A 7.30 8.35 9.20 10.42 11.证明../DBF=/CBE '. DBF+ABE=/CBE+ ABE,即 DBE= ABC : DBF- AED.乙DFB- AFE. (13题图) .D-乙A 专题十四 相似三角形。 又AC-DE...△ABC2△DBE 12.解:(1)如图,射线AE即为所求 2.命题点精炼 1. B 2.C 3.△AEF 4. B 5.B 6.5:4 7.5 8.12 9.解:(1)证明:.CD1AB...CDB-90* .乙ACB=90*...ACB= CDB. 又B= B.'△ACBC△CDB (12题图) 回同 .BC-AB·BD.之 (2)证明:.AE平分乙BAC...乙BAE= DAE (2).AD-6,BD-4..$AB-AD+BD-6+4-10 又AB-AD.AE-AE. 由(1),知BC*-AB·BD=10X4-40. '.△BAF△DAE.'BE-DE 在Rt△CDB中,根据勾股定理,得 13.解:(1)证明:·'F为EC的中点.乙BAC-90” CD-BC-BD=40-4-2 .AF-EF-FC. 10.0.2 11.180 12.12.8 '. FAE= /FEA. FAC=/ACF 3.易错点警示 ·BG-AB.' BAG- BGA. 1.C 2.D3.C .. BAG- BGA= AEF. 4.综合练习 .乙BAC-90”,AH1FC 1.D 2.C 3. B 4.A 5.C 6.A 7.A 8.C 9. B 'FAH+ CAH-90*},CAH+ ACF=90 .乙EAH-乙ACF. 20 领跑-数学 13.解:(1)证明:·AD.BE是△ABC的高 7.解:原武-2×({)#-6×+×1+4×-2× *ADC= BFC-90” 又C= C...△ACD△BCE. 33+3+23-1-33+3+23-4-3 (2)'D是BC的中点.AD1BC...AB-AC 8.5.6 在Rt△BFC中,根据勾股定理,得 9.解:如图,延长CD交AE于点H. BC= CE+BE-3+4-5. 根据题意,得四边形CBEH是矩形. '.CH=BE,EH=BC=1.26. .CD- A$AC-10.4, ACH=70”. '$AH-AC·sin 70~10.4×0.94-9 776. '$AE-AH+EH-9.776+1.26-11(m). .ACBC.CD CE 答:楼AE的高度约为11m. 艺局 词之 之星 14.解:如图,延长DF交MG于点Q,则DQ1MG. 又DP 1$PA.MG 1$PA..'$P= $PGQ= $DOG-90 ·四边形DPGO是矩形。 ##_# $.DQ-PG-23.6.QG-DP-1.5. (9题图) .BC 1PA.MG 1PA... BCA= NGA-90* 10.解:(1)30 (2)如图:延长DC交AB于点H. 根据题意,得BC-50. ADC=34*,DC/BE.CBE=30{ *. BCH= $CBE-30$. AHD= BHD=90$$ HC 在Rt△CBH中,.'cosBCH= BH BC.sinBCH- BC: .DF-2EF...MQ- *HC-50Xcos30*-50x ③ 2. -25v3.BH=50×sin30*= $.MN-MQ+QG-GN-11.8+1.5-12-1.3(m). 答:旗帜的宽度MN是1.3m. *DH-HC+CD-25、3+3073.25. 之星 写 之冒 在R△ADH中,'乙ADH-34',tan之ADH-DH' ..AH-DH·tan34*~73.25×0.68-49.81 (14题图) *$AB-AH+BH-49.81+25~74.8(m). 专题十五 解直角三角形* 答:桥墩AB的高度约为74.8m 2.命题点精炼 1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AB-BC+AC- 6+8-10 (10题图) BC3 BC3 .sinA- AB-co8 A-AC4 ABtanA- 11.解:如图,过点C作CH1DE于点H AC4 根据题意,得 D-40*, ACB-68”,AE-200,CB-200. 领跑-数学 21