专题十七 矩形、菱形、正方形-【领跑】2024年中考数学一轮复习基础梳理

之冒 / 专题十七矩形、菱形、正方形》 1.知识点梳理 链接教材 人教:八下第十八章P52~P69;北师:九上第一章P1~P29. 有一组邻边相等的矩形或。定义 -定义一有一个角是直角的平行四边形 有一个角是直角的菱形 -对边平行 边 学回之星 对边相等 础回字 四条边都相等- 一四边形ABCD是矩形 四个角都是直角一角-性质 性质 角一四个角都是直角 互相垂直平分一 -互相平分 -对角线- .相等 相等对角线- 乙ADC-90*: ·四边形ABCD -1n 是正方形。 每一条对角线 平分一组对角 -矩形 对称性 -轴对称图形 正方形- -中心对称图形 ①有一个 平行 [角是直角 超回 。 ①·四边形ABCD是平行四边形, 乙BAD=90%. LABD- CBD-ABC BAC-乙DAC-乙BAD 判定 2.ADB-2. CDB- ADC. BCA-L DCA- CD . ③有三个 2·四边形ABCD是平行四边形, -四边形。 角是直角 AC-BD. .四边形ABCD是矩形 轴对称图形 □{ 对称性 ③乙BAD-ZBCD-LABC-90 -面积-S=长x宽 中心对称图形 .四边形ABCD是矩形 ①有一组邻边 应用一直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1·四边形4BCD是平行 相等并且有一 四边形,AB-AD. 个角是直角的 定义。一平行四边形 有一组邻边相 乙4-900. 平行四边形 .四边形ABCD是正方形 ,对边平行 2.四边形ABCD是矩形, ②有一组邻边 一四边形ABCD是形,二 判定 相等的矩形 边 四条边都相等 .四边形ABCD是正方形 性质 角。互补 ③四边形ABCD是菱形, ③有一个角是 对角相等, 直角的菱形 --C__ .四边形ABCD是正方形 #-}BD S-边长x边长。面积 -互相垂直平分 AC1BD. ,对角线 每一条对角线 2ABD- CBD- ①·四边形ABCD是平行 ①有一组邻边相等平行。 平分一组对角 四边形 乙ADB- CDB- .四边形ABCD是菱形 ②对角线互相垂直 四边形 判定 -轴对称图形 2BAC- D4C- ②.·四边形ABCD是平行 ③四条边都相等一四边形 对称性 四边形, -中心对称图形 乙BCA-乙DCA- .四边形ABCD是菱形 ③_ -S-底x高 :四边形ABCD是菱形 -面积 S-两条对角线长的乘积的一半 102 领跑-数学 2.命题点精炼 命题点一 矩形的性质与判定 1./人教八下P54例2变式/在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是 B.ACIBD A.AB-AC C.AB-AD D.AC-BD 2./北师九上P13例1变式/如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,若 OAD=30{},OD=1; 则AD的长为 3.7新课标·新增尺规作图/如图,在矩形ABCD中,AB一6,BC三10,以点B为圆心,BC长为半径画 BF交CD于点G,则CG的长为 4./星·改编/如图,在矩形ABCD中,AB=6,对角线AC,BD相交于点O.DH AC,垂足为H,若 ADH一2CDH,则DH的长为 _司 2司 (2题图) (3题图) (4题图) 命题点二 菱形的性质与判定 5./2023大连中考/如图,在菱形ABCD中,AC,BD为菱形的对角线,若 DBC=60*,BD-10,F为 BC的中点,则EF的长为 6./北师九上P6例2变式/如图,在四边形ABCD中,AD一BC,AC1BD于点O.请添加一个条件; ,使四边形ABCD成为菱形. 7./2022山中考/如图,萎形ABCD的边长为2, ABC=60*},对角线AC,BD相交于点O,E为OB 的中点,F为AD的中点,连接EF,则EF的长为 8./全国视野·新考法/将两个完全相同的菱形按如图所示的方式放置,若 BAD三a, CBE一3,则 {的度数为 ) B.45- C.90。1 D.90{3 2 (5题图) (6题图) (7题图) (8题图) 9./2022大连中考/如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在AB,AD上,AE一AF.求证:CE-CF (9题图) 领跑-数学103 T冒* 10./2023沈阳中考/如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,点E在DA的延长线上,连 接BE,过点C作CF/BE交AD的延长线于点F,连接BF,CE.求证:四边形BECF是菱形. (10题图) 命题点三 正方形的性质与判定 11.如图,延长正方形ABCD的边BA至点E,使AE一BD,则E的度数为 A.22.5* B.250 C.30d D.45d 12.如图,正方形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,点E在BD上,且BE一AD,则ACE ( 的度数为 一 A.22.5{ B.27.50 C.30* D.35* 13./星·改编/如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,若乙EAF= 45*, FEC一40”,则 BAE的度数为 ) A.20{ B.24* C.30* D.36f ##07#### (11题图) (12题图) (13题图) 14.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,连接DE,过点D作DF1DE交BC的延长线于点 F,连接EF,若AE一2,则EF的长为 15.如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF,设 CBE三o,则AFP的度数为 .(用含g的式子表示) 16./新课标·新增尺规作图//北师九上P22习题2变式/如图,四边形ABCD是正方形,按如下步骤操作; ①分别以点A,D为圆心,AD长为半径画狐,两孤交于点P,连接AP,DP;②连接BP,CP,则 BPC的度数为 17./2023大连中考/如图,在正方形ABCD中,AB-3,延长BC至点E,使CE-2,连接AE.CF平分 DCE交AE于点F,连接DF,则DF的长为 (14题图) (15题图) (16题图) (17题图) 104领跑-数学 18./北师九上P21例1变式/如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,连接AF,BE,且 AFIBE.求证:BE-AF. (18题图) 命题点四 四边形综合应用 三 19.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论:①当AB=BC时,它是菱形;②当AC1BD时,它 是菱形;③当/ABC三90时,它是矩形;④当AC三BD时,它是正方形,其中正确的是 。 ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 20.如图,在四边形ABCD中,AD/BC,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与四边形 ABCD的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN. (1)求证:四边形ANCM是平行四边形 司 (2)若MN平分AMC 口司 ①求证:四边形ANCM是菱形; ②当四边形ABCD是矩形,且AD一8,AC-45时,求DM的长. 之冒之冒 之三 三之20题三冒 领跑-数学105 冒 3.易错点警示 易错点一 对特殊四边形的判定与性质掌握不灵活 1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论正确的是 A.当AC|BD时,它是矩形 B.当AC BD时,它是菱形 C.当AC一BD时,它是正方形 D.当AC BD时,它是正方形 2.如图,在边长为6的正方形ABCD中,P为对角线AC上一动点,过点P作 PE AB于点E,PF IBC于点F,则EF的最小值为 易错点二 无图题考虑不全导致漏解 (2题图) 3./新考向:开放性试题/ 若以正方形ABCD的边AB 为边作等边△ABE,则 DEC的度数为 4./新考向·开放性试题/在菱形ABCD中, A一30{}在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为 120*的等腰△BDE,则EBC的度数为 4.综合练习 (温馨提示:此版块为针对前面重要命题点以及前面未涉及的低考频命题点的综合练习) 孤,两孤分别相交于点B,D,连接AB,BC,CD,AD,BD,则下列说法一定正确的是 A.AB-AC B.AC-BD C.ACBD D. 四边形ABCD是正方形 2./2023大连模拟/如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=2,BD三4,则 AOD的度数为__. 之星(1题图乙写 (2题图)三之星(5题图)之(6题图)日之星 3./2023大连模拟/若菱形ABCD的周长为40,两条对角线的和为28,则菱形的面积为 4./2023大连一模/学习菱形时,我们从它的边、角和对角线等方面进行研究,可以发现并证明:菱形的 每一条对角线平分一组对角,小明参考平行四边形、矩形判定方法的研究过程,得出下面的猜想: ①一条对角线平分一组对角的四边形是菱形; ②每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形; ③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 其中正确的是 _.(填序号) 5./2023沈阳皇姑区三模/如图,点E在正方形ABCD的对角线BD上,若BE一BA,则 DCE的度数 为 6./2022阜新太平区一模/如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE |AC交AD 于点E,若AB一4,BC=8,则DE的长为 106领跑-数学 7./2023鞍山铁东区一模/如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD的长分别为8和6,DE AB,垂足 为E,则DE的长为 8./2023锦州一模/如图,点E在正方形ABCD的对角线BD上,EF BC,EG |CD,垂足分别为F, G.若CG-3.CF一4,则AE的长为 9./新课标·新增尺规作图/如图,在菱形ABCD中,分别以点B,C为圆心,BA长为半径在BC的上方 和下方画张,两孤分别交于点M,N,直线MN分别交BC,BD,BA于点E,F,G,若BG=5. GA一1,则点F到AB的距离为 10./2023沈阳浑南区三模/如图,在正方形ABCD中,点E在AD上,连接BE,BE的垂直平分线交 AB于点M,交CD于点N,垂足为O,若AB-8,AE-6,则ON的长为. (7题图) (8题图) (9题图) (10题图) 11./2023沈阳沈河区模拟7 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE 1AB于点E,交AC 于点P,BFDC于点F. (1)判断四边形DEBF的形状,并写出证明过程; (2)若BE一2,BF-4,则DP的长为 口司 (11题图) 学之冒之星之星学回之星 12.如图,在矩形ABCD中,点E在线段AD的延长线上,连接EC,F,G分别为EC,AD的中点,连 接BG.CG.BE,FG. (1)求证:BG一CG; (2)求证:BE一2FG. _## (12题图) 领跑-数学107 T冒 13./2023沈阳沈河区模拟/ 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.DE/AC,CE//BD (1)求证:四边形OCED是萎形; (2)当 ACB-30{*,菱形OCED的面积为2/③时,求AC的长 (13题图) 之冒回之星学回之星 14.如图,在正方形ABCD中,E是BC边上任意一点,连接AE,过点D作DF1AE交AB于点F; 垂足为G. (1)求证:BE-AF; (2)若F是AB的中点,连接BG,请探究线段FG,BG,EG之间的数量关系。 (14题图) 学三之星学三之冒学耳之星耳之星学司之星 108领跑-数学学可之星 '∠CAE=∠B+∠ACB, ∴.∠AED=∠CFD=90°..AECF ∠CAD+∠EAD=∠B+∠ACB,即∠EAD=∠B. D是AC的中点，AD=CD ∴.AD∥BC 又∠ADE=∠CDF,∴.△ADE≌△CDF 又AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形 ..AE=CF. 10.证明：四边形ABCD是平行四边形， 又AECF,∴四边形AECF是平行四边形. ∴AD∥BC,AD=BC e ∴.∠BCE=∠DAF. .BE⊥AC.DF⊥AC. 专题十七 矩形、菱形、正方形 .∠BEC=∠DFA=90° 2.命题点精炼 ∠BEC=∠DFA 0 在△BCE和△DAF中，∠BCE=∠DAF, 1.D2.B3.3 4.335.5 学可之星 Bc=DA,星 13 学可之星 6.AD∥BC(答案不唯一)7. 8.D ∴.△BCE≌△DAF(AAS) 2 :.BE=DF. 9.证明：如图，连接AC 11.D12.C13.五 :四边形ABCD是菱形， 3.易错点警示 ·.∠EAC=∠FAC 1.D2.20cm或22cm 又AE=AF,AC=AC, 4.综合练习 ,.△ACE2△ACF, 1.C2.A3.B4.D ..CE-CF. 5.26.(1+5.2)7.108 8.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,,∠EDH=∠FBG. DE=BF. (9题图) 10.证明：，AB=AC,AD是BC边上的中线， 在△DEH和△BFG中， ∠EDH=∠FBG, ∴.AD垂直平分BC,BD=CD DH=BG. 学△DEH2ABFG(SAS.Z星 学 之E=CE.BF-CE星 学之星 ∴.∠DHE=∠BGF CF∥BE. ∴∠EHG=∠HGF..EHGF .∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD 9.证明：四边形ABCD是平行四边形， .△EBD≌△FCD.BE=CF O是BD的中点 .BE=CF=BF=CE, 又E是边CD的中点， .四边形EBFC是菱形. .OE是△BCD的中位线. 11.A12.A13.A ∴.OE∥BC,且BC=2OE. 14.2而15.90-。16.15017.3@ 4 BC=2CF,∴.OE=CF. 18.证明：，四边形ABCD是正方形， 又OECF,.四边形(OCFE是平行四边形. 10.解：(1)证明：：AE⊥BD,CF⊥BD, ∴.BA=AD,∠BAD=∠ADC=90 AF⊥BE.∠AGB=90 24 领跑-数学 ∴.∠AGB=∠BAE=90° .四边形DEBF是矩形. .∠BAG+∠ABE=∠BAG+∠DAF=90. e号 .∠ABE=∠DAF. 12.证明：(1)，G为AD的中点，.AG=DG 又BA=AD,∠BAE=∠ADF, ,四边形ABCD是矩形， ∴.△ABEQ△DAF, ∴.AB=DC,∠A=∠CDG=90 ∴.BE=AF .△ABG≌△DCG.∴.BG=CG. 19.C (2)如图，延长GF,BC交于点Q. 20.解：(1)证明：AD∥BC.O为对角线AC的中点， :四边形ABCD是矩形，AD∥BC, .∠AM)=∠CN),∠OAM=∠OCN,AO=C). ∴.∠AGB=∠CBG,∠EGF=∠Q. ∴.△A)M≌△COV.∴.AM=CN. ,F为EC的中点，，EF=CF 又AMCN.∴四边形ANCM是平行四边形. 学20t明，：MN平分2AMC,∠AN=∠CM.与之又GFE=∠FCAGFE△QFC. 学可之星目 .GE=QC.FG=FQ..GQ=2FG. ,AD∥BC,∴.∠AMN=∠CNM 由(1)，得BG=CG ∴.∠CMN=∠CNM. .∠CBG=∠BCG.,∠AGB=∠BCG ..CM=CN. ∴.∠BGE=∠GCQ 由(1)，知四边形ANCM是平行四边形. ∴.△BGE≌△GCQ.∴.BE=GQ. ∴.四边形ANCM是菱形. BE=2FG. ②：四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90. 学之星 在Rt△ADC中，根据勾股定理，得 DC=√/AC-AD=√/(45)2-82=4. ,四边形ANCM是菱形，.AM=MC=AD-DM. (12题图) 在Rt△MDC中，根据勾股定理，MC=DC+DM产 13.解：(1)证明：：DE∥AC,CE∥BD, .四边形OCED是平行四边形. ∴.(8-DM)2=42+DMP. 四边形ABCD是矩形， 解得DM=3. 3易错点警示 学可之星 ∴.四边形OCED是菱形. 1.B2.3√23.30或1504.45或105 (2)如图，过点D作DF⊥OC于点F. 4.综合练习 :∠ACB=30°，.∠DC0=90°-30°=60 1.C2.120°3.964.②③5.22.5°6.3 又OD=OC,.△OCD是等边三角形 7号&59号10 4 DF⊥OC,.F=20C, 11.解：(1)四边形DEBF是矩形. 设CF=x,则OC=2x.AC=4x. 证明：DE⊥AB,BF⊥DC, ∴.∠DEB=∠BFD=90 在R△DFC中，am∠DCF-, ,四边形ABCD是菱形，AB∥CD DF- ..tan 60*=DF ∴.∠DEB+∠EDF=180° ∴.∠EDF=∠DEB=∠BFD=90° 菱形OCED的面积为2， 领跑-数学25 学可之星 ∴.OC·DF=23,即2x·5x=25.解得x=1. f∠E=∠ADC, .AC=4r=4. 在△BCE和△CAD中.∠EBC=∠DCA, BC=CA. '.△BCE≌△CAD(AAS) (2)30 2.解：(1)如图1即为所求 (13题图) 14,解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠DAF=90°，AB=DA. ∴.∠DAG+∠BAE=90° DF⊥AE,∴∠AGD=90 学2DAG∠ADF=90月Z星 学百之星 学(2题图1 学可之星 ∴.∠BAE=∠ADF (2)证明：如图2，过点O分别作OD⊥BC,OF⊥AC,OE⊥ ∴.△ABE≌△DAF..BE=AF」 AB,垂足分别为D,F,E (2)如图，过点B作BG的垂线交AE的延长线于点H :AM平分∠BAC,OF⊥AC,OE⊥AB, F是AB的中点，AF=BF, ∴.OF=OE. BE=AF,∴.BF=BE 同理.OD=OE..OD=OF .BH LBG,.∠GBH=90°. 又OD⊥BC,OF⊥AC, ,∠ABC=∠GBH=90°，.∠FBG=∠EBH, .CO平分∠ACB. .DF⊥AE,∴.∠FGE=∠EBF=90 .∠ACO=∠BCO. .∠BFG+∠BEG=180. :∠BEG+∠BEH=18O°，.∠BFG=∠BEH. ∴△BFG≌△BEH..BG=BH,FG=EH. 在R1△GBH中，根据勾股定理，得 GH=√BG+BHF=2BG. EH+EG-GH.:.FG+EG-BG. 学2星 学(？题用2) 学之 3.解：(1)证明：AC平分∠BAD,.∠BAC=∠DAC. :CB⊥AB,CD⊥AD, .∠B■∠D=90 ∠B=∠D (14题图) 在△ABC和△ADC中，∠BAC=∠DAC, ·题型专练4简单几何证明与计算· AC-AC, '.△ABC≌△ADC(AAS) 1.解：(1)证明：BE⊥CE,AD⊥CE, (2)由(1)，知△ABC2△ADC, ∴.∠E=∠ADC=90 ∴.BC=DC=3.S△A=S△wc ∴.∠EBC+∠BCE=90. :∠ACB=∠BCE+∠DCA=90°.∴∠EBC=∠DCA. ∴Sac-号AB·BC-号×4X3=6, 26领跑-数学