专题十二 三角形-【领跑】2024年中考数学一轮复习基础梳理

乙冒 // 专题十二三角形/ 1.知识点梳理 链接教材 人教:八上第十一章P1~P18,八上第十三章P75~P93;八下第十七章P21~P39;北师:七下第四章P80~ P91,八上第一章P1~P19,八下第一章P1~P35. 由不在同一条直线上的三条线 三角形内 角和定理 段首尾顺次相接所组成的图形一定义一 。三角形三个内角的和等于180 与三角形 有关的角 三角形两边的和大于第三边 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 三边关系 三角形 出二星 .乙ACD是△ABC 三角形两边的差小干第三边 的外角 的一个外角, 三角形的外 回乙 角等于与它 乙ACD 三边都相等的三角形一定义- 不相邻的两 个内角的和 三边相等 三个内角都 △AC是等边三角形. 相等,并且 性质 ADBC. 顶点向它的对边(或其延长线 每一个角都 ,.效 _ 引垂线,项点与垂足之间的线 =6□. 等于60P 乙BAD-/CAD-_ 垂心三角形的三条高相交于一点 二线合一 BD-CD-1 等边 三角形 三角形的中线 -连接一顶点和它对边中点的线段 重要线段 -重心。三角形的三条中线相交于一点 定义法 三个角都相 一个角的平分线与这个角的对边相交, 等的三角形 刻定 *。 [角平[这个角的顶点与交点之间的线段 -△ABC是等边三角形 分线内心。三角形的三条角平分线相交于一点 :AB=AC.=60(或 有一个角 是60。的等 =60或_=60), 1 -△ABC是等边三角形 三角形 -不等边三角形。三边都不相等的三角形 有一个90。 -按边 -等腰三角形 -底边和腰不相等的等腰三角形 角的三角形定义 -分类 1等边三角形 直角三角形 ①两锐角互余 形锐三角形寻 按角 ①在R△ABC中,乙C-90. ②斜边上的 斜三角形一 中线等于斜性质 _=90 -钝角三角形 ②在R△ABC中./C-90. 边的一半 [直角 CD是AB边上的中线。 三角形 -定义一有两边相等的三角形 .CD-AB 30角所 ③直{ #.. ③在Rt△ABC中..C-90. 边等于斜 边的一半 LA-300.-48 -等边对等角。① ,等 三角形 性质 如果直角三角形的两条直角边长分 ①.AB-AC 。勾股定理 三线合-。② 别为a.b,斜边长为c,那么a+-c ②AB-ACAD1BC. -AC 定义法 定义法 - 有两个角互余的三角形判定一 定 如果三角形的三边长a,b,c 勾股定理 -等角对等边 BC 满足?+b{-^{}那么这个三。 角形是直角三角形 的逆定理 稳定性一 76领跑-数学 2.命题点精炼 命题点一三角形的高、中线 1./人教八上P8习题3变式7下列各图中,正确画出△ABC中BC边上的高的是 ##### . 2.在△ABC中,AB=5,AC=7,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是 A.0<AD12 B.1AD<6 C.0AD<6 D.2<AD<12 命题点二 三角形的角平分线 3.如图,点E在BC的延长线上,CD,BD分别平分ACE, ABC,若 A=80{*,则 BDC的度数 A.450 B.40{ C.35* D.30* 4.如图,在△ABC中,B=58{*,△ABC的外角DAC的平分线和ACF的平分线相交于点E, 则AEC的度数为 5./人教八上P17习题9变式/如图,在△ABC中, ABC的平分线与 ACB的平分线相交于点P,若 A-a,则BPC一_.(用含a的式子表示) 6.如图,AP,CP分别平分 BAD,BCD,若 ABC-36{*},ADC-24^{*},则 P的度数为 司 #_#__### (3题图) (4题图) (5题图) (6题图) 命题点三 等腰三角形的性质与判定 7./人教八上P76例1变式/如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC,则 A 回乙二 词乙三 的度数为 8./新考向·开放性试题/已知等腰三角形的一个外角等于110{,则这个等腰三角形的一个底角的度数 为。 9./2023锦州中考/如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接CE.若 CE-CA, ACE-40*,则 B的度数为 10./新课标·新增尺规作图7如图,在△ABC中,AB一BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与 AC交于点E,F为BC的中点,连接EF,若BE一AC一2,则△CEF的周长为 (7题图) (题图) (10题图) 跑-数学77 冒 命题点四 等边三角形的性质与判定。 11./新课标·新增尺规作图//人教八上P93复习题13变式/如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点 D为圆心,DB长为半径画狐,交BC的延长线于点E,则DEC的度数为 ( ) B.25* A.20{ C.30* D.35^* 12./人教八上P93复习题11变式/如图,△ABC为等边三角形,D,E,F分别在边BC,CA,AB上,且 AE一CD-BF,则△DEF为 三角形. (11题图) (12题图). 13.7北师八下P12习题1变式 如图,点D在等边△ABC的外部,点E在BC边上,AD一CD,DE交 AC于点F,AB/DE (1)判断△CEF的形状,并说明理由 (2)若BC=10,CF一4,求DE的长. (13题图) 命题点五 直角三角形的性质 14./新课标·渗透传统文化/我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,原文是:“今有 池方一丈,覆生其中央,出水一尺,引蔑赴岸,适与岸齐,问水深、蔑长各几何?”译为;有一个水 池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根 芦苇拉向水池边的中点处,它的顶端恰好到达池边的水面,水的深度与这根芦苇的长度分别是 多少?设芦苇的长度是:尺,根据题意,可列方程为 写 A.1十10-(r十1){ B.(x-1)*十52一2 C+5-(r十1) D.(r-1)*+10-* 15./新课标·新增尺规作图7如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以点A ( 为圆心,AB长为半径画狐,交最上方的网格线于点D,则CD的长为 ) A.3-1 B.3一/5 C.0.8 (14题图) (15题图) 78领跑-数学 16./新课标·渗透传统文化/清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数 学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明, 证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角 △ABC的高,则BD- BC (16题图) CD一 17./人教八上P82习题7变式/如图,在△ABC中,B一45{*,AB的垂直平分线 交AB于点D,交BC于点E(BE>CE),F是AC的中点,连接AE,EF 若BC-7,AC-5,则△CEF的周长为 (17题图) 3.易错点警示 易错点 无图题易漏解 1./新考向·开放性试题/在等腰三角形中,有一个角是50{,它的一条腰上的高与底边的夹角是 2./新考向·开放性试题/直角三角形的两条边长分别为5和4,则该三角形的第三条边长是 4.综合练习 (温馨提示:此版块为针对前面重要命题点以及前面未涉及的低考频命题点的综合练习) 1./2022本溪三模/若一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则这个三角形的周长是 A.9 B.12 C.9或12 D.无法确定 2./人教八下P24练习2变式/如图,在四边形ABCD中, DAB= BCD=90{,分别以四边形ABCD的 四条边为边向外作四个正方形,面积分别为S.S.S.S.若S.=48,S。+S=135,则S=( ) B.119 A.183 C.87 D.81 3./新课标·新增尺规作图//2022大连一模/如图, AOB一40{},以点O为圆心,适当长为半径画孤,分别交 OA,OB于C,D两点,分别以点C,D为圆心,大于CD的长为半径画孤,两孤在AOB的内部相交 于点E,画射线OE,过点E作OB的平行线交OA于点F,则OEF的度数为 ) A.20* B.30{ C.40 D.140* 4.7新课标·新增尺规作图7/2023辽阳模拟7如图,在Rt△ABC中, ACB一90{,通过尺规作图得到的直 C.5 B.3 A.2 D. #_### (3题图) (4题图) (2题图) (5题图) 5.如图,在△ABC中,BAC=90*},AD是BC边上的高,BE是AC边上的中线,CF是 ACB的 平分线,CF交AD于点G,交BE于点H.下列说法正确的是 ①S rr-Sncr;② FAG- FCB;③AF-AG;④BH-CH B.①②③ C.②④ A.①②③④ D.①③ 领跑-数学79 T冒* 6./全国视野·新考法/如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 7./新课标·新增尺规作图/如图,在△ABC中,通过尺规作图得到直线DF和射线AE.若 B三40*, C一50*,则DAE的度数为 8./全国视野·新考法/如图,平面镜MN放置在水平地面CD上,墙面PD|CD于点D,一束光线 AO照射到镜面MN上,反射光线为OB,点B在PD上,若 AOC一35{*},则 OBD的度数为 9.如图,在△ABC中,ED/BC,ABC的平分线和ACB的平分线分别交ED于点G,F,若 BE-6.DC-8,DE-20,则FG的长为 翻桥 (7题图) (6题图) (8题图) (9题图) 10./2023盘锦兴隆台区一模/问题提出: 如图1.在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交AB 问题探究: (2)再探究一般情形:如图1,证明(1)中的结论仍然成立 # (10题图1) (10题图2) 学之星学之冒之星 80领跑-数学学可之星 :17-5>3.82一51，.应选择吊球方式 (2)由题意，得EF=0.6×2=1.2(m),四边形EDCF是矩形. 12.解：(1)小张同学设计的水池符合要求，理由如下： ∴.CF=DE,CD=EF=1.2. 根据题意可得，点A(0,2),顶点坐标为(0,5,2.25). 在y->0中 设当r>0时，抛物线的解析式为y=a(x-0.5)+2.25. 将点A(0,2)代入，得a(0-0.5)+2.25=2. 令y=1.2,则5=1.2解得x=5 解得a=一1. .C(5,1.2),OD=5. ∴.抛物线的解析式为y=一(x一0.5)2十2.25. .CF=DE=OD-(OE=5-1=4. 令y=0,则-(x-0.5)3+2.25=0. ∴.出口点C到BE的距离CF的长为4m. 解得x1=2,x:=一1（不合题意，合去）. ∴水池半径至少为2m (3)在y=6(x>0)中. ·小张同学设计的水池符合要求 学2令)=，25.则-(-0.5+2.25=1.25. 百之 学可之星 6>0y随x的增大而减小， 解得x1=1.5:x2=-0.5(不合题意，合去). ,小球Q到水面的距离不高于3m,即y3, 为了不影响水流，小水池的半径应小于1,5m ∴.x≥2..2-1■1(m). 13.解：(1)由图象可知，点A(0,10),B(3,4). ,小球Q到BE的距离至少是1m. 设y关于x的函数解析式为y=kx十b. 将点A(0,10),B(3,4)代入，得 第四单元 几何 b=10, 使=-2， 解得 3k+b=4. b=10. 专题十一几何初步 ∴.当0≤x<3时，y关于x的函数解析式为y=一2x+10. (2)3×4=5×2.4■6×2=8×1.5■12， 2命题点精炼 .当x≥3时，y与x成反比例函数关系. 1.D2.D3.B4.131°5.B6.C7.B8.C9.C10.D 11.B12.C 设y关于x的函数解析式为y= x 将点B(3,4)代人，得4= 180-号 3 学 3.易错点警示 学可2星 学可之星 1.∠EAD和∠ACF2.C 当≥3时y关于x的函数解析式为y=1 4.综合练习 （3在y=12中，令y=0.8,则0.8=12 1.A2.B3.A4.B5.D6.C7.C8.B9.C10.D x 11.B12.B13.52.3(成5218)14.60°15.78 解得x=15,∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天 16.22.5°17.(1)30° (2)①90°②75° 降为0.8mg/1. 14.解：(1)由题意，得BE=0.6×10=6(m),(0E=1m. "专题十二三角形“ ∴.点B的坐标为(1,6) 2命题点精炼 将点B(1,6)代人y=是(x>0),得k=1X6=6. 1.C2.B3.B4.61°590+706.30 “反比例函数的解析式为y=8>0). 7.36°8.70°或55°9.35°10.√5+111.C12.等边 18领跑-数学 13.解：(1)△CEF是等边三角形.理由如下： ,D是AC的中点，AB=AC, :△ABC是等边三角形， .AD-TAC-AB. .∠ABC=∠ACB=∠BAC=60 .'ABDE.∴.∠CEF=∠ABC=6O',∠CFE=∠BAC=6O° ∴AF-AD-AB, ∴∠CEF=∠CFE=∠ECF=6O. .△CEF是等边三角形. 福 (2)如图，连接BD: (2)证明：：AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. :△ABC是等边三角形， BD=DE,∴∠DBE=∠DEB .AB=BC=AC. ,.∠ABC+∠DEB=∠ACB+∠DBE.即∠AFD=∠ADB. 又AD=CD,∴，BD是线段AC的垂直平分线， 又∠A=∠A,.△AFD∽△ADB .BD平分∠ABC.∴∠ABD=∠CBD. AF AD 学：AB/DE,:∠ABD+ZBDE,之星 AD AB 学可之星 学可之星 ∴.∠BDE=∠CBD..BE=DE :D是AC的中点AD=2AC=AB, ∴.BC=BE+EC=DE+CF. .DE=BC-CF=10-4=6. AF ?AB AB豆，即AF=AD=AB, 学之星 学它星 专题十三 全等三角形”星 2命题点精炼 (13题图) 14.B15.B16.117.8 1.B2.53.C4.A5.D6.A 3.易错点警示 7.SAS 8.D 1.25或40°2.3或√T 9.证明：AE∥DF.∴∠A=∠D. 4.综合练习 AB-DC...AB+BC DC+BC. 1.B2.C3.A4.D5.D6.角形具有稳定性 ,∴AC■DB. 学目 学可之星昌 7.25°8.55°9.6 AE=DF. 10.解：(1)：AB=AC+∠BAC=60, 在△ACE和△DBF中， ∠A=∠D, ∴.△ABC是等边三角形. AC=DB. '.∠ABC=∠ACB=∠BAC=60 ,.△ACE≌△DBF(SAS) :D是AC的中点..BD平分∠ABC .∠ACE=∠DBF, ÷∠DB-∠ABC=30 ∴.CE∥BF 10.证明：：∠ACB+∠ACF-180°，∠ACF+∠AED=180°， :DE=DB,.∠E=∠DBC=30 ∴.∠ACB=∠AED ∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90 又BC=DE.AC=AE. ∠ADF=∠CDE=∠ACB-∠E=30. .△ABC☑△ADE. 六t在R△AFD中，AF=AD. .AB=AD. 领跑-数学19