专题九 二次函数-【领跑】2024年中考数学一轮复习基础梳理

M专题九二次函数M 知识点梳理 链接教材人教：九上第二十二章P27~P57:北师：九下第二章P28~P63. 4>0,方程有两个不等的实数 定义p形如y=2+r+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数 根，抛物线与轴有两个交点 4=0,方程有两个相等的实数 与一元 图象。抛物线 根，抛物线与x轴有一个交点 二次方程 yeax+hx+c a>0 a<0 1<0,方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点 草图 a决定抛物 线的开口方 >0, 学可2星 a<0, 开口方向 向上 向下 向和大小 直线 直线 a,b共同决 对称轴 定抛物线对 a,b同号， 性质 称轴的位置 a,b异号， 硕点坐标 c决定抛物 c>0,与1轴 二次函数的 x<-2 名 线与)轴交 c<0,与轴 系数的符号 点的位置 增减性 A=h2-Aac 4>0,抛物线与x轴有 决定抛物线 =0,抛物线与x轴有 与x轴的交 当=一会时， 点个数 4<0,撒物线与x轴 次函数 当=-会时， 最值 a+b+c可 看作x=1时， 点(1，a+b+c的位置可 y的值 判断a+b+c的符号 开口大小 a越大， a越小， a-b+c可 点(-1，a-b+c的位置可 看作x=-1 利润问题 时，的值 判断a-b+c的符号 二次函数应用题十周长、面积问题 一般式： (a≠0j “抛物线形”问题 割补法 顶点式： (a≠0) 待定 二次函数与 点(h,k)是抛物线的顶点 表达式。 系数法 综合 垂线法 面积问题结合 学日交点式： 学具x 平行法2 学可之星 是抛物线与x轴交点的横坐标 最值问题 二次函数进阶 交点问题 与几何结合 2.命题点精炼 命题点一二次函数的定义 1.北师九下P30练习1变式看下列函数中，是二次函数的是 () A.y=-3x+2 B.y=5.x2-1 C.y=4 D.y=ax?+bx+c 2./人教九上29练习2变式/有一个边长为2cm的正方形，若边长增加xcm,则面积的增加值y(单 位：cm)与边长的增加值x(单位：cm)之间的函数解析式为 领跑-数学 45 学可之星 命题点二二次函数的图象及性质 3.1人教九上37练习变式/对于二次函数y=一2(x十3)2的图象，下列说法正确的是 A.开口向上 B.对称轴是直线x=一3 C.当x>一4时，y随x的增大而减小 D.顶点坐标为（一2，一3》 4.2023大连中考/已知抛物线y=x2一2x一1，当0≤x≤3时，函数的最大值为 A.-2 B.-1 C.0 D.2 5.1人教九上P35例3变式/抛物线y=x2可以由抛物线y=(x+2)2一3平移得到，则下列平移过程正 确的是 ( A.先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 学C,先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 学可2星 学可2星 D.先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 6./2022锦州中考1如图，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交于点（一1,0）和点 (2,0),以下结论：①abc<0:②4a一2b十c<0;③a十b=0;①当x<。时，y随x 的增大而减小.其中正确的结论有 .(填序号) (6题图) 命题点三用待定系数法求二次函数的解析式 7.1北师九下P43练习1变式/若二次函数的图象的顶点坐标为(2，一1)，且抛物线过点(0,3)，则二次函 数的解析式为 () 1 A.y=-(x-2)2-1 B.y=-2x-2)2-1 1 C.y=(x-2)”-1 D.y=2x-2)2-1 8./星·改编/小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值： 学可之星 0 1日2巨3 45 学可之星 -1 4 该二次函数的解析式为 9.1北师九下P45习题2变式/已知二次函数y=ax2+bx十c的图象经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3. 求二次函数的解析式 ■46领跑-数学 10.人教九上42习题11变式1如图，二次函数y=x2十bx十c的图象经过点A(1,一2)和点 B(0,-5). (1)求二次函数的解析式及图象的顶点坐标： (2)当y≤一2时，x的取值范围是 (10题图) 命题点四二次函数的应用 11./新考向·创设真实情境1廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知抛 学 物线的脂数解析式为2 看，2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8m雪 的点E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 m. (11题图) 12.新考向，跨学科融合/如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行 路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s) 之间具有二次函数关系.小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表： 飞行时间t/s 0 1 2 飞行高度h/m 0 15 20 根据相关信息，解答下列问题： 学少)求在关于1的函数解析式： 学之星 学月之星 学可之星 (2)小球从飞出到落地要用多长时间？ (3)小球的飞行高度能否达到20.5m?如果能，请求出相应的飞行时间：如果不能，请说明理由. (12题图) 领跑-数学47 学可之星 13.1人教九上P57复习题7变式/如图，某小区决定在一块空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD, 绿化带的一边靠墙（墙长21m),中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为48m,设AB的 长为xm,矩形绿化带的面积为ym. (1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围： (2)当AB的长度是多少时，矩形绿化带ABCD的面积y取得最大值？最大值是多少？ (13题图) 学可2星 学可之星 单可2星国 学可2星 学可2星 14.7223本溪、铁龄、辽阳中考1商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销 售量y(单位：台)与销售单价x(单位：元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且 不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表： 销售单价x/元 50 60 70 月销售量y/台 44 90 80 70 4 ()求y关于x的函数解析式： (2)当护眼灯的销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获得的利润最大？最大月 利润为多少元？ 学可2星 学可它星 学可2星 学可2星 学可之星 48领跑-数学 15.新考向·创设真实情境/（人教九上P36例4变式某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装 一根水管，水管OA长2.25.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中 心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式； (2)不考虑其他因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？ (3)实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m,在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况 下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行 调整，求调整后水管的最大长度： 学可Z星 学可2星星 可2星 学可2星 (15题图) 3.易错点警示 易错点一忽略二次项的系数不为0 1.若关于x的抛物线y=(m一2)x2一2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2 2.若抛物线y=ax2十2x一1与x轴有交点，则a的取值范围是 易错点二求最值忽略自变量的取值范围 3.已知二次函数y=x2-3x十1，当x≥6时，它的最小值为 5 学A24星 学B星 學百C星 学与D” 学可之星 4.当0≤x≤1时，二次函数y=一2x2-4x十1的最大值为 ,最小值为 4.综合练习 (温馨提示：此版块为针对前面重要命题点以及前面未涉及的低考频命题点的综合练习) 1./2023辽阳模拟/二次函数y=2.x2-一3.x一c(c>0)的图象与x轴的交点情况是 ( A.有1个交点 B.有2个交点 C.无交点 D.无法确定 2./2023丹东振兴区模拟/在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2一2的图象向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为 () A.y=(.x+1)2-5 B.y=(x-1)2-5 C.y=(x+1)+1 D.y=(x-1)2-1 领跑-数学49 学可之星 3./2023大连二模/二次函数y=a.x2十bx十c的图象如图所示，下列结论错误的是 ( A.抛物线的开口向上 B.方程a.x+bx十c=0的解为x1=1,x2=3 C.抛物线的对称轴为直线x=2 D.抛物线与y轴的交点坐标为(0,2) 4./2023丹东振兴区-模/如图，抛物线y=ax2十c与直线y=kx十m交于A(一3，y1),B(1,y)两点， 则关于x的不等式ax2十c≤kx十m的解集是 A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1x3 学可Z星 学可2星 (3题图) (4题图) 5.12023鞍山立山区-模/已知点(x1y1),(x2,y2)在函数y=(m一3)x2的图象上，且当0<x1<x2时， y<y,则m的取值范围是 () A.m>3 B.m≥3 C.m<3 D.m≤3 6.12023大连模拟/画二次函数y=ax+bx十c的图象时，列表如下： 行 2 3 0 1 0 -3 关于此函数有下列说法：①当x=0时，y=一3：②当x=2时，该函数有最大值：③函数图象的开 口向上：国在函数图象上有两点A一4，B一引则工>其中正确的是 A.①②③ B.①④ C.①② D.②④ 7./全国视野·新考法1如图，要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙，且AD的长不能超过 26m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆围成，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以 为6m:②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2:③菜园ABCD面积的最 学大值为200m'.其中正确结论的个数是学日Z星 学日Z星 字Z)星 A.0 B.1 C.2 D.3 8.1星·改编/如图，二次函数y=a.x2十bx十c的图象过点A(一3,0)，对称轴为直线x=一1，给出以 下结论：①abc>0:②b2一4ac<0:③抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(1,0)：④若 B(-了，C4y,)为函数图象上的两点则y>y其中正确的结论是 ,(填序号) 菜同 (7题图) (8题图) 50领跑数学 9./2023沈阳二模/某商场将进货单价为70元的某种商品按销售单价100元出售时，每天能卖出20 个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润， 该种商品的销售单价应降 元 10./2021大连“八区联考”1如图，点A(0,1),平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与 :=r(x≥0)于B,C两点，过点C作y轴的平行线交，于点D,直线DE/AC,交：于点 E,则DE= 11.1全国视野·新考法12023年5月28日，C919商业首航完成一中国民航商业运营国产大飞机正式 起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中 高级别的礼仪).如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条 水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为 学80m时.两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20m,喷水口A,B距地面 均为4m,若两辆消防车同时后退10m,两条水柱的形状及喷水口A',B'到地面的距离均保持 不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 m. (10题图) (11题图1) (11题图2) 12.某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：kg)和销售单价x(单位： 元)满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80. (1)求y关于x的函数解析式： (2)若该种商品的成本为40元/kg,该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是 多少元？ y/kg4 100 学可2星 学百之星 学百之星 学月之星 5080 元 (12题图) 领跑-数学51 学可之星 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax十bx十3经过A(一3,0)，B(1,0)两点，其顶点为点 D,连接AD,P是线段AD上一动点（不与点A,D重合）. (1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； (2)如图，过点P作PE⊥y轴于点E,连接AE,求S△AE的最大值. (13题图) 学可2星 学可2星 单可2星 学可2星 学可2星 14./新考向·跨学科融合1一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s,经过ts球的高度为hm. 已知物体竖直上抛运动中，h-01一2&(，表示物体运动上弹开始的速度，g表示重力系数。 取g=10m/s2). (1)写出h关于t的函数解析式； (2)求球从弹起到最高点需要多长时间，最高点的高度是多少； (3)若球在下落至h=3.75m处时，遇一夹板（这部分运动的函数图象如图所示），球以遇到夹板 时的速度再次竖直向上弹起，然后落回地面.求球从最初10m/s弹起到落回地面的时间. 学可2星 学可之星 学百之星 学可2星 学可之星 (14题图) 52领跑数学y=-45x+15. "专题九二次函数" 联立 解得 y=60x. 60 y= 7 2.命题点精炼 60 1.B2.y=x2+4x3.B4.D5.D6.①②③ ·当甲，乙两车相遇时，乙车距大连北站的距离为)km。 7,C8.y=x-6x+4 4 11.解：1)在)y=一3x十4中.令r=0则y=4 9.解：设二次函数的解析式为y=a(x一1)(x一3) 将点C(0,3)代人，得3=a(0一1)(0一3).解得a=1. .点A的坐标为(0,4). 将点A(0,4),B(-5,0)代入y=kx+b,得 ∴.二次函数的解析式为y=(x一1)(x一3)=x2一4x十3. 10.解：(1)将点A(1,一2)，B(0,-5)代人y=x2十bx十c,得 b=4 解得 k=5 11+b+c=-2, b=2. -5k+b■0， 解得 b=4. c=-5. lc=-5. 14 学三直线AB的函数解析式为y二写：十国 学日之园次函数的解析式为十2x-5 学可之星 y=x2+2x-5=(x+1)2-6. (2)如图，设点P的坐标为(p,专p+4)小： ∴.顶点坐标为（一1，一6）. 在y=一」 r+4中，令y=0,则0=-号+4.解得=3 (2)-3≤x≤1 11.18 .点C的坐标为(3,0). 12.解：(1)抛物线过原点(0,0)， 又A(0,4),B(-5,0)..0A=4,OB=5,BC=8 .设h关于t的函数解析式为h=ar2+bL, 1 5a0m20A,0B=立X4X5=10. 学 1a+b=15,a=-5, 将点(1,15)，(2.20)代人，得 解得 :点P在线段AB上， 4a+2b=20. b=20. ,∴.h关于t的函数解析式为h=一51+20t. i.SAAP SAAN SAIRE 2 X 8X4-? ×8× (2),小球飞出和落地时的高度都为0， (信+4) ∴.令h=0,得-5t3+20f=0. :S△Ae=S△w: 解得t1=0,1:=4. .小球从飞出到落地要用48 学曰它⊙③小球的飞行高度不能达到20,5m,理由如下：可它星 5 解得p=一8 令h=20.5,得-512+20t=20.5. 整理.得2一41十4.1=0， 点P的坐标为(-草名)》 △=（一4）一4×1×4.1<0，.方程无实数根 ∴.小球的飞行高度不能达到20.5m 13.解：(1)'册栏总长为48m,AB的长为xm, .BC=(48-3x)m. .y=x(48-3x)=-3x2+48x. y与x之间的函数解析式为y=一3r+48x(9≤x<16). (11题图) (2)由(1)，知y=-3x+48x=-3(x-8)*+192. (3)1的最小值为8瓦. :一3<0，对称轴为直线x=8, ∴.当x>8时，y随x的增大而减小 领跑数学9 学可之星 当r=9时，y有最大值，y量大m=189。 3.易错点警示 .当AB的长度是9m时，矩形绿化带ABCD的面积y取1，D2,a≥一1且a≠03.D4.1:一5 得最大值，最大值为189m2, 4.综合练习 14.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx十b. 1.B2.A3.D4.A5.A6.C7.C 90=50k+b, k=一1， 8.①③④9.510.211.19 将点(50,90)，(60,80)代入，得 解得 80=60k+b. b=140. 12.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+6. .y关于x的函数解析式为y=一x十140. (50k+b=100, k=-2, 将点(50.100)，(80.40)代人，得 解得 (2)设商店每月出售这种护眼灯所获得的利润为心元 80k+b=40. b=200. 根据题意.得■(x一40)（一x十140）■一x1十180x一 ,.y■-2x+200(50≤x≤80). 5600=-(x-90)2+2500 (2)设该电商每天获得的利润为元. :规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， 根据题意，得w=(x-40)(一2.x+200)=一2x2+280x一 学$40≤80. 学可2星 学之80=-2(x-70)+1800,星 学可之星 一1<0.对称轴为直线x=90, ,一2<0.且对称轴是直线工■70,50≤x≤80. ,当40≤x≤80时，y随x的增大面增大. ,∴.当x=70时，取得最大值，最大值为1800 .当x=80时，te取得最大值，最大值为一(80一90)2+ 答：该电商将销售单价定为70元时才能使每天获得的利润 2500=2400. 最大，最大利润是1800元 ∴当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种护 13解：(1)抛物线y=r十r十3经过A(一3,0).B(1.0)两点， 眼灯所获得的利润最大，最大月利润为2400元 19a-3+3=0, a=-1. 15.解：(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(1,3). 解得 a+b+3=0. b=-2. .设抛物线的解析式为y=a(x一1)2+3. 抛物线的解析式为y=一x一2x十3=一(x+1)2+4. 将点A(0,2.25)代入，得a(0-1)°+3=2.25. .抛物线的顶点D的坐标为（一1,4） 第得a=一 (2)设直线AD的解析式为y=kx十m. 六抛物线的解析式为y=一子任一1)+3， 一3k+m=0, 将点A(一3,0)，D(一1,4)代人，得 一k十m=4 (2)令y=0,得0=-3 x-1)*+3. 1k=2, 解得 学解得2，-1（不合题意，合去），2-3 学 1m=6. 学耳Z星 学可之 .2×3=6(m), ∴.直线AD的解析式为y=2.x十6. ',水池的直径至少要6m才能使喷出的水流不落到池外。 :P是线段AD上一动点（不与点A,D重合）， (3)将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点(2.5,0) ,.设点P的坐标为(p,2p+6)(一3<p<一1) 设平移后的抛物线的解析式为y-一子红一)+ Sae=二：2p+8=-(+)广+是 2 将点2.50代人，科-子a.5-1+有=0解得A=器 -3<p<-1,-1<0. 二平移后的抛物线的解析式为y三一(x一12+6· 3 ÷当p=一受时，S0取得最大值，比时5a-是 9 当x=0时y=-3（0-1)+22-15 SArr的最大值是手 4 16=16 14.解：(1)把o=10,g=10代人，得h=101一5/， 调整后水管的最大长度为5m, .h关于1的函数解析式为h=10t一51， 10领跑-数学 (2),h=101-52=-5(1-1)°+5， A(2,4) 当1=1时，h取得最大值，最大值为5. 将点A2,0代人y-兰(>0)，得E-4X2-8 ,球从弹起到最高点要18，最高点的高度是5m. (3)当h=3.75时，3.75=101-512. 六反北例西数的解新武为y一兰 解得t1=0.5t2=1.5. (2)如图，过点A作AF⊥x轴于点F, 根据题意可知，在球弹起后1,5s时遇到夹板 ∴.∠AFD=90 :球遇到夹板弹起的速度与下落时恰好碰到夹板的速度相同， :∠AD0=45°.∠FAD=45 ∴球再次弹起，经过0.5s后达到最高点，再经过1s后落地. ∴.AF=DF=OB=4. ,球从最初弹起到落回地面的时间为1.5十1,5=3(s), OF=AB=2...OD=6. "专题十反比例函数 D(6,0) 设直线AC的解析式为y=a.r十b. 2命题点精炼 学可之 学与之将点A2,),D(6.0)代天得星 学可2星 1.C2.A3.D4.D5.>6.C 2a十b■4 a=-1. 解得 7.解：(1)将点A(1.m)代人y=x+2,得m=1+2=3. 6a+b=0. b=6. A(1,3) ∴，直线AC的解析式为y=一x十6 将点A1,3)代入y=(x>0),得k=1×3=3. y=-x+6, x=2,r=4, 联立 3r8 解得 或 :反比例函数的解析式为y一工 3 y=4 y=2. .C(4.2) (2)点B在反比例函数的图象上，且纵坐标是1， 学三之 学月之星 .B(3,1) 如图，过点B作BD∥x轴交直线AC于点D, .点D的纵坐标为1. 将y=1代入y=x+2.得1=x+2.解得x=一1 .D(-1.1)...BD=3+1=4. ∴S6w=SAm+SAm=分BD·yA= 1 (12题图) 2 ×4×3=6. 学可之星 13.B 学 学之星 学之 14.解：)设密度p关于体积V的函数解析式为p=V(≠0). ,当V=5m时0=1.98kg/m, 1.8=夸解得=9.9 (7题图) 六酱度p关于体积V的函数解析式为p-二(>0. 8.-129.-53910.611.3V5 (2),k■9.9>0 12.解：(1)：AB⊥y轴，∴∠OBA=90 .当V>0时，P随V的增大而减小 在R△OBA中，：AB=2.an∠AOB=A5=1」 ΓOB2 当3v<9时，22<p<即1.1p<a.3 品-0- .二氧化碳的密度p的变化范围是1.1≤3.3. 领跑-数学11