题型专练5 圆的证明与计算-【领跑】2024年中考数学一轮复习基础梳理

·题型专练5圆的证明与计算· 小星有话说：本题型在2024年辽宁统考样卷21题考查；在近3年辽宁省各市中考中，沈阳、大连、鞍山、 抚顺、铁岭、本溪、辽阳、葫芦岛、丹东、锦州、营口、朝阳、盘锦各考了3次，分值为8~12分， ·考向1求线段长 1./2023沈阳模拟/如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条切线，切点为C,连接BC, BD,且BC⊥BD. (1)求证：∠ABC=∠BDC: (2)若⊙O的半径为5，BD=8,则CD的长为 学可Z星 学可2星 学可2星 学可2星 之星 (1题图) 2./2023大连中考1如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线AD交⊙O 于点D,连接OD交BC于点E. (1)求∠BED的度数： 学月之 学月之星 (2)如图2，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F,过点D作DG∥AF交AB于点G.若 AD=2/35,DE=4,求DG的长， 学可2星 学可2星 学可之星 2星 (2题图1) (2题图2) 领跑-数学123 学可之星 3.如图，AB为⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C,与射线AB相交于点E,点D在AC上，且 BC=CD,AC与BD相交于点F. (1)求证：∠ECB=∠CAB: 2)若AB=25,m∠ECB=气求CF的长 (3题图) 学可2星 学可2星 单2星 学可2星 学可2星 4.12023葫芦岛建昌县二模/如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，过点O作AB的垂线交AC 的延长线于点D,交BC于点E,F是DE的中点，连接CF. (1)求证：CF是⊙O的切线： (2)若DF=4,OA=3,求BC的长， 学可2星 学可之星 学可2星 学可之星 星 (4题图) ■124领跑-数学 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB边上，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D,分别 交AB,AC边于点E,F. (1)求证：AD平分∠BAC: (2)若BD=5,tan∠CAD=专求⊙0的半径， (5题图) 学可Z星 学可2星 单可2星 学可2星 学可2星 6.12023沈阳铁西区模拟1如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，延长AB至点D,连接 CD,过点B作CD的垂线交CD于点E,且BC平分∠ABE. 学之星 (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若OB：BD=3:2,CD=4,求AC的长. 学可2星 学可之星 学可2星 学可2星 (6题图)月之星 领跑-数学125 学可之星 ·考向2求弧长 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，AE⊥CD,交CD的延长线于点E,DA平分 ∠BDE. (1)求证：AE是⊙O的切线： (2)若∠DBC=号，DE=1,求CD的长 学可2星 学可2星 单可2星 学可2星 (7题图)Z星 8.全国视野·新考法如图1和图2所示，装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直 径的半圆O,AB=50cm,MN为水面截线，GH为台面截线，MV∥GH. 计算：在图1中，已知MN=48cm,过点O作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长： 操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚 动，如图2，半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D, 探究：在图2中， (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接OQ并延长交GH于点F,求EF与EQ的长. 学可2星 学耳之星 学2星…2星 (8题图1) (8题图2) 126领跑-数学 ·考向3求阴影部分的面积 9./2023抚顺东洲区模拟/如图，BC是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为C,BA交⊙O于点D,E 是AC的中点， (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=6,求图中阴影部分的面积. (9题图) 10./2023大连-模/如图，矩形ABCD的边BC与⊙O相切，切点为P,AD与⊙O相交于点E,F,连 接PE,PF. (1)求证：PE=PF (2)若AB=3,⊙O的半径为6，求扇形OEF(阴影部分)的面积. 学月2星 学可之目 (10题图) 11.如图，在锐角△ABC中，BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB交于点D,与边AC交于点F, 过点D作DE⊥AC,垂足为E,连接CD (1)求证：DE是⊙O的切线； 学2法B=4.oB 它 司2星 2,求阴影部分的面积. 学可2星 学可之星 (11题图) 领跑-数学127学可之星 .AB=2r=14: ·题型专练5圆的证明与计算· BD=√AB-AD=√14-(2√35)=2/14. 1.解：(1)证明：如图，连接OC, ,AF是⊙O的切线，，∠BAF=90 :CD与⊙O相切于点C, :DG∥AF,·∠BGD=∠BAF=90°，即DG⊥AB. .∠OCD=90°.，.∠BCD+∠BCO=90. ∴Sam=2AD·BD=2AB,DG, BC⊥BD,.∠CBD=90 ∴.∠BDC+∠BCD=90°，∴.∠BDC=∠BCO. DG-AD,BD_2y质X2压-2m. AB 14 ,OC=OB,.∠BCO=∠ABC. ∴∠ABC=∠BDC. 学可之星 学百之星 学可2星 (2题图) 3.解：(1)证明：如图，连接O℃ (1题图) AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90 (2)45 ∴.∠CAB+∠ABC=90 2.解：(1)AB为⊙O的直径.，.∠ACB=90. :CE与⊙O相切于点C.∴.∠ECO=90, AD平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAD. ∠ECB+∠OCB=90. :BD=BD..∠BOD=2∠BAD. OB=(C,∴.∠OBC=∠OCB. .∠BOD=∠BAC.∴.OD∥AC. ,∴.∠ECB=∠CAB. ∴∠OEB=∠ACB=90 ∴.∠BED=90 (2)如图，连接BD 设OA=OB=OD=r,则OE=r-4,AB=2r. 学知∠0EB=90,即0E士BC星 学2星 学日3题图) 学可2星 E为BC的中点. (2)∠BCB=∠CAB,sim∠ECB=5 又O为AB的中点，.OE是△ABC的中位线 ∴.AC=20E=2r-8. ÷in∠CAB=AB-5 ,AB为⊙O的直径，.∠ADB=90° AB=25, 在R1△ADB中，根据勾股定理，BD+AD=AB, 在R1△OBE和R1△DBE中，根据勾股定理， c-5B-gx25-2 BE=OB-OE.BE=BD-DE. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .BD=AB-AD=BE+DE=OB-OE+DE*. AC=√AB-BC=√(25)-2=4. .(2r)2-(235)2=r-(r-4)2+4 :BC=CD,∠CAB=∠CBF 解得r1=7,:=一5（不合题意，舍去）. 又∠BCF=∠ACB,.△CBFC∽△CAB. 32领跑-数学 紧-器脚子-罗 .∠ODB=∠C.∴.OD∥AC 2 .∠ODA=∠CAD. ∴CF=1. .∠BAD=∠CAD. 4.解：(1)证明：如图，连接0C, ∴.AD平分∠BAC. ,AB是⊙O的直径，.∠ACB■90 ∴∠ECD=180°-∠ACB=180°-90°=90°. 在Rt△CDE中，，F是DE的中点， .DF=CF=EF ∴.∠ECF=∠FEC=∠OEB. (5题图) OD⊥AB,.∠EOB=90 (2)如图，连接DE ∴.∠B+∠OEB=90 学00=0B:.∠B=∠0cB,Z星 学2是0的直格之 学可之星目 ,∠ADE=90°，即∠ODA+∠ODE=90° ∴.∠OCF=∠ECF+∠OCE=∠OEB+∠B=90°. .⊙O与BC相切于点D, .(C⊥CF .∠ODB=90 :OC是⊙O的半径，CF是⊙O的切线. ∴.∠BDE+∠ODE=90. .∠BDE=∠ODA ∠BDE=∠OAD. 学之 学百又∠B=∠B.∴△BEDn△BDA, 学日之星 阳跚器 '∠OAD=∠CAD, (4题图) .1 (2)由(1)，得∠OCF=90°，DF=EF=CF=4. ÷tan∠OAD=n∠CAD= 在Rt△(OCF中，根据勾股定理，得 OF=√OC+CF=√3+下=5. 学∴0E=0F-EF=5-41.月之星 学目 之黑器之 学可之星目 在R1△BOE中，根据勾股定理，得 BD=5,∴BA=10,BE= BE=√OE+OB=√/+3=/10. 2 在R△BOE和R△BCA中， AE=BM-BE=10-2=2 5-15 “sB器 AE= 0A= .3-BC v66BC=910 5 ÷⊙0的半径为 15 5.解：(1)证明：如图，连接OD 6.解：(1)证明：如图，连接(C OD=OA,.∠ODA=∠BAD. BE⊥CD,∴∠BED=90, :⊙O与BC相切于点D, .OC=OB,.∠OCB=∠ABC, .OD⊥BC..∠ODB=90 ,BC平分∠ABE.,∠EBC=∠ABC 领跑-数学33■ 学可之星 ∴.∠OCB=∠EBC..OC∥BE ∴AE是⊙O的切线. ∴.∠(CD=∠BED=90,即O⊥CD. ,OC是⊙O的半径，.CD是⊙O的切线. (7题图) (6题图) (2)如图，连接(OC. (2):AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90 sin∠DBC=2,∠DBc=30 .∠A+∠ABC=90. ∠DCB+∠OCB=∠OCD=90°，∠OCB=∠ABC, ,CD=CD,.∠COD=2∠DBC=60 学∠D0BA. 学可之星 学0是0的直径之星 学可之星目 .∠BCD=∠BAD=90.∠BDC=60 又∠D=∠D,∴.△DCBn△DAC 1 BC BD CD CA-CD AD 六∠EDA=∠ADB=2X180'-60)=60 由(1)，知∠AED=90 AD·BD=CD2==16. .∠EAD=30°.，AD=2DE=2. OA=OB.OB:BD=3:2. '∠BAD=90°，∠ADB=60°. 0A=0B=2BD, ∴∠ABD=30.∴.BD=2AD=4. AD=2BD+受BD+BD=BD, 1 0D=2BD=2. .4BD2=16..BD=2. :CD的长为0：x·2 180 3文 AB=0A+0B=2×2+2×2=6i 3 8.解：(1)如图，连接OM. ---c-c :点O为圆心，OC⊥MN,MN=48cm. ∴.MC= 2MN=24(em). 在R△ABC中，根据勾股定理，AC十BC=AB 学之 AC+(AC) 学日Z星 学目 ■1 .AB=50 cm...OM= 交AB=25(cm). 学2星星 在Rt△(OMC中，根据勾股定理，得 解得AC-125 51 0C=√OM-MC=√25-24=7(em). 7.解：(1)证明：如图，连接OA O0A=OD,.∠OAD=∠ODA DA平分∠BDE,.∠ODA=∠EDA .∠OAD=∠EDA.∴.OA∥CE. G .∠)AE+∠AEC=180 (8题图) :AE⊥CD..∠AEC=90 (2),GH与半圆的切点为E,∴.∠OEH=90°. .∠OAE=180°-∠AEC=90,即OA⊥AE. :MNGH,∴.∠ODB=∠OEH=90 又OA是⊙O的半径， :∠ANM=30°.ON=25cm, 34领跑-数学 .0D-0(cm). ∴OP垂直平分EF. 2 ∴PE=PF --号m 11 操作后水面高度下降了号m (3)∠ODB=90°，∠ANM=30°. ∠DB=60, 半圆的中点为Q,AQ=QB. (10题图) .∠Q0B=90°.÷∠Q0E=30 (2),∠HPB=∠B=∠A=90°， EF=0E·an∠QOE=25x5_25 .四边形ABPH是矩形 -(cm), 3 ∴.PH=AB=3. 学四的张为X6西-管m之星 180 :⊙0的半径为6，.0P=OE=6. 学可之星目 9.解：1)直线DE与⊙O相切.理由如下： ∴.OH=OP-PH=6-3=3. 如图，连接OE,OD. ∴.PH=OH=3. AC是⊙O的切线..∠OCA=90 os∠POE-OH-1 0E=2· E是AC的中点，O是BC的中点， ∴.∠POF=∠POE=60 .OE∥AB..∠1=∠B,∠2=∠3. ∴.∠EOF=∠POF+∠POE=60°+60°=120°. OB=OD,∠B=∠3..∠1=∠2. 120×r×6 又OC=OD,OE=OE,∴△COE2△DOE. 360 =12x. 学日之星 ∴∠OCE=∠ODE=90°，即OD⊥DE. 11,解：(1)证明：如图，连接OD. :OD是⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切. ,BC为⊙O的直径，.∠BDC=90° .BC=AC.'.AD=BD. ,OB=(OC,,OD是△ABC的中位线 .OD∥AC..∠ODE=∠AED. DE⊥AC,∴∠AED=90° 学之星 9愿脚之目 学Z20DE=90,OD LDE.目 学可立星 (2)由1).知△C)E2△DOE. ,OD是⊙O的半径，，DE是⊙O的切线 .S△aw=S△w: E是AC的中点∴CE=2AC=3. ∠B=50°，∴∠COD=2∠B=2×50°=100° 5ms-25 ne-Saw2X00 360 10.解：(1)证明：如图，连接OP交AD于点H (11题图) ,BC与⊙O相切，.BC⊥OP..∠OPB=90 (2)由(1)，知AD=BD,∠BDC=90 ,四边形ABCD是矩形，.AD∥BC AB=4...AD=BD=2. ∴.∠OHA=∠OPB=90°，即OP⊥EF. 1 OE=OF...EH=FH. c0sB=2心∠B=60 领跑-数学35☐ 学可之星 又OB=OD,.△BOD是等边三角形. 11.解：(1)如图，点E即为所求.点E的坐标为（一3，一1）. ∴.OB=OD=BD=2,∠BOD=60°，BC=4. (2)如图，△A,B,C2即为所求 在R△BCD中.：tanB=CP (3)如图，△A,B,C:即为所求 BD' ∴tan60°=CD CD=2 60m·2 .S刷s=S0n十SAKD=S■e十 360 + 1 2×2X23=2 (11题图) 第五单元 图形的变换 12.c13.A14号 15.A16.D17.24 学可之 专题二十一 投影与视图 学 3.易错点警示 学日之星 学可之星 1.C2.(0,3)或(-4,0)3.(-2,1)或(2，-1) 2命题点精炼 4.综合练习 1.B2.A3.B4.C5.D6.A7.C8.A9.B10.C 1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.C8.D 3.易错点警示 1.D2.D 9.号10.50-79 4.综合练习 ·题型专练6与旋转有关的计算· 1.A2.B3.D4.C5.B6.B7.B 8.平行9.65x 1.B2.A3B4.C5.A6.A7.C 专题二十二图形的平移、旋转、对称、位似 85或59C10.c1n. 12.513.514.y=4 2.命题点精炼 ·题型专练7与翻折有关的计算· 1.B2.(-2,-4)3.(1.4)4.C5.B6.B7.A /900 8.解：(1)(2)如图，△A,BC,和△4B,C即为所求。 1.C2.A3.64. 5.4 Z星 之层 学可之星 6.42-47.25°或115°8.2或4 9.A10.B11.30°12.313.414.2或1 15.(W2+1)a16.217.2或W218.3-319.2√620.2.8 21.322.5 8 (8题图) 第六单元 统计与概率 (3)(a+4.-b) (4)如图，点P即为所求. "专题二十三统计” (.) 2,命题点精炼 9.C10.60 1.D2.D3.C4.A5.C6.C7.C8.B 36领跑-数学