第8.6.2讲 直线与平面垂直的性质（第2课时）-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 第8.6.2讲 直线与平面垂直的性质（第2课时） 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1、线面垂直有关性质的理解 2、直线与平面垂直性质定理的应用 3、空间距离问题 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 图形语言 作用 证明两条直线平行 知识点二　空间距离 1．点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 2．平行于平面的直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 题型1、线面垂直有关性质的理解 1．过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 2．已知直线平面，直线平面，则与的位置关系一定成立的是（    ） A．相交 B．垂直 C．异面 D．平行 3．下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若直线平面，直线，则（    ） A． B．可能和平行 C．和相交 D．和不相交 5．空间中直线和三角形所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 1．线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化． 2．常用的线面垂直的性质还有：①b⊥α，a⊂α⇒b⊥a；②a⊥α，b∥a⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 题型2、直线与平面垂直性质定理的应用 6．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（    ） A．2 B．2 C．4 D．4 8．如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 9．如图，在四面体中，平面，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变大再变小 1．在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． 2．注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系． 题型3、空间距离问题 11．在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 12．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设为上一点，且，求点到平面的距离． 13．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 14．如图，在长方体中，，，． (1)求点和点C的距离； (2)求点到棱BC的距离； (3)棱和平面ABCD的距离． 距离的定义具有最短性和确定性，充分体现了化归思想．两个平行平面间的距离、直线到平面的距离，都是转化为求点到平面的距离来解决，最终实质是求两点间距离． 求点到平面的距离一般有两种方法： (1)构造法：根据定义构造垂直于面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解． (2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为三棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解． 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．任意四边形都可以确定唯一一个平面 B．若，则直线m与平面内的任意一条直线都垂直 C．若，则直线m与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线m上有无数个点不在平面内，则 2．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ） A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PCD 4．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B．平面 C． D．平面 二、多选题 9．如图，如果菱形所在的平面，那么下列结论正确的是（　　） A． B．与异面 C．与相交 D． 10．已知正方体的棱长为1，E是的中点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．平面 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为45° 三、填空题 11．如图，一块正方体形木料的上底面有一点E，经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直， 写出作该直线的方法 12．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，则外接球的体积为 ． 四、解答题 13．如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：. 14．如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.    (1)若为的中点，证明：； (2)求点到平面的距离. 15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：    (1)平面； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步 第8.6.2讲 直线与平面垂直的性质（第2课时） 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1、线面垂直有关性质的理解 2、直线与平面垂直性质定理的应用 3、空间距离问题 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 图形语言 作用 证明两条直线平行 知识点二　空间距离 1．点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 2．平行于平面的直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 题型1、线面垂直有关性质的理解 1．过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质判断. 【详解】与已知直线垂直的不同的平面都互相平行，其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个. 故选：B 2．已知直线平面，直线平面，则与的位置关系一定成立的是（    ） A．相交 B．垂直 C．异面 D．平行 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质定理，可得答案. 【详解】根据线面垂直的性质定理，则. 故选：B. 3．下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定及性质判断①②③；由面面垂直的判定定理判断④. 【详解】如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，这条直线可能在平面内，可能与面平行，也可能与平面斜交，故①错误； 由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确； 由线面垂直的性质可知，垂直同一平面的两条直线互相平行，故③正确； 由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确. 故选：C. 4．若直线平面，直线，则（    ） A． B．可能和平行 C．和相交 D．和不相交 【答案】A 【分析】由直线与平面垂直的定义直接判断. 【详解】由直线与平面垂直的定义可知，若直线平面，直线，则. 故选：A. 5．空间中直线和三角形所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质可得结论. 【详解】因为平面，平面，所以，， 故选：B. 1．线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化． 2．常用的线面垂直的性质还有：①b⊥α，a⊂α⇒b⊥a；②a⊥α，b∥a⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 题型2、直线与平面垂直性质定理的应用 6．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用线面垂直的性质可得直角三角形，再利用线面垂直的判定得出BC⊥平面PAC，从而得到直角三角形的个数. 【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC． ∴△ABC为直角三角形． 又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形， 又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC． ∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形， 从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形． 故选：D. 7．在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（    ） A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】根据线面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性质可得答案. 【详解】如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM， 因为PC＝4，所以， 要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值， 此时有，所以PM的最小值为. 故选：B. 8．如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 【答案】D 【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解. 【详解】 连接，因为，所以, 又因为，,所以， 所以, 故选:D. 9．如图，在四面体中，平面，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题中条件，得到，再由勾股定理，根据题中数据，即可求出结果. 【详解】因为，，所以， 又平面，平面，所以； 因此. 故选：C. 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变大再变小 【答案】C 【分析】根据线面垂直可知总成立，即可得出结论. 【详解】由题意可得，AC⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，平面ABC , 又, 平面， 平面 BC⊥PC. ∴∠PCB=90°，即∠PCB的度数保持不变. 故选：C 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，属于中档题. 1．在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． 2．注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系． 题型3、空间距离问题 11．在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点A到平面的距离为的长，求出答案. 【详解】连接，与相交于点，因为四边形为正方形， 所以⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 故点A到平面的距离为的长， 又棱长为4，所以. 故选：B 12．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设为上一点，且，求点到平面的距离． 【详解】（1）证明：在直三棱柱中， ，分别为的中点， ∵∴，即， 又是直三棱柱， 所以平面，平面，所以, 平面,, ∴平面，平面,则， ∵分别为的中点，且 ∴四边形为正方形，则，又， 平面，∴平面； （2）由（1）知，即，又是直三棱柱，∴平面， ∴，则点M到平面GBC的距离即为， ∴， 由（1）知，，且，∴， 设点点到平面的距离为，则，∴，则， 即点点到平面的距离为． 13．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1） 平面平面 是底面的一条直径, 又平面平面 所以平面 是直线与平面所成角, 因为,所以 所以 所以直线与平面所成角的大小 （2） 过作,垂足为， 由(1)得平面平面 所以平面平面， 又因为平面平面, 平面,, 所以平面， 根据等面积法, 即到平面的距离等于. 14．如图，在长方体中，，，． (1)求点和点C的距离； (2)求点到棱BC的距离； (3)棱和平面ABCD的距离． 【详解】（1）如图，连接、AC， ∵平面ABCD，而平面ABCD， ∴， 由勾股定理，得； （2）如图，连接，∵平面，而平面， ∴． ∴就是点 到棱 BC 的距离， ． ∴点到棱 BC 的距离是5cm； （3）显然棱平面ABCD，平面ABCD， ∴就是棱和平面ABCD的距离， ∵， ∴棱和平面ABCD的距离是3cm． 距离的定义具有最短性和确定性，充分体现了化归思想．两个平行平面间的距离、直线到平面的距离，都是转化为求点到平面的距离来解决，最终实质是求两点间距离． 求点到平面的距离一般有两种方法： (1)构造法：根据定义构造垂直于面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解． (2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为三棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解． 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．任意四边形都可以确定唯一一个平面 B．若，则直线m与平面内的任意一条直线都垂直 C．若，则直线m与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线m上有无数个点不在平面内，则 【答案】B 【分析】 ACD选项，可举出反例；B选项，可根据线面垂直的定义得到. 【详解】 A选项，空间四边形的四个点不共面，A错误． B选项，根据线面垂直的性质知，若，则直线m与平面内的任意一条直线都垂直，B正确； C选项，若，则平面内存在直线与直线m可能平行或异面，C错误． D选项，若直线m上有无数个点不在平面内，则或m与相交，D错误． 故选：B 2．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确. 【详解】A选项，缺条件，结论不成立； B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立； C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确 D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立. 故选：C 3．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ） A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PCD 【答案】C 【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 由四边形ABCD为矩形得， 因为， 所以平面PAD． 又平面PCD， 所以平面平面PAD． 故选：C 4．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理先证明平面，进而可得出结果. 【详解】平面，. 又，且，平面， ∴直线与垂直. 【点睛】本题主要考查线线垂直的判定，由线面垂直可得线线垂直，熟记线面垂直判定定理即可，属于常考题型. 5．棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得OP的最小值为点到线段的距离，借助相似三角形的性质计算即可得. 【详解】由题意可得OP的最小值为点到线段的距离， 在平面内过点作于点， 由题意可得，，，平面， 因为平面，则，因为， 故，即. 故选：C. 6．如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正方体的表面展开图还原为正方体，证明平面，即可证明，即可得答案. 【详解】将正方体的表面展开图还原为正方体，与在正方体中的位置如图所示， 由于平面平面，故， 又，且平面， 故AB⊥平面，平面，所以， 故直线与所成角的大小为. 故选：D. 7．在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出线面角的平面角，利用正三柱的性质设出边长即可求得结果. 【详解】取是的中点，连接，如下图所示： 设三棱柱底面边长为，可得， 由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角， 易知，由勾股定理可得， 所以； 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 8．如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B．平面 C． D．平面 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质可判定线面垂直，从而得出线线垂直，即可判定A、B、D三项正确. 【详解】因为平面平面，平面平面， 所以平面，即B项正确； 因为平面，所以，即A正确； 因为为线段的中点， 所以，同理可得平面，即D正确； 因为平面，平面，所以， 平面，若，则平面， 显然不重合，故C错误. 故选：C 二、多选题 9．如图，如果菱形所在的平面，那么下列结论正确的是（　　） A． B．与异面 C．与相交 D． 【答案】BD 【分析】由异面直线的判定方法可知A选项错误，B选项正确，C选项错误，而D选项，则需要由已知的线面垂直证明线线垂直，再由菱形的对角线垂直，去证明线面垂直，最后问题可得证. 【详解】 因为平面，平面，， 所以可知MA与BD异面，即A选项错误，B选项正确，C选项错误； 连接AC，因为四边形为菱形，所以. 又因为平面，平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，所以，即D选项正确， 故选：BD. 10．已知正方体的棱长为1，E是的中点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．平面 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为45° 【答案】ABC 【分析】对于A，由已知可得平面，从而可得；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于，所以是异面直线与所成的角，从而可得结果. 【详解】如图，    因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，故A正确； 因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 三棱锥的体积为，故C错误； 因为， 所以是异面直线与所成的角，又是等边三角形， 所以异面直线与所成的角为60°，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．如图，一块正方体形木料的上底面有一点E，经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直， 写出作该直线的方法 【答案】在平面中，画出经过点与垂直的直线 【分析】 设经过点在上底面与垂直的直线为，由题意可得到平面，所以，在平面中，画出经过点与垂直的直线即可． 【详解】 设经过点在上底面所画与垂直的直线为， 由是正方体，则平面， 平面，则有，又， 是平面内的相交直线，所以平面， 平面，则， 所以在平面中，画出经过点与垂直的直线即可． 故答案为：在平面中，画出经过点与垂直的直线 12．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，则外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】题可知的中点即为外接球的球心，勾股定理求出的长，得外接球的半径可求体积. 【详解】鳖臑的外接球，即对应“堑堵”的外接球， 底面为直角三角形的直三棱柱，是长方体的一半，的中点即为的外接球的球心， ，则， 直三棱柱中，平面，平面，，则， 的外接球的半径为2，体积. 故答案为： 四、解答题 13．如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：. 【详解】证明：在正三棱柱中，且为棱的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以 14．如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.    (1)若为的中点，证明：； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）取中点，连接， 为等边三角形，， 四边形为正方形，， ， 又平面， ∴⊥平面， ∴    （2）连接， 因为平面⊥底面，平面底面，⊥， 所以⊥平面， 因为四边形为正方形，所以⊥，且， 故， 因为，，所以， 由勾股定理得， 设到平面的距离为， ， 即， 解得. 15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：    (1)平面； (2)． 【详解】（1） 四棱锥的底面是矩形， ，平面，平面， ，又，、平面， 平面； （2） 由（1）知平面， 同理可得，平面， ，分别是，的中点， ，平面， 又平面，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$