第8.6.1讲 直线与直线垂直-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 第8.6.1讲 直线与直线垂直 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．理解异面直线垂直的定义．(重点)　2.理解异面直线所成角的概念．(重点)　3.会求给定两条异面直线所成的角．(重点、难点) 1、求异面直线所成角 2、异面直线垂直的证明 知识点　异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是0°<θ≤90°． 3．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b． 题型1、求异面直线所成角 1．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与 A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为 4．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于 (　　) A．40° B．50° C．90° D．150° 5．若斜线段的长是它在平面内射影长的2倍，则与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求． 题型2、异面直线垂直的证明 7．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（      ） A．梯形 B．空间四边形 C．正方形 D．有一内角为60°的菱形 8．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 9．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 10．如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，在平面内作交于点，点是的中点，则和平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 11．已知直线平面，直线，则（    ） A． B． C．异面 D．相交而不垂直 12．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是 A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对 证明两异面直线垂直的步骤 (1)作出两异面直线所成的角． (2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系． (3)结论． 一、单选题 1．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变大再变小 3．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　 A． B．与相交 C． D．与所成的角为 4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （  ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 5．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行； ③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 8．如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中， ①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为； ③直线与直线可能垂直；   ④直线与直线可能垂直. 以上说法正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 10．如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是 A．与平行 B．与为异面直线 C．与成60°角 D．与垂直 三、填空题 11．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 ． 12．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①  ②与成  ③与是异面直线  ④，其中正确的是 ． 四、解答题 13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 14．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小. 15．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步 第8.6.1讲 直线与直线垂直 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．理解异面直线垂直的定义．(重点)　2.理解异面直线所成角的概念．(重点)　3.会求给定两条异面直线所成的角．(重点、难点) 1、求异面直线所成角 2、异面直线垂直的证明 知识点　异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是0°<θ≤90°． 3．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b． 题型1、求异面直线所成角 1．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可. 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角. 由条件知：，则， 故选：C. 2．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据题意，求异面直线所成角，找到平行线，转化成平面角，即可求解. 【详解】由题意，作正方体，如下图所示：    连接，， ∴异面直线与即所成的角为. 由题可得为等边三角形，. ∴异面直线与所成的角为60°. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角，属于基础题. 3．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与 A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为 【答案】D 【分析】先将平面展开图还原成正方体，再判断求解. 【详解】 将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为. 故选D. 【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于 (　　) A．40° B．50° C．90° D．150° 【答案】B 【详解】两条直线平行，它们与同一平面所成的角相等，直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于，选B. 5．若斜线段的长是它在平面内射影长的2倍，则与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，为斜线段在平面内的射影，即为与平面所成角的平面角，即可得解. 【详解】如图，为斜线段在平面内的射影， 则即为与平面所成角的平面角，， 则，又，所以， 即与平面所成角的大小为. 故选：A.    6．在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，直线与直线所成的角为，在中求其正切值即可. 【详解】如图，取的中点，连接，，则且 故直线与直线所成的角为. 因为面，面，所以，， 设，，则.    故选：A 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求． 题型2、异面直线垂直的证明 7．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（      ） A．梯形 B．空间四边形 C．正方形 D．有一内角为60°的菱形 【答案】C 【分析】根据已知，结合图形，利用三角形中位线的性质以及等角定理进行判断. 【详解】    因为点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点， 所以，，，, 所以，，所以四边形是平行四边形， 又AC与 BD所成角的大小为90°，所以与所成角的大小为90°， 即，所以四边形是矩形， 又AC＝BD，，，所以， 所以四边形是正方形，故A，B，D错误. 故选：C. 8．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 9．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 【答案】D 【详解】如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且， 由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线， 很明显，与异面， 由几何关系可得：，则， 综上可得，选项D中的结论不成立. 本题选择D选项. 10．如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，在平面内作交于点，点是的中点，则和平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明 平面，进而可证明为和平面所成的角，在中求解即可. 【详解】因为平面，则， 又因为，且， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，且, 所以平面， 所以， 因为是等腰三角形，点是的中点， 所以， 由，所以平面， 所以为和平面所成的角， 所以，，， ，， 解得，所以， 所以. 故选：C 11．已知直线平面，直线，则（    ） A． B． C．异面 D．相交而不垂直 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义得解. 【详解】由线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线， 因此 故选:A 【点睛】本题考查线面垂直的定义，属于基础题. 12．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是 A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对 【答案】A 【分析】连接，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面. 【详解】 连接. ∵几何体是正方体，底面是正方形， ∴. 又∵，∴平面. ∵平面，∴. ∵，∴平面. 故选A. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，熟记线面垂直的判定定理即可，属于常考题型. 证明两异面直线垂直的步骤 (1)作出两异面直线所成的角． (2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系． (3)结论． 一、单选题 1．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可. 【详解】 对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与异面，与异面，， 或与异面，与异面，与相交于点， 或与异面，与异面，与异面，故选项A错误； 对于B，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 或与相交于点，与相交于点，与相交于点， 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B错误； 对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确； 对于D，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，，，， 或 ，，与相交于点， 或 ，，与异面，故选项D错误. 故选：C. 2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变大再变小 【答案】C 【分析】根据线面垂直可知总成立，即可得出结论. 【详解】由题意可得，AC⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，平面ABC , 又, 平面， 平面 BC⊥PC. ∴∠PCB=90°，即∠PCB的度数保持不变. 故选：C 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，属于中档题. 3．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　 A． B．与相交 C． D．与所成的角为 【答案】D 【分析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为． 【详解】解：一个正方体的展开图如图所示， 为原正方体的顶点， 还原成正方体如下图， ，是与所成角， ，， 在原来的正方体中与所成的角为． 故选． 【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题． 4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （  ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 5．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则，即为与所成的角，在中求解即可． 【详解】连接，则，故为与所成的角． 在中，， ，， 在和中，得， 是等边三角形，． 故选：B． 6．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角在可得答案. 【详解】因为BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所以，所以异面直线B1C1与AC所成角为． 故选：A. 7．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行； ③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据正方体平面展开图，画出原正方体，标出各顶点，找平行线判断异面直线所成角，逐一判断，即可求解. 【详解】画出原正方体如图所示，    连接，，由图可知①②错误； ，所以为等边三角形， 所以③与所在直线成60°角是正确的； 显然④与所在直线异面是正确的. 综上，③④正确. 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数形结合思想，属于基础题. 8．如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中， ①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为； ③直线与直线可能垂直；   ④直线与直线可能垂直. 以上说法正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是圆；AB,AF是以BF为旋转轴的圆锥型侧面；CE,CD是以DE为旋转轴的圆锥型侧面. 【详解】由题意，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以不能重合， 故①不正确； 点与点的最大距离为正方形的对角线, 故②正确； 由于△ABF和△CDE全等，把△CDE平移使得DC和AB重合， 如图， △ABF绕BF旋转形成两个公用底面的圆锥，AB,CD是稍大的圆锥的母线，由于∠ABF小于45°，所以AB,CD的最大夹角为锐角，所以不可能垂直， 故③不正确； 同理可知，由于∠AFB大于45°，所以AF,BE的最大夹角为钝角，所以可能垂直， 故④正确. 故选:C. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，侧重考查直观想象的核心素养. 二、多选题 9．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 【答案】ABD 【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断. 【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误； 由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误； 同理AE与B1C1是异面直线，C正确； AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误. 故选：ABD. 10．如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是 A．与平行 B．与为异面直线 C．与成60°角 D．与垂直 【答案】BCD 【分析】首先由平面展开图还原几何体，在几何体中判断线与线的位置关系，直接判断选项，再根据线面垂直判断线线的位置关系. 【详解】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确； 与为异面直线，B正确； ,，而，, 与成60°角，C正确； 连接，， 平面, , 又 与垂直, D正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查线与线的位置关系，意在考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型. 三、填空题 11．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，，则异面直线和所成角为或其补角，在中使用余弦定理求解即可. 【详解】 如图，取中点，连接，， ∵，分别为，中点， ∴，且， ∴异面直线和所成角为或其补角， 在等边和等边中，， ∴在中，由余弦定理，有 ， ∴异面直线和所成的角的余弦值为. 故答案为：. 12．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①  ②与成  ③与是异面直线  ④，其中正确的是 ． 【答案】①③ 【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可. 【详解】还原正方体如下图示： 由正方体性质知：//且有,故①正确，②错误. ③,由图知：与是异面直线，故正确. ④,由正方体的性质知：,故错误. 故答案为：①③. 四、解答题 13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 14．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小. 【详解】 如图，取AC的中点G，连接EG，FG. 因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， 所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC， 则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角. 因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1. 单独看△GEF的平面图，可得 在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H， 在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝， 所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°. 所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°. 15．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$