4.7 相似三角形的性质（第一课时）课件2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 7　相似三角形的性质（第一课时） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 课前预习 ◎要点归纳 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 ⁠. 相似比　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 如图，已知△ ABC ∽△ A ' B ' C '，且△ ABC 与△ A ' B ' C '的相似 比为 k .点 D ， E 在边 BC 上，点 D '， E '在边 B ' C '上. 　　　　　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）若∠ BAD ＝ ∠ BAC ，∠ B ' A ' D '＝ ∠ B ' A ' C '，求 的值； （2）若 BE ＝ BC ， B ' E '＝ B ' C '，求 的值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】要求两条线段的比值，关键在于找到两条线段所 在的两个三角形是否相似，得到对应边之比等于相似比. 解：（1）∵△ ABC ∽△ A ' B ' C '，∴∠ BAC ＝∠ B ' A ' C '， ∠ B ＝∠ B '.∵∠ BAD ＝ ∠ BAC ，∠ B ' A ' D '＝ ∠ B ' A ' C '， ∴∠ BAD ＝∠ B ' A ' D '.又∵∠ B ＝∠ B '，∴△ BAD ∽△ B ' A ' D '. ∴ ＝ ＝ k . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）∵△ ABC ∽△ A ' B ' C '，∴∠ B ＝∠ B '， ＝ . ∵ BE ＝ BC ， B ' E '＝ B ' C '，∴ ＝ .又∵∠ B ＝∠ B '，∴△ BAE ∽△ B ' A ' E '.∴ ＝ ＝ k . 【点拨】解这类问题的关键在于根据原来的两个三角形相似得 到新的三角形相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 已知△ ABC ∽ △ A ' B ' C '，求证：对应角平分线之比等于相 似比. 证明：设 △ ABC 中∠ BAC 的平分线交 BC 边于点 D ，△ A ' B ' C ' 中∠ B ' A ' C '的平分线交 B ' C '边于点 D '.∵△ ABC ∽△ A ' B ' C '， ∴∠ B ＝∠ B '，∠ BAC ＝∠ B ' A ' C '.∴∠ BAD ＝∠ B ' A ' D '.∴△ ABD ∽ △ A ' B ' D '.∴ AD ∶ A ' D '＝ AB ∶ A ' B '，即对应角平分线 之比等于相似比. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 一张锐角三角形的硬纸片如图所示， AD 是边 BC 上的高， BC ＝40 cm， AD ＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的2倍的矩形 EFGH ，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G ， H 分别在边 AC ， AB 上， AD 与 HG 的交点为点 M . 求矩 形 EFGH 的周长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】根据四边形 EFGH 为矩形，得 EF ∥ GH ，即可得 △ AHG ∽△ ABC ，再根据相似三角形的性质即可求得 HE ， HG 的长，进而求出矩形 EFGH 的周长. 解：∵四边形 EFGH 为矩形，∴ EF ∥ GH . ∴∠ AHG ＝∠ B ， ∠ AGH ＝∠ C . ∴△ AHG ∽△ ABC . ∵ AD 是边 BC 上的高， 即 AD ⊥ BC ，∴ ＝ .设 HE ＝ x cm，则 HG ＝2 x cm， AM ＝ AD － DM ＝ AD － HE ＝（30－ x ）cm.∴ ＝ . 解得 x ＝12.则2 x ＝24. ∴矩形 EFGH 的周长为2×（12＋24）＝72（cm）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】三角形中截取矩形或正方形问题是相似图形知识应用 的热点问题，解决它的方法一般是抽象为相似的数学模型，利 用相似三角形中对应高之比等于相似比来解答. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，矩形 EFGH 内接于△ ABC （矩形各顶点在三角形的边 上），点 E ， F 在 BC 上，点 H ， G 分别在 AB ， AC 上，且 AD ⊥ BC 于点 D ，交 HG 于点 N . 若 AD ＝3， BC ＝9，设 EH ＝ x ，矩 形 EFGH 的面积为 y ，求出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自 变量 x 的取值范围. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：∵四边形 EFGH 是矩形，∴ HG ∥ BC . ∴△ AHG ∽△ ABC . ∵四边形 EFGH 是矩形，∴∠ HED ＝∠ EHN ＝90°. 又∵ AD ⊥ BC ，∴∠ END ＝90°.四边形 HEDN 是矩形. ∴ ND ＝ EH ＝ x .∵ AD ＝3，∴ AN ＝3－ x .∵△ AHG ∽△ ABC ， ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ HG ＝9－3 x . ∴ y ＝ x （9－3 x ）＝－3 x2＋9 x . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 已知一块直角三角形木板的直角边 AB 的长为1.5 m，面积为 1.5 m2.工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲同学设计方案如图1，乙同学 设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案中的正方形面积大？ 试说明理由. 图1 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】根据相似三角形的性质，分别计算出甲、乙两同 学设计的方案中的正方形边长及面积，再比较. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：甲同学设计的方案中的正方形面积大.理由如下： ∵ AB ＝1.5 m，△ ABC 的面积为1.5 m2，∴ BC ＝2 m. ①在图1中，设正方形 BDEF 的边长为 x m.∵ DE ∥ AB ， ∴△ CDE ∽△ CBA . ∴ ＝ ，即 ＝ .解得 x ＝ . 图1 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②在图2中，过点 B 作 BH ⊥ AC 于点 H ，交 DE 于点 P ，如图所 示.设正方形 DGFE 的边长为 y m.由勾股定理，得 AC ＝2.5 m.由 等面积法，得 AC · BH ＝ AB · BC . ∴ BH ＝ ＝1.2（m）. ∵ DE ∥ AC ，∴△ BDE ∽△ BAC . ∴ ＝ ，即 ＝ .解 得 y ＝ .∵ ＞ ，∴甲同学设计的方案 中的正方形面积较大. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解本题的关键点有两个：一是用等面积法求出斜边上 的高；二是运用相似三角形的对应高之比等于相似比进行计算. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，有一块锐角三角形卡纸余料 ABC ，它的边 BC ＝120 cm， 高 AD ＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一 个邻边之比为2∶5的矩形纸片 EFGH 和正方形纸片 PMNQ ，裁 剪时，矩形纸片的较长边在 BC 上，正方形纸片的一边在矩形纸 片的较长边 EH 上，其余顶点均分别在 AB ， AC 上， AD 分别交 PQ ， EH 于点 K ， R . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求矩形纸片的较长边 EH 的长； 解：（1）设 EF ＝2 x cm，则 EH ＝5 x cm. ∵四边形 EFGH 是矩形，∴ EH ∥ BC . ∴△ AEH ∽△ ABC . ∴ ＝ ，即 ＝ . 解得 x ＝15. ∴ EH ＝5 x ＝15×5＝75（cm）. 故矩形纸片的较长边 EH 的长为75 cm. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的： 先沿着剩余料△ AEH 中与边 EH 平行的中位线剪一刀，再沿过 该中位线两端点向边 EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判 断小聪的剪法是否正确. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（2）小聪的剪法不正确.理由如下： 设正方形的边长为 a cm. ∵ AR ＝ AD － RD ＝80－2×15＝50（cm）， ∴ AK ＝（50－ a ） cm. 由题意知，△ APQ ∽△ AEH ， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 a ＝30. 又∵与边 EH 平行的中位线为 ×75＝37.5（cm），且37.5≠30，∴小聪的剪法不正确. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$