2024年广东数学中考题型训练2——数方程与不等式

一、解方程 1. 关于的方程与的解相同，则　　 A． B． C．2 D． 1. 已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 1. 若方程组（m为常数）的解满足5x+3＝﹣y，则m＝　 　． 1. 20．若方程组与方程组同解，则　 　． 1. 解方程： 1. 解方程组：． 1. 解方程组：； 1. 解方程组： 1. 方程的解是（ ） A． B． C． D． 1. 方程=45的解是__________． 1. 方程的解为______ ． 1. 解方程： 1. 解方程： 1. 解分式方程： 1. 解方程： 1. 解方程 1. 解方程： 1. 解方程（公式法）： 1. 解方程：x2﹣3x+2＝0． 1. 解方程：3x2+x﹣4＝0 二、解不等式 1．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） 0 1 2 A． 1 2 0 B． 0 1 2 C． 1 2 0 D． 3.不等式3x﹣1≥x+3的解集是（　　） A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2 4.不等式组的解集是　 　． 5. 若方程组（m为常数）的解满足5x+3＝﹣y，则m＝　 　． 6.不等式组 的解集为　 　 7.不等式组的解集是　　 8.不等式组的解集为_________. 9.不等式2+3≥x+1，的解集是_____ 10.不等式组 的解集是　　　　　　． 11. 不等式组 的解集是__________ 12.解不等式组： . 13.解不等式组：，并将不等式组的自然数解在数轴上表示出来． 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 三、一元二次根的判别式 一、选择题 1.若关于x的方程x2+x﹣a0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2 2.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 3. 关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 4. .已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5.关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≤﹣ B. k≤﹣且k≠0 C. k≥﹣ D. k≥﹣且k≠0 6. 已知一元二次方程ax2+ax﹣4＝0有一个根是﹣2，则a值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. 4 7.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为　　 A. 3 B. C. 2 D. 8.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9.若关于x的方程(x＋1)2=1－k没有实根，则k的取值范围是(    )．  A．k＜1  B．k＜－1  C．k≥1  D．k＞1 10.如果2是方程的一个根，则常数k的值为(    ) A. 1 B. 2 C. D. 11.若方程x2﹣4x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 13.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2 14.若一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 15.已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m=_____． 16.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是_____． 17.已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 18.当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程． 19.若关于x的方程x2+mx+2＝0的一个根是1，则m的值为_____． 20当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．. 21.若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 四、方程应用第一问（基础） 1.哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. 2. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A．100（1﹣x）＝121 B．100（1+x）＝121 C．100（1﹣x）2＝121 D．100（1+x）2＝121 3.若关于x的分式方程+3＝无解，则实数m＝　 　． 4.四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元 （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 5.益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 A B 原运费 45 25 现运费 30 20 求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？ 6.某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润＝销售价格﹣进货价格） 7.威丽商场销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？ 8.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？ 9.某商店准备销售甲、乙两种商品共 80 件，已知 2 件甲种商品 与 3 件乙种商品的销售利润相同，3 件甲种商品比 2 件乙商品的销售利润多 150 元。每件甲种商品与每件乙种商品的销售利润各多少元？ 10. 某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足球的进价是第一次进价的1.2倍，且数量比第一次少了10个．求第一次每个足球的进价是多少元？ 11.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ 12.某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示． 价格/类型 A型 B型 进价(元/盏) 40 65 售价(元/盏) 60 100 若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？ 13. 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元；若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，则共需185元A，B两种跳绳的单价各是多少？ 14. 某县政府打算用25000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款．问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台？ 15. 某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 16.“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．求第一批玩具每套的进价是多少元？ 17.某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1 600万元．从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ 18.潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？ 19.学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？ 20. 2017年3月20日，某服装厂为一学校新生生产校服，要求在9月1日前一定要完成，且在规定时间内要完成生产服装3200套，在加工了200套后，厂家把工作效率提高到原来的2倍，于是提前15天完成任务，求该服装厂原来每天生产多少套校服． 21. 某校九年级（2）班的师生步行到距离10千米的山区植树，出发1.5小时后，李明同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果李明同学骑车速度是队伍步行速度的2.5倍．求骑车与步行的速度各是多少？ 22.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等． （1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？ 23.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 24.某商场用8000元购进了一批衬衣，上市后供不应求，该商场又用17600元购进了第二批这种衬衣，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元． （1）求第二批进货的单价是多少元； （2）若每件衬衣的标价都是100元，最后剩余的10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，该商场共盈利多少元？ 25.甲、乙两同学从家到学校的距离之比是10：7，甲同学的家与学校的距离为3000米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙骑自行车速度的2倍，甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． （1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？ （2）求乙骑自行车的速度． 26.某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务． （1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？ （2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？ 27.A城市到B城市铁路里程是300千米，若旅客从A城市到B城市可选择高铁和动车两种交通工具，高铁速度是动车速度的1.5倍，时间相差30分钟，求高铁的速度． 28.某商店准备销售甲、乙两种商品共 80 件，已知 2 件甲种商品 与 3 件乙种商品的销售利润相同，3 件甲种商品比 2 件乙商品的销售利润多 150 元。每件甲种商品与每件乙种商品的销售利润各多少元？ 五、方程与不等式综合 1.益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 A B 原运费 45 25 现运费 30 20 （1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？ （2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 2.某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润＝销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 3. 威丽商场销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元. (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？ (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？ 4．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元. （1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ 5. 某商店准备销售甲、乙两种商品共 80 件，已知 2 件甲种商品 与 3 件乙种商品的销售利润相同，3 件甲种商品比 2 件乙商品的销售利润多 150 元。 （1）每件甲种商品与每件乙种商品的销售利润各多少元？ （2）若甲、乙两种商品的销售总利润不低于 6600 元，则至少销售甲种商品多少件？ 6.某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足球的进价是第一次进价的1.2倍，且数量比第一次少了10个． （1）求第一次每个足球的进价是多少元？ （2）若第二次进货后按150元/个的价格销售，当售出10个后，根据市场情况，商店决定对剩余的足球全部按同一标准一次性打折售完，但要求这次的利润不少于450元，问该商店最低可打几折销售？ 7.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元． （1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？ 8.某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示． 价格/类型 A型 B型 进价(元/盏) 40 65 售价(元/盏) 60 100 (1)若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？ (2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？ 9. 某县政府打算用25000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款． （1）问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台？ （2）由于国家出台“家电下乡”惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买两台冰箱？谈谈你的想法． 10.某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等． （1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ （2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？ （3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？ 11.“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元． （1）求第一批玩具每套的进价是多少元？ （2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？ 12.某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1 600万元． (1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天补助8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房补助？ 13.潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元． （1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？ 参考答案 一、解方程答案 1. 关于的方程与的解相同，则　　 A． B． C．2 D． 【答案】C． 2. 已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】B 2． 若方程组（m为常数）的解满足5x+3＝﹣y，则m＝　 　． 【答案】5． 3． 若方程组与方程组同解，则　 　． 【答案】9． 1． 2． 3． 4． 5． 解方程： 6． 解方程组：． 解：， ②-①得，4y=2，解得y=2， 把y=2代入①得，x-2=1，解得x=3， 故原方程组的解为． 7． 解方程组； 解：（1）②①，得：， 将代入①，得：，解得， 则方程组的解为. 8. 解方程组： 4． 5． 6． 7． 8． 方程的解是( ) A． B． C． D． 【答案】A 9． 方程=45的解是__________． 【答案】x=4 10． 方程的解为______ ． 【答案】 11． 解方程：. 解：方程的两边同乘（x－3）， 得：3－x＝x－3， 解得： x＝3， 检验：把x=3代入（x－3）＝0，x＝3是原方程的增根． 即原方程无解． 12． 解方程： 解：方程的两边同乘， 得：， 化简得： 解得： x＝-3， 检验：把x=-3代入 所以，x＝-3是原方程的解． 13． 解分式方程： 解：方程的两边同乘， 得： 解得： x＝4， 检验：把x=4代入 所以x＝4是原方程的解． 14． 解方程： 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 解方程 17. 解方程： 18. 解方程（公式法）： 19. 解方程：x2﹣3x+2＝0． 解：∵x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 20. 解方程：3x2+x﹣4＝0 解：（3x+4）（x﹣1）＝0， 3x+4＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣，x2＝1． 二、解不等式答案 1．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） 0 1 2 A． 1 2 0 B． 0 1 2 C． 1 2 0 D． 【答案】B 3.不等式3x﹣1≥x+3的解集是（　　） A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2 【分析】根据解不等式的步骤：①移项；②合并同类项；③化系数为1即可得． 【解答】解：移项，得：3x﹣x≥3+1， 合并同类项，得：2x≥4， 系数化为1，得：x≥2， 故选：D． 4.不等式组的解集是　﹣3＜x≤1　． 【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x＞﹣3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解①得x≤1， 解②得x＞﹣3， 所以不等式组的解集为﹣3＜x≤1． 故答案为﹣3＜x≤1． 5. 若方程组（m为常数）的解满足5x+3＝﹣y，则m＝　5　． 【分析】方程组两方程相加表示出5x+y，结合已知方程得出关于m的方程，计算即可求出m的值． 【解答】解：将方程组两个方程相加可得10x+2y＝﹣1﹣m， 两边都除以2，得：5x+y＝， ∵5x+3＝﹣y， ∴5x+y＝﹣3， ∴＝﹣3， 解得：m＝5， 故答案为：5． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质得出2（5x+y）＝2×是解题关键． 6.不等式组 的解集为　 　 【答案】 7.不等式组的解集是　　 【答案】4/5＜x小于8 8.不等式组的解集为_________. 【答案】 【解析】分别解不等式，找出解集的公共部分即可. 详解： 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为 故答案为 点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可. 9.不等式2+3≥x+1，的解集是_____ 【答案】x≤4． 【解析】移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】2+3≥x+1，﹣x≥1﹣2﹣3，﹣x≥﹣4，∴x≤4，故答案为x≤4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 10.不等式组 的解集是　　　　　　． 【答案】1≤x<4 11. 不等式组 的解集是__________ 【答案】1﹤x≤2 12.解不等式组： 【解析】解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集是. 13.解不等式组：，并将不等式组的自然数解在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出自然数解即可． 【解答】解：， 由①得：x≥﹣1， 由②得：x≤2， 则不等式组的解集为﹣1≤x≤2，即自然数解为0，1，2． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】原不等式组的解集是：，这个不等式组的解集在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即可. 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，解得：， ∴原不等式组的解集是：， ∴这个不等式组的解集在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 三、一元二次根的判别式答案 一、选择题 1.若关于x的方程x2+x﹣a0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2 【分析】根据判别式的意义得到△＝12﹣4（﹣a）＞0，然后解一元一次不等式即可． 【解答】解：根据题意得△＝12﹣4（﹣a）＞0， 解得a＞2． 故选：C． 2.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m． 故选：A． 3.关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案． 【解答】解： ∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0， 解得a＞﹣1且a≠0， 故选：B． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 4. 已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（ D ） A. B. C. D. 5.关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≤﹣ B. k≤﹣且k≠0 C. k≥﹣ D. k≥﹣且k≠0 【答案】D 【解析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根， ∴△＝b2﹣4ac≥0， 即：9+4k≥0， 解得：k≥﹣ ， ∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0， 则k的取值范围是k≥﹣且k≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何判定一元二次方程根的情况． 6. 已知一元二次方程ax2+ax﹣4＝0有一个根是﹣2，则a值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】：将x=－2代入方程即可求出a的值． 详解：将x=－2代入可得：4a－2a－4=0， 解得：a=2，故选C． 点睛：本题主要考查的是解一元一次方程，属于基础题型．解方程的一般方法的掌握是解题的关键． 7.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为 　　 A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】把代入方程得，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得，解得，， 而，所以k的值为．故选：B． 【点睛】考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了一元二次方程的定义． 8.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据根的判别式<0，直接将各方程系数代入公式计算并比较计算结果与0的大小即可得答案. 【详解】A.中，=4>0，故方程有两个不相等的实数根， B.中，=42-4×（-1）=20>0，故方程有两个不相等的实数根， C. 中，=(-4)2-4×2×3=-8<0，故方程没有实数根， D.中，=(-5)2-4×3×2=1>0，故方程有两个不相等的实数根， 故选C. 【点睛】此题考查了一元二次方程根判别式，当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程没有实数根. 9.若关于x的方程(x＋1)2=1－k没有实根，则k的取值范围是(    )．  A．k＜1  B．k＜－1  C．k≥1  D．k＞1 【答案】D 10.如果2是方程的一个根，则常数k的值为(    ) A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值． 【详解】解：∵2是一元二次方程的一个根， ∴22-3×2＋k＝0， 解得，k＝2． 故选B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 11.若方程x2﹣4x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】根据判别式意义得到△=（-4）2-4c>0，求出c的取值范围，再从选项中选答案即可． 【详解】由题意得△=b2﹣4ac=（-4）2﹣4c＞0， 解得：c＜4， 观察只有选项D符合， 故选D． 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 12.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2 【答案】C 13.关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D． 【答案】B 14.若一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相同的实数根， ∴△=16-4m＞0 解得m＜4． 故选：D． 【点评】计算根的判别式△，由题意得不等式，求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，题目比较简单，根的判别式△=b2-4ac． 二、填空题 15.已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m=_____． 【答案】 【解析】利用判别式的意义得到△=32-4m=0，然后解关于m的方程即可， 详解：根据题意得△=32-4m=0， 解得m=． 故答案为． 点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 16.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜﹣1． 【解析】由题意得 ， 即 ， 解之得 17.已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 【答案】m，n为不等于零的任意实数 18.当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程． 【答案】－2 【解析】由 得 ,又∵ ， ， . 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程不但要使未知数的指数等于2，还要保证二次项系数不等于零. 19.若关于x的方程x2+mx+2＝0的一个根是1，则m的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】根据题意把x=1代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得. 【详解】把x=1代入方程x2+mx+2=0，得 1+m+2=0， 解得：m=﹣3， 故答案为﹣3. 20当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．. 【答案】两个不相等的 21.若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 【答案】b2-c2+a2=0 四、方程应用第一问（基础）答案 1.哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 2. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A．100（1﹣x）＝121 B．100（1+x）＝121 C．100（1﹣x）2＝121 D．100（1+x）2＝121 【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程． 【解答】解：设平均每次提价的百分率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝121， 故选：D． 3.若关于x的分式方程+3＝无解，则实数m＝　 　． 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【解答】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）＝mx， 整理，得（m﹣3）x＝4， 当整式方程无解时，m﹣3＝0，m＝3； 当整式方程的解为分式方程的增根时，x＝1， ∴m﹣3＝4，m＝7， ∴m的值为3或7． 故答案为3或7． 【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 4.四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元 （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【分析】（1）设第二天、第三天的增长率为x，则第三天的捐款数量为10000（1+x）2元，根据第三天的捐款数量为12100元建立方程求出x的值即可； （2）第四天该单位能收到捐款＝×（1+x）进行计算即可． 【解答】解：（1）设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得 10000（1+x）2＝12100， 解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去）． 则x＝0.1＝10%． 答：捐款增长率为10%； （2）第四天收到的捐款为12100×（1+10%）＝13310（元）． 答：第四天该单位能收到13310元捐款． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 5.益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 A B 原运费 45 25 现运费 30 20 求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？ 【分析】设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【解答】解：设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件， 根据题意得：， 解得：， 答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件， 6.（7分）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润＝销售价格﹣进货价格） 【分析】首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可。 【解答】解：设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元。 7.威丽商场销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？ 【答案】解：设每件A商品利润为x元，每件B商品利润为y元，依题意得： 答：每件A商品利润为200元，每件B商品利润为100元 8.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？ 【答案】解：设篮球、足球各买了，个，根据题意，得 解得 ∴篮球、足球各买了20个，40个. 9.某商店准备销售甲、乙两种商品共 80 件，已知 2 件甲种商品 与 3 件乙种商品的销售利润相同，3 件甲种商品比 2 件乙商品的销售利润多 150 元。每件甲种商品与每件乙种商品的销售利润各多少元？ 【答案】解：设每件甲种商品的销售利润x元，每件乙种商品的销售利润y元， 由题意得，， 解得：， 答：每件甲种商品的销售利润90元，每件乙种商品的销售利润60元。 10. 某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足球的进价是第一次进价的1.2倍，且数量比第一次少了10个．求第一次每个足球的进价是多少元？ 【答案】 【分析】设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，根据数量关系：第一次购进足球的数量﹣10个＝第二次购进足球的数量，可得分式方程，然后求解即可； 【详解】设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元， 根据题意得，＝10， 解得：x＝100， 经检验：x＝100是原方程的根， 答：第一次每个足球的进价是100元。 11.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ 【答案】购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元． 【解析】先设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，根据购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元列出方程组，求出x，y的值即可； 【详解】设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元； 12.某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示． 价格/类型 A型 B型 进价(元/盏) 40 65 售价(元/盏) 60 100 若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？ 【答案】购进A型台灯30盏，则购进B型台灯20盏． 【解析】首先设购进A种新型节能台灯x盏，B种新型节能台灯50-x盏，由这批台灯共用去2500元，这一等量关系列出方程求解； 详解：设购进A种新型节能台灯x盏，B种新型节能台灯50-x盏，由题意得： 40x+（50-x）×65=2500， 40x+3250-65x=2500， 25x=750， x=30； 50-x=50-30=20（盏）。 13. 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元；若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，则共需185元A，B两种跳绳的单价各是多少？ 【答案】A种跳绳的单价为22元/根，B种跳绳的单价为25元/根． 【解析】设A种跳绳的单价为x元/根，B种跳绳的单价为y元/根，根据“购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，共需395元；购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设A种跳绳的单价为x元/根，B种跳绳的单价为y元/根， 依题意，得： ， 解得： ． 答：A种跳绳的单价为22元/根，B种跳绳的单价为25元/根． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14. 某县政府打算用25000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款．问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台？ 【答案】解：设原计划购买彩电台，冰箱台，根据题意，得 化简得： 由于均为正整数，解得 答：原计划购买彩电8台和冰箱5台。 【解析】应先找出等量关系列出方程求解．本题的等量关系为“计划恰好全部用完此款”． 15. 某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 【答案】（孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分． 【解析】分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出等式求出答案． 试题解析：设孔明同学测试成绩为x分，平时成绩为y分，依题意得：，解之得：． 答：孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分； 16.“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．求第一批玩具每套的进价是多少元？ 【解答】解：设第一批玩具每套的进价是x元， ×1.5=， x=50， 经检验x=50是分式方程的解，符合题意． 答：第一批玩具每套的进价是50元。 17.某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1 600万元．从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ 【答案】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意， 得1 280(1＋x)2＝1 280＋1 600， 解得：x＝0.5或x＝－2.5(舍)． 答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. 18.潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？ 【分析】设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶，根据单价＝总价÷数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵10元，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论。 【解答】解：设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶， 根据题意得：﹣＝10， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意， ∴2x+x＝2×200+200＝600． 答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 19.学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？ 【分析】设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据“若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人， 根据题意得：， 解得：． 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人． 20. 2017年3月20日，某服装厂为一学校新生生产校服，要求在9月1日前一定要完成，且在规定时间内要完成生产服装3200套，在加工了200套后，厂家把工作效率提高到原来的2倍，于是提前15天完成任务，求该服装厂原来每天生产多少套校服． 【答案】解：设该服装厂原来每天生产x套校服，则提高效率后每天生2产x套校服， 由题意得，﹣（+）=15， 解得，x=100， 经检验，x=100是方程的解， 答：设该服装厂原来每天生产100套校服． 21. 某校九年级（2）班的师生步行到距离10千米的山区植树，出发1.5小时后，李明同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果李明同学骑车速度是队伍步行速度的2.5倍．求骑车与步行的速度各是多少？ 【答案】解：（1）设步行的速度为x千米/时，则骑车的速度是千米/时， 根据题意得．　　　　　　　　　　　　 解得　， 检验　都是原方程的解，[来源:Z|xx|k.Com] 当x＝4时，2.5x＝10． 　 答：队伍步行的速度是每小时4千米，李明骑车的速度是每小时10千米． 22.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等． （1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？ 【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量＝总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条， 根据题意得：， 解得：x＝35， 经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣9＝26． 答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条． （2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片， 根据题意得：26a+35（200﹣a）＝6280， 解得：a＝80． 答：购买了80条A型芯片． 23.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论； （2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b， ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80． 当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33． 答：当天该水果的销售量为33千克． （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 解得：x1＝35，x2＝25． ∵20≤x≤32， ∴x＝25． 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24.某商场用8000元购进了一批衬衣，上市后供不应求，该商场又用17600元购进了第二批这种衬衣，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元． （1）求第二批进货的单价是多少元； （2）若每件衬衣的标价都是100元，最后剩余的10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，该商场共盈利多少元？ 【答案】（1）解：设第二批进货的单价是元，则第一批的单价是元 经检验：是原方程的解 答：第二批进货的单价是88元 （2）第一批数量：；第二批数量：； 元 答：该商场共盈利4200元 25.甲、乙两同学从家到学校的距离之比是10：7，甲同学的家与学校的距离为3000米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙骑自行车速度的2倍，甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． （1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？ （2）求乙骑自行车的速度． 【答案】（1）乙同学的家与学校的距离为2100米；（2）乙骑自行车的速度为300米/分． 【解析】(1)根据甲、乙两同学从家到学校的距离之比是10∶7,甲同学的家与学校的距离为3000米,即可求出乙同学的家与学校的距离;  (2)设乙骑自行车的速度为x米/分,则公交车的速度是2x米/分,根据甲乙两同学同时从家发去学校,结果甲同学比乙同学早到2分钟列方程即可得到结论. 本题解析：（1）∵甲、乙两同学从家到学校的距离之比是10：7，甲同学的家与学校的距离为3000米， ∴乙同学的家与学校的距离=3000×=2100（米）． 答：乙同学的家与学校的距离为2100米； （2）设乙骑自行车的速度为x米/分，则公交车的速度为2x米/分． 依题意得：﹣=2， 解得：x=300， 经检验，x=300是方程的根． 答：乙骑自行车的速度为300米/分． 26.（7分）（2016•广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务． （1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？ （2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？ 【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米， 可得：， 解得：x＝100， 经检验x＝100是原方程的解， 答：原计划每天修建道路100米； （2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%， 可得：， 解得：y＝20， 经检验y＝20是原方程的解， 答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十． 27.A城市到B城市铁路里程是300千米，若旅客从A城市到B城市可选择高铁和动车两种交通工具，高铁速度是动车速度的1.5倍，时间相差30分钟，求高铁的速度． 【答案】解：设动车速度为x公里/小时，则高铁速度为1.5x公里/小时， 依题意，得：-=， 解得：x=200， 经检验，x=200是原分式方程的根，且符合题意， ∴1.5x=300． 答：高铁速度为300公里/小时． 【解析】设动车速度为x公里/小时，则高铁速度为1.5x公里/小时，根据时间=路程÷速度结合乘坐高铁比动车节省30分钟（小时），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 28.某商店准备销售甲、乙两种商品共 80 件，已知 2 件甲种商品 与 3 件乙种商品的销售利润相同，3 件甲种商品比 2 件乙商品的销售利润多 150 元。每件甲种商品与每件乙种商品的销售利润各多少元？ 【解答】解：设每件甲种商品的销售利润x元，每件乙种商品的销售利润y元， 由题意得，， 解得：， 答：每件甲种商品的销售利润90元，每件乙种商品的销售利润60元。 五、方程与不等式综合答案 1.益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 A B 原运费 45 25 现运费 30 20 （1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？ （2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 【分析】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可， （2）设增加m件A产品，则增加了（8﹣m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表列出W关于m的一次函数，再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案． 【解答】解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件， 根据题意得：， 解得：， 答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件， （2）设增加m件A产品，则增加了（8﹣m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元， 增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8﹣m）＝（38﹣m）件， 根据题意得：W＝30（10+m）+20（38﹣m）＝10m+1060， 由题意得：38﹣m≤2（10+m）， 解得：m≥6， 即6≤m≤8， ∵一次函数W随m的增大而增大 ∴当m＝6时，W最小＝1120， 答：产品件数增加后，每次运费最少需要1120元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组，（2）根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值． 2.某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润＝销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可． 【解答】解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元； （2）设购进A型计算器a台，则购进B型计算器：（70﹣a）台， 则30a+40（70﹣a）≤2500， 解得：a≥30， 答：最少需要购进A型号的计算器30台． 3. 威丽商场销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元. (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？ (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？ 【答案】解：（1）设每件A商品利润为x元，每件B商品利润为y元，依题意得： 答：每件A商品利润为200元，每件B商品利润为100元. （2）设购进A商品件，依题意得：[来源:Zxxk.Com] 解之得： 答：至少要购进6件A商品. 4．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元. （1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ 【答案】 解：（1）设篮球、足球各买了，个，根据题意，得 解得 ∴篮球、足球各买了20个，40个. （2）设购买了个篮球， 根据题意，得 . 解得. ∴最多可购买篮球32个. 5. 某商店准备销售甲、乙两种商品共 80 件，已知 2 件甲种商品 与 3 件乙种商品的销售利润相同，3 件甲种商品比 2 件乙商品的销售利润多 150 元。 （1）每件甲种商品与每件乙种商品的销售利润各多少元？ （2）若甲、乙两种商品的销售总利润不低于 6600 元，则至少销售甲种商品多少件？ 【答案】解：（1）设每件甲种商品的销售利润x元，每件乙种商品的销售利润y元 由题意得，， 解得：， 答：每件甲种商品的销售利润90元，每件乙种商品的销售利润60元； （2）设销售甲种商品m件，则销售乙种商品（80﹣m）件， 由题意得，， 解得：m≤， 答：至少销售甲种商品60件． 6.某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足球的进价是第一次进价的1.2倍，且数量比第一次少了10个． （1）求第一次每个足球的进价是多少元？ （2）若第二次进货后按150元/个的价格销售，当售出10个后，根据市场情况，商店决定对剩余的足球全部按同一标准一次性打折售完，但要求这次的利润不少于450元，问该商店最低可打几折销售？ 【答案】(1) ;(2) 7.5折 【解析】（1）设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，根据数量关系：第一次购进足球的数量﹣10个＝第二次购进足球的数量，可得分式方程，然后求解即可； （2）设商店对剩余的足球按同一标准一次性打a折销售时，可使利润不少于450元．先根据（1）中求得的数得到第二次购进足球的数量和价格，再根据数量关系：第一次销售完10个获得的利润+第二次打折销售完足球获得的利润≥450元，列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】（1）设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元， 根据题意得，＝10， 解得：x＝100， 经检验：x＝100是原方程的根， 答：第一次每个足球的进价是100元； （2）设该商店最低可打a折销售， 根据题意得，150×10+（﹣10）×150×﹣3600≥450， 解得：a＝7.5 答：该商店最低可打7.5折销售． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式的应用，关键是理解题意，第一问以数量作为等量关系列方程求解，第二问以利润作为不等量关系列不等式求解． 7.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元． （1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？ 【答案】（1）购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；（2）购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱． 【解析】（1）先设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，根据购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元列出方程组，求出x，y的值即可； （2）先设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台，根据台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍列出不等式，求出a的取值范围，再设总费用为w元，根据一台电子白板和一台台式电脑的价格列出w与a的函数解析式，根据一次函数的性质，即可得出最省钱的方案． 【详解】（1）设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元； （2）设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台， 根据题意得：24﹣a≤3a， 解得：a≥6， 设总费用为w元，则w＝9000a+3000（24﹣a）＝6000a+72000， ∵6000＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴a＝6时，w有最小值． 答：购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱． 8.某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示． 价格/类型 A型 B型 进价(元/盏) 40 65 售价(元/盏) 60 100 (1)若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？ (2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？ 【答案】（1）购进A型台灯30盏，则购进B型台灯20盏；（2）至少需购进B种台灯27盏． 【解析】 分析：（1）首先设购进A种新型节能台灯x盏，B种新型节能台灯50-x盏，由这批台灯共用去2500元，这一等量关系列出方程求解； （2）设购进B种新型节能台灯a盏，则购进A种新型节能台灯（50-a）盏，由题意可得不等关系：a盏B种新型节能台灯的利润+（50-a）盏B种新型节能台灯的利润≥1400元，根据不等关系列出不等式，解可得答案． 详解：（1）设购进A种新型节能台灯x盏，B种新型节能台灯50-x盏，由题意得： 40x+（50-x）×65=2500， 40x+3250-65x=2500， 25x=750， x=30； 50-x=50-30=20（盏）； （2）设购进B种新型节能台灯a盏，则购进A种新型节能台灯（50-a）盏，由题意得： （100-65）a+（60-40）（50-a）≥1400， 解得：a≥26， 因为a表示整数，所以至少需购进B种台灯27盏， 答：至少需购进B种台灯27盏． 点睛：本题考查了利用一元一次方程的应用．方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 9. 某县政府打算用25000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款． （1）问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台？ （2）由于国家出台“家电下乡”惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买两台冰箱？谈谈你的想法． 【答案】解：（1）设原计划购买彩电台，冰箱台，根据题意，得 化简得： 由于均为正整数，解得 （2）该批家电可获财政补贴为 由于多买的冰箱也可获得13%的财政补贴，实际负担为总价的87%． ∴可多买两台冰箱． 答：（1）原计划购买彩电8台和冰箱5台； （2）能多购买两台冰箱．我的想法：可以拿财政补贴款3250元，再借350元，先购买两台冰箱回来，再从总价3600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于归还借款，这样不会增加实际负担． 【解析】（1）应先找出等量关系列出方程求解．本题的等量关系为“计划恰好全部用完此款”． （2）“县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下”为此题的等量关系，列方程求解． 10.某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等． （1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ （2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？ （3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？ 【答案】（1）孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）不可能；（3）他的测试成绩应该至少为75分． 【解析】（1）分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出等式求出答案； （2）利用测试成绩占80%，平时成绩占20%，进而得出答案； （3）首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值． 试题解析：（1）设孔明同学测试成绩为x分，平时成绩为y分，依题意得：，解之得：． 答：孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分； （2）由题意可得：80﹣70×80%=24，24÷20%=120＞100，故不可能． （3）设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100×20%=20，设测试成绩为a分，根据题意可得：20+80%a≥80，解得：a≥75． 答：他的测试成绩应该至少为75分． 考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 11.“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元． （1）求第一批玩具每套的进价是多少元？ （2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？ 【解答】解：（1）设第一批玩具每套的进价是x元， ×1.5=， x=50， 经检验x=50是分式方程的解，符合题意． 答：第一批玩具每套的进价是50元； （2）设每套售价是y元， ×1.5=75（套）． 50y+75y﹣2500﹣4500≥（2500+4500）×25%， y≥70，[来源:Z+xx+k.Com] 答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是70元． 12.某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1 600万元． (1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天补助8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房补助？ 【答案】解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意， 得1 280(1＋x)2＝1 280＋1 600， 解得：x＝0.5或x＝－2.5(舍)． 答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. (2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房补助，根据题意， 得1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000， 解得a≥1 900. 答：今年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房补助． 13.潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元． （1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？ 【分析】（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶，根据单价＝总价÷数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵10元，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）设每千克茶叶售价y元，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶， 根据题意得：﹣＝10， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意， ∴2x+x＝2×200+200＝600． 答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克． （2）设每千克茶叶售价y元， 根据题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%， 解得：y≥200． 答：每千克茶叶的售价至少是200元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量之间的关系，找出关于y的一元一次不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $$