5.4.2 多边形的外角和 课件 　2023—2024学年 鲁教版（五四制）数学八年级上册

第5章 平行四边形 5.4 多边形的内角和与外角和 第2课时 多边形的外角和 多边形的外角和 多边形内角和与外角和的关系 学习目标 三角形的外角和是多少？ 回顾与思考 课时导入 如图，小刚沿一个五边形广场 周围的小路，按逆时针方向跑步. (1)小刚每从一条小路转到下一条 小路时， 跑步方向改变的角是 哪个角？在图上标出这些角. (2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多、少？ 课时导入 小刚是这样思考的：如图， 跑步方向改变的角分别是∠l， ∠2，∠3，∠4，∠5. ∵∠1＋∠EAB＝180°， ∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°， ∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°， 知识点 多边形的外角和 1 感悟新知 ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD ＋∠4＋∠CDE ＋∠5＋∠DEA＝900°. ∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， 即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA ＝540°. ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°. 你的思路与小刚一样吗？与同伴交流. 感悟新知 想一想 如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样? 感悟新知 1.定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 2.定理：多边形的外角和都等于360°. 感悟新知 特别解读 1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. 2. 多边形的外角和恒等于360°，与边数多少无关. 感悟新知 例1 由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角． 导引： 已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数． 感悟新知 设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别为2x°， 3x°，4x°. 根据四边形外角和等于360°， 得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°. 所以x°＝36°，2x°＝72°， 3x°＝108°，4x°＝144°. 所以四边形各外角的度数分别为 36°，72°，108°，144°. 解： 感悟新知 归纳 (1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：各个外角的和(如本例)或边数×正多边形每个外角的度数，再说明它们等于360°，即可求出； (2)由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问题也可以转化为外角问题来解决． 感悟新知 五边形的外角和等于(　　) A．180° B．360° C．540° D．720° 已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是(　　) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 B B 1. 2. 感悟新知 3. 如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是(　　) A．140 m B．150 m C．160 m D．240 m B 感悟新知 4. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的大小关系是(　　) A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．b＝a＋180° B 感悟新知 多边形的内(外)角和与边数间的关系： (1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加． (2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关， 其作用是： ①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数； ②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数． 知识点 多边形内角和与外角和的关系 2 感悟新知 例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 设这个多边形是n边形， 则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于 360°. 根据题意，得 (n－2)·180°＝3×360°. 解得n＝8. 所以，这个多边形是八边形. 解： 感悟新知 例3 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A点时，他一共走了________． 120 m 感悟新知 由题意知，当小亮第一次回到出发地A点时，所走过的路线构成一个边长为10 m，每个外角都是30°的正多边形．由多边形的外角和定理知这个多边形的边数是360°÷30°＝12，所以小亮一共走了120 m. 导引： 感悟新知 归纳 本题运用了建模思想，从“转弯”的实际问题中抽象出正多边形的数学问题是解题的关键，然后利用多边形外角和定理进行解答． 感悟新知 1. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？ 设它是n边形，根据题意， 得(n－2)×180°＝360°×2，解得n＝6， 所以它是六边形.360°×2÷6＝120°， 所以如果这个多边形的每个内角都相等， 那么每个内角等于120°. 解： 感悟新知 2. 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 感悟新知 3. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 C 感悟新知 4. 如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 C 感悟新知 5. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 C 感悟新知 练点 多边形的外角和 1. [2023·北京]正十二边形的外角和为(　C　) A. 30° B. 150° C. 360° D. 1 800° C 随堂检测 演练提升 2. [情境题·革命传统]八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正 八边形.那么正八边形的一个外角的大小为(　A　) A. 45° B. 60° C. 135° D. 150° A 随堂检测 演练提升 3. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ ABC 与四 边形 BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是 (　A　) A. α－β＝0 B. α－β＜0 C. α－β＞0 D. 无法比较α与β的大小 A 随堂检测 演练提升 1.多边形的外角和为360°. 2.多边形的内(外)角和与边数间的关系： (1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加． (2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其 作用是：①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数； ②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数． 课堂小结 结构导图 必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题 作业1 作业2 课后作业 $$