5.4.1 多边形的内角和 课件　2023—2024学年 鲁教版（五四制）数学八年级上册

第5章 平行四边形 5.4 多边形的内角和与外角和 第1课时 多边形的内角和 多边形的内角和 正多边形的内角和 学习目标 三角形的内角和是多少？ 回顾与思考 课时导入 思考 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、 长方形的内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形 的内角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形内角 和定理证明四边形的内角和等于360°吗？ 知识点 多边形的内角和 1 感悟新知 任意四边形的内角和等于多少度？ 你是怎样得到的？ A B C D 感悟新知 A B C D 2×180 º =360 º 4×180 º－360º =360 º 四边形的内角和是360º 3×180 º－180º =360 º A B C D A B C D E P 感悟新知 多边形 的边数 图形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的内角和 3 4 5 6 …… …… …… …… …… n (n－2)×180º 4× 180º 2× 180º 3× 180º 1× 180º 0 1 1 2 2 3 3 4 n－3 n－2 感悟新知 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3) 条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形 的内角和等于180°×(n － 2). 把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边 形内角和公式吗？ 感悟新知 特别解读 1. 由n 边形的内角和公式（n-2）·180°可知，n边形的内角和一定是180°的整数倍. 2. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 感悟新知 例1 ∵四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°， ∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D) ＝360°－280° ＝80°. 导引： 在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数是(　　) A．80° B．90° C．170° D．20° A 感悟新知 归纳 已知边数求内角和，可直接代入内角和公式： n边形内角和等于(n－2)×180°求解． 感悟新知 例2 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°. ∠B 与∠D有怎样的关系? 解： ∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝(4－2)×180°＝360°， ∴∠B＋∠D ＝360°－(∠A＋∠C) ＝360°－180°＝180°. 感悟新知 归纳 如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补. 感悟新知 1. 内角和为540°的多边形是(　　)　　　 C 感悟新知 2. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④　　　 B 感悟新知 将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是(　　) A．360° B．540° C．720° D．900° D 3. 感悟新知 将一个n边形变成(n＋1)边形，则内角和将(　　) A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360° C 4. 感悟新知 5. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边形对角线的条数是(　　) A．27 B．35 C．44 D．54 C 感悟新知 6. 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是(　　) A．10　　　 B．11　　　 C．12　　 D．以上都有可能 D 感悟新知 想一想 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ 知识点 正多边形的内角和 2 感悟新知 议一议 剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？ 这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流. 感悟新知 例3 正n边形的每个内角的度数为 若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是________． 设这个多边形的边数为n，由题意知，(n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9. 导引： 9 ×180 ° 感悟新知 归纳 (1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程求出n，即得多边形的边数； (2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解方程求出n，即得多边形的边数． 感悟新知 例4 如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数. 要求不规则图形的各个角的度数和，就是想办法在不规则图形中找规则图形，然后把不规则图形的角通过已学的相关知识(本例中三角形外角的性质)转移到规则的图形中去，即把所求的六个角的和转移到四边形BEFG中去． 导引： 感悟新知 在四边形BEFG中， ∵∠EBG＝∠C＋∠D， ∠BGF＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＝∠BGF＋∠EBG＋∠E＋∠F＝360°. 解： 感悟新知 归纳 (1)化不规则为规则是转化思想中一种常见的方法，它主要经历了两步：第一步找规则图形，第二步将不规则图形的角转化到规则图形中；关键是找规则图形．这类题一般有不同的解法，如本例还可以将四边形DEFH作为基础四边形，请读者自己完成其解法． (2)若图中没有已知的规则图形，则需通过作辅助线构造规则图形． 感悟新知 小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由. 不正确． 理由：假设是正n边形，由多边形的内角和定理，得(n－2)×180°＝n×145°， 解得n＝ ，不是整数，所以不正确． 解： 1. 感悟新知 2. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 B 感悟新知 3. 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是(　　) A．7 B．10 C．35 D．70 C 感悟新知 练点1 多边形的内角和 1. [新考向·传统文化]陕北剪纸兼备了我国北方剪纸的粗犷大 气、写意豪放和南方剪纸的工巧细致、写实秀美的特点， 某剪纸图案的外轮廓为八边形，则这个八边形的内角和为 (　C　) A. 720° B. 900° C. 1 080° D. 1 440° C 随堂检测 演练提升 2. [2024·济宁月考]一个多边形的内角和的度数可能是 (　B　) A. 1 700° B. 1 800° C. 1 900° D. 2 000° 【点拨】 n 边形的内角和为( n －2)×180°，即多边形的内角 和一定是180°的整数倍，A，C，D选项的度数不能被 180°整除，B选项的度数可被180°整除. B 随堂检测 演练提升 3. [母题·教材P145习题T2·2023·济宁]一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是 边形. 4. [2023·重庆]若七边形的内角中有一个角为100°，则其余 六个内角之和为 ⁠. 五　 800°　 随堂检测 演练提升 (1)正n边形的每个内角都相等，都等于 (2)n边形的内角和与边数有关，每增加一条边，内角 和就增加180°. (3)利用公式，已知n边形的边数可求内角和，同样已 知内角和也可求边数． ×180 ° 课堂小结 结构导图 必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题 作业1 作业2 课后作业 $$