18.2.2　菱形——菱形的性质定理及其应用复习讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册

菱形的性质定理及其应用复习讲义 题型 A 有关“性质定理论证型”的应用问题 知识点概述 (1)菱形定义——有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形性质定理： ① 平行四边形的一切性质菱形都具有； ② 菱形的四条边都相等； ③ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 【解说】 (1)菱形性质的主要特征表现在： ① 菱形的对角线互相垂直，各边都相等； ② 以对角线的交点为顶点有四个直角三角形； ③ 以各边为腰有四个等腰三角形； ④当菱形的一个内角为60°或120°时，等腰三角形中的两个变为等边三角形，直角三角形中的一个内角为30°. (2)菱形的线段、角度的解证问题就是在上述直角三角形或等腰(边)三角形中进行. (3)菱形的性质定理通过三角形全等都可以得到证明.证明的主要依据是菱形的定义. 【例1】 如图 8﹣2﹣25,已知四边形ABCD 是菱形,对角线、BD 交于点O.求证: (1) AB=BC=CD=DA; (2) AC⊥BD; (3)∠BAC=∠DAC,∠ABD=∠CBD. 【解析】 (1) 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AO=CO.又因为AB=BC(菱形定义),BO=BO,所以△ABO≌△CBO,所以AB=BC=CD=DA. (2)由(1)知△ABO≌△CBO,所以∠BOA=∠BOC,所以∠BOA=∠BOC=90°,所AC⊥BD. (3)由(1)知△ABO≌△CBO,所以∠ABO=∠CBO,即∠ABD=∠CBD.同理,BAC=∠DAC. 题型B 有关“性质定理求解型”的应用问题 知识点概述 这是一类已知四边形是菱形的基础求解问题. 【解说】 在有关菱形的计算型求解过程中，要充分利用菱形的性质，构造出直角三角形，必要时要构造出菱形，然后进行求解计算. 题型B--I 线段求解型问题 知识点概述 此类问题涉及菱形边长及对角线的求解. 【解说】 (1)充分利用菱形各边相等的性质； (2)菱形的两条对角线互相垂直平分，构造出直角三角形求解； (3)借助方程思想求解. 【例2】 如图8-2-26,在边长为2 的菱形ABCD 中, 点 E 为AB 的中点,点 F 是AC 上一动点,求EF+BF 的最小值. 【解析】 连接DB、DE,设DE 交AC 于点M,连接DF. 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC、BD 互相垂直平分，所以点B 关于AC 的对称点为D.则FD=FB,所以FE+FB=FE+FD≥DE,只有点 F 运动到点M 时,取等号. △ABD 中,AD=AB,∠DAB=60°, 所以△ABD 是等边三角形. 又因为 E 为AB 的中点,所以 DE⊥AB. 所以 所以EF+BF 的最小值为 题型B--2 周长求解型问题 【解说】 菱形周长=4×边长. 注意：此类问题较多地仍然是借助① 线段等量代换，②整体思想解之. 【例3】 如图8-2-27,在菱形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,E 为AB的中点，且 则菱形 ABCD 的周长为( ). A.16a B. 12a C. 8a D. 4a 【解析】 菱形对角线互相平分，四条边相等.在△BAD 中，因为=QD,EB=EA,由三角形中位线性质定理,可知AD=2OE=2a. ABCD 的周长为8a.故应选 C. 题型B﹣3 面积求解型问题 知识点概述 (1)菱形面积公式1: 对角线 l₁×对角线 (2)菱形面积公式2: 边长a×高 (3)菱形的面积关系公式： 【解说】 (1)公式1的系数是 而不是1，其理由可转化为以菱形的两条对角线构成四个全等的直角三角形证之. (2)有关菱形面积的等积变换是此类问题的一个重要内容，要引起重视. 【例4】(方程变换计算型问题) 如图8﹣2﹣28，O为矩形ABCD 的对角线的交点，过作EF⊥AC 分别交AD、BC 于点 F、E 若AB=2cm,BC=4 cm.求四边形 AECF 的 【解析】 因为四边形ABCD 是矩形,所以OA=OC,AD∥BC,所以∠FAO=∠ECO. 又因为∠AOF=∠COE,所以△AOF≌△COE,所以OE=OF.所以四边形 AECF 是平行四边形. 因为EF⊥AC,所以平行四边形AECF 是菱形.所以AE=EC.设AE=x,则CE=x,BE=4-x. 在 Rt△ABE 中, 即 解得x=2.5,即CE=2.5.所以、 .即四边形 AECF 的面积为 【例29】 (面积关系公式计算型问题) 如图8-2-29，两条同等宽,已知BC=80m,公路宽为 60 m,求交叉区 【解析】 先确定交叉区域图形的形状，然后再求其面积. 过点 A 作AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F. 因为AD∥BC,AB∥DC,所以四边形ABCD 是平行四边形. 由于AE=AF,又据菱形面积关系公式:BC·AE=CD·AF,所以BC=CD. 所以四边形ABCD 是菱形.因为AE=60m,BC=80 m, 所以 ，即交叉区域的面积为 题型B﹣4 角度求解型问题 【解说】 充分利用菱形的特性：内含直角三角形、等腰三角形解之. 注意：类同特殊 等)的等腰三角形角度的求解. 【例5】 如图8-2-30,在菱形ABCD 中, ∠BAE=20°,求∠CEF 的度数. 【解析】 因为四边形ABCD 是菱形,所以AB=BC. 又因为∠B=60°,所以△ABC是等边三角形, 所以∠BAC=∠ACB=60°. 又因为∠EAF=60°,所以∠BAE=∠CAF=20°. 在菱形ABCD 中,AB=AC,∠B=∠ACF=60°,所以. 所以AE=AF,所以△AEF 是等边三角形.所以∠AEF=60°. 又因为 所以∠CEF=∠AEC-∠AEF=80°-60°=20°. 题型 C 有关“性质定理证明型”的应用问题 知识点概述 这是一类已知四边形是菱形的基础证明问题. 【解说】 (1)首先需要借助菱形的性质，然后再依据题给其他条件做出正确推理. (2)此类问题常常需要借助三角形全等证之，但要充分利用菱形的性质，不要盲目利用“三角形全等法”，因为菱形的许多性质都是由三角形全等法导出的. 【例6】 如图8-2-31,在边长为a 的菱形ABCD 中, ,E 是AD 上异于A、D两点的动点,F 是CD上的动点,满足 AE+CF =a,说明:不论E、F 怎样移动,△BEF 总是正三角形. 【解析】 连接BD.因为四边形ABCD 是菱形,所以AD=AB. 又因为∠DAB=60°,所以△DAB 是等边三角形,所以AB=BD. 又因为DC∥AB,所以∠ADC=120°,∠BDC=60°. 又因为AE+CF=a=CF+DF,所以AE=DF. 在△ABE 和△DBF 中,AE=DF,∠A =∠FDB = 60°,AB=DB, 所以△ABE≌△DBF.所以BE=BF,∠ABE=∠DBF. 所以∠ABE+∠DBE=60°,所以∠DBF+∠DBE=60°,所以. 所以△BEF 是正三角形(一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形). 学科网（北京）股份有限公司 $$