2.4.2 解分式方程 课件 2023—2024学年 鲁教版（五四制）数学八年级上册

第2章 分式与分式方程 2.4 分式方程 第2课时 解分式方程 解分式方程 分式方程的根（解） 分式方程的增根 学习目标 解一元一次方程的一般步骤是什么？ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 回顾与思考 课时导入 什么是分式方程? 分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 那这类方程该如何解呢？ 这就是我们本节课要学习的内容. 课时导入 还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课 列出的分式方程 的解吗？ 化成一元一次方程来求解. 知识点 解分式方程 1 感悟新知 想一想： 解分式方程和解整式方程有什么区别？ 解分式方程的思路是： 分式方程 整式方程 去分母 感悟新知 1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. （转化思想） 2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根. 解分式方程的一般步骤： 感悟新知 特别解读 1.解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来. 2.解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. 感悟新知 特别解读 3. 对增根的理解： （1） 增根一定是分式方程转化为整式方程的解； （2） 若分式方程有增根， 则必是使最简公分母为0 时未知数的值. 感悟新知 例1 解方程 解： 方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2). 解这个方程，得x＝3. 检验：将x＝3代人原方程，得 左边＝1，右边＝1，左边＝右边. 所以，x＝3是原方程的根. 感悟新知 例2 解分式方程： (1) (2) 解分式方程的步骤： ①去分母，化分式方程为整式方程； ②解整式方程； ③检验，并写出原分式方程的根． 导引： 感悟新知 (1) 方程两边都乘以最简公分母(x＋2)(x－2)． 得x＋2(x－2)＝x＋2， 解这个方程，得x＝3. 经检验，x＝3是原分式方程的根． 解： 感悟新知 方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)， 得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3. 解得x＝1. 经检验，x＝1不是原分式方程的根， 所以原分式方程无解． 解： (2) 感悟新知 归纳 (1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母； (2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式方程必不可少的步骤． 感悟新知 1. 解方程： 方程两边都乘x(x－1)，得3x＝4(x－1)． 解这个方程，得x＝4. 检验：将x＝4代入原方程，得左边＝1＝右边． 所以，x＝4是原方程的根． 解： 感悟新知 方程两边都乘2x－3，得x－5＝4(2x－3)． 解这个方程，得x＝1. 检验：将x＝1代入原方程，得左边＝4＝右边． 所以，x＝1是原方程的根． 解： 感悟新知 2. 把分式方程 转化为一元一次方程时， 方程两边需同乘(　　) A．x　　 B．2x　 　 C．x＋4　 　 D．x(x＋4) D 感悟新知 3. 解分式方程 ，去分母得(　　) A．1－2(x－1)＝－3 　 B．1－2(x－1)＝3 C．1－2x－2＝－3 　 D．1－2x＋2＝3 A 感悟新知 4. 已知分式方程 　　　　　　　　 下列说法错误的是(　　) A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1) B. 方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程 2(x－1)＋3(x＋1)＝6 C．解B中的整式方程，得x＝1 D．原方程的解为x＝1 D 感悟新知 5. 分式方程 的解为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．无解 D．x＝－2 C 感悟新知 使分式方程两边相等的未知数的值是方程的解(根)，而分式方程的根要满足最简公分母不为0，否则，分母为零，则该方程无意义. 知识点 分式方程的根(解) 2 感悟新知 分式方程无解有两种情形： (1)分式方程化为整式方程后，所得的整式方程无解，则原分式方程无解； (2)分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但经检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解． 感悟新知 例3 已知关于x的方程 的根是x＝1，求a的值． 根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a 的分式方程，解所得分式方程即可得a的值． 导引： 把x＝1代入方程 解得a＝ 经检验，a＝ 是分式方程 的解． ∴a的值为 解： 感悟新知 归纳 根据方程的解构造方程，由于所构造的方程是分式方程，因此验根的步骤不可缺少． 感悟新知 1. 已知x＝3是分式方程 的解，那么实数k的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 D 感悟新知 2. 关于x的分式方程 有解，则字母a的取值范围是(　　) A．a＝5或a＝0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0 D 感悟新知 3. 若关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围是(　　) A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4 C 感悟新知 4.　关于x的分式方程 下列说法正确的是(　　) A．方程的解是x＝a－3 B．当a＞3时，方程的解是正数 C．当a＜3时，方程的解是负数 D．以上答案都正确 B 感悟新知 5. 若数a使关于x的分式方程 的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 A ≤ 感悟新知 议一议 在解方程 时，小亮的解法如下: 方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ). 解这个方程，得 x＝2. 你认为x＝2是原方程的根吗？与同伴交流. 知识点 分式方程的增根 3 感悟新知 归纳 在这里，x＝2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我 们称它为原方程的增根. 感悟新知 归纳 增根产生的原因： 对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根. 感悟新知 例4 解方程： 方程两边都乘2x，得 960－600＝90x. 解这个方程，得 x＝4. 经检验，x＝4是原方程的根. 解： 感悟新知 例5 已知关于x的分式方程 (1)若此方程有增根1，求a的值； (2)若此方程有增根，求a的值； (3)若此方程无解，求a的值． 感悟新知 (1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3. ∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1. (2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1. 又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1. ∴原分式方程的增根为1.∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1. 解： 感悟新知 (3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解， 则x(x－1)＝0，得x＝0或1. 把x＝0代入整式方程，a的值不存在； 把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1. 感悟新知 归纳 分式方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为：①把分式方程化为整式方程；②令最简公分母为0，求出未知数的值，这里要注意：必须验证未知数的值是否是整式方程的根，如本例中x＝0就不是整式方程的根；③把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值． 感悟新知 归纳 分式方程无解必须具备：最简公分母等于0或去分母后的整式方程无解． 感悟新知 1. 下列关于分式方程增根的说法正确的是(　　) A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B．分式方程的解为0就是增根 C．使分子的值为0的解就是增根 D．使最简公分母的值为0的解是增根 D 感悟新知 2. 关于x的分式方程 有增根，则m的值为(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 C 感悟新知 3. 若关于x的分式方程 有增根，则它的增根是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．1和－1 B 感悟新知 4. 关于x的方程 无解，则m的值为(　　) A．－5 B．－8 C．－2 D．5 A 感悟新知 练点1 分式方程的解法 1. [2023·大连]将方程 ＋3＝ 去分母，两边同乘 x －1 后的式子为(　B　) A. 1＋3＝3 x (1－ x ) B. 1＋3( x －1)＝－3 x C. x －1＋3＝－3 x D. 1＋3( x －1)＝3 x B 随堂检测 演练提升 2. [2024·日照期末]方程 的解为(　C　) A. x ＝1 B. x ＝－1 C. x ＝2 D. x ＝－2 C 随堂检测 演练提升 3. 已知关于 x 的方程 的解是 x ＝1，则 a 的值为 (　C　) A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 【点拨】 ∵关于 x 的方程 的解是 x ＝1，∴ ， 解得 a ＝－1. C 随堂检测 演练提升 解分式方程的一般步骤： (1)去分母：方程两边都乘以各分母的最简公分母，约去 分母，化为整式方程； (2)解这个整式方程，得到整式方程的根； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分 母不等于零的根是原分式方程的根，使最简公分母等 于零的根不是原分式方程的根； (4)写出分式方程的根． 课堂小结 结构导图 1．解方程： 解： 易错点：解分式方程后，忽略根的检验，未舍去增根 课堂小结 结构导图 解： 课堂小结 结构导图 易错总结： 分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根，有可能误将x＝2当成原分式方程的根． 课堂小结 结构导图 2． 易错点：讨论分式方程的解时，不考虑增根 课堂小结 结构导图 解： 方程两边都乘(x－2)(x＋3)，整理得5x＝k－3，解得x＝ 因为x＜0，所以 ＜0.解得k＜3. 又因为x≠2且x≠－3，即 ≠2且 ≠－3， 所以k≠13且k≠－12. 综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的解为负数． 课堂小结 结构导图 易错总结： 在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等于0. 课堂小结 结构导图 必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题 作业1 作业2 课后作业 $$