2.2.3基本不等式习题课学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§2.2.3利用基本不等式求最值的习题课学案 【学习目标】 （1） 能灵活运用基本不等式解答最值问题； （2） 通过两类典型问题的解答和反思总结，体会数学建模、数学运算、数学推理等核心素养及转化与划归思想，认识“解题回顾”的作用。 【学习过程】 1.学习准备 （1） 基本不等式的内容是什么？成立的条件与取“=”的条件是什么？ （2） 基本不等式的变形有哪些？他可以解决哪两类最值问题？ 2.学习探究 例1.已知a>0,则的最小值为（ ） [思维启迪]要是两项和取得最小值，和应满足什么条件？题中给出条件是否满足？怎样变换才能满足？ 解：生1：由基本不等式可知，当两正数积为定值和有最小值。但本题中两项之积不是定值，要是积为定值，则需将a变形构造出2a+1的式子。 当，即,取得最小值。 生2：可, 当。即,取得最小值 生3： 当,即,取得最小值 生4.设b=2a+1,则,原式= 当，即b=4,,取得最小值 [解题回顾]解决本题的关键是什么？这些解法用到了什么数学思想方法？是否能把它推广到一般形式？ 师：生1,2,3采用的是构造法，只是视角不同，生1,2着眼于第二项分母系数，生1着眼于第一项系数。生4采用的是换元法，他们体现一个共同的数学思想---转化与划归思想。即通过构造法与换元法将原式转化为基本不等式能解决最值问题， 基本数学模型：，） 变式练习：（1）函数的最小值为（ ） A.6 B.4 C.3 D.2 （2）函数的最小值在x=n取得，则n=____. (3)当时，不等式恒成立，求a的取值范围。 思考：比如在变式（1）中，呢？ 例2.已知a,b是正数，若2a+b=1,求的最小值。 [思维启迪]要求最小值，则需满足什么条件？如何利用题中给出条件构造所需条件？ 解： 生5：由已知a,b是正数，且2a+b=1，得 ，又因为 当，即,取得最小值8. 生6： 当，即,取得最小值8. [解题回顾]解决本题用到什么方法？还有其他解法吗？哪种解法具有一般性？若已知条件不变，改为求的最小值。你的解法还能用吗？ （由此明确两次使用基本不等式等号成立条件的一致性及通法） 师：“和与倒数和最值问题”通法是“1”的代换。 变式练习：（1）若正数x,y满足，则3x+4y的最小值是（ ） A. B. C.5 D.6 （2）已知且x+y=2xy,则x+4y的最小值为_____. （3）已知正数满足a+b=3,求的最小值。 例3：当时，求函数的最小值。 练习：当时，求函数最小值,并求此时的的值。 1. 学习反思 （1） 利用基本不等式求最值的条件是什么？能解决哪些问题？注意事项有哪些？ （2） 利用基本不等式求最值中有哪些数学思想方法? （3） 通过本节课的学习，你对基本不等式有何新的认识？有何体验与感悟？有哪些经验与教训？ 板书设计 课题 1. 基本不等式 2. 利用基本不等式求最值问题： 例1及变式： 例2及变式： 学科网（北京）股份有限公司 $$