2.2.2基本不等式的应用教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§2.2.2 基本不等式的应用 1、教学目标 结合具体实例，用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模素养。 2、教学重难点 重点：利用基本不等式求最值. 难点：基本不等式求最值． 3、教学过程 环节1：问题引入，探究新知 把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，哪种矩形面积最大？ 变式：若矩形面积为16，哪种矩形周长最小？ 师生活动:学生讨论后回答，教师鼓励学生对以上两个问题进行概括总结，师板书结论。 师板书：基本不等式解决的最值问题： 若x,y都是正数， （1）如果积xy等于定值,那么当x=y时，和; （2）如果和等于定值, 那么当时，积. 注：利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x，y一定要都是正数； (2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值； (3)等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”. 【设计意图】：以问题引领思考总结发现基本不等式解决的最值问题特点，并提供示范思考。 环节2：典例示范 应用新知 例1：(1) 用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? (2)用--段长为36m的篱笆围成--个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少? 追问（1）：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例中的两个问题属于这两类问题吗？怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解？ 师生活动：学生独立求解后，教师予以规范，并板书。 解:（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym,篱笆的长度为2(x+y)m. 由己知得xy=100. 由 可得 所以 当且仅当x=y=10时，上式等号成立，因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短。最短篱笆的长度为40m. (2)解法一:设矩形菜园的宽为xm， 则长为(36-2x)m,中0<x<,其 面积 当且仅当2x=36-2x, 即x=9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9m时菜园面积最大为81 解法二:设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xy 。 由可得xy≤81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81 （两个解法本质都是基本不等式，和定积最大，只不过一个用一个变量，一个用两个变量，其实解法一可以直接用二次函数求最值，让学生体会求最值的方法不仅仅有基本不等式） 【设计意图】：本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题，通过本例的教学，可以帮助学生理解如何利用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想。 例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 师生活动：学生独立阅读题目，理解题意后解答，教师可适当进行引导并板书示范解答。 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 【设计意图】：本题的背景更加复杂，需引导学生简化问题，再用基本不等式模型求解.进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学模型素养 问题：通过以上两个问题的解答，你能总结出应用基本不等式求解实际问题一般步骤吗？（设---列---解---答） 【设计意图】：通过梳理求解过程，使学生明确应用基本不等式求解实际问题的一般程序，查漏补缺。 环节3：变式练习 巩固新知 课堂练习：课本P48 1,2,3,4(根据学生情况选择练习） 1.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 解析：设折成的矩形相邻两边的边长为xcm，ycm，则2(x＋y)=20，x＋y=10. 折后矩形面积s =xy≤()2=25. 当且仅当，即x=y=5时，取等号. 综上，折成的矩形为边长为5的正方形时面积最大. 2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解析：设矩形菜园相邻的两边长分别为xm、ym，靠墙的一条边的边长为xm，则x＋2y=30. 矩形菜园的面积s=xy=≤()2=. 当且仅当，即时，取等号. 综上，当这个矩形的边长15m、m时，菜园的面积最大，最大面积是m2. 思考：“墙长18米”有什么用？ 答：限制题中的“x”. 师生活动：学生板演，师生点评 【设计意图】：通过学生独立求解，对新知进行巩固，并规范书写表达。 环节4：课堂小结 布置作业 你能说一说今天有什么收获吗？ 1.解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（数及不等式性质等)解决问题. 2.利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等” 作业布置：1.课本习题2-2 1,2,3,6 2.下一节的习题课学案 【设计意图】：通过课堂小结，提高学生语言表达能力，鼓励学生用自己的话表达，使得学生能掌握基本不等式的应用。通过课后作业，对基本不等式解决最值问题进行强化， 为下一节课做好准备。 板书设计 课题 一．基本不等式求最值问题： 二、应用基本不等式解决实际问题的一般步骤： 多媒体展示区 （例题1、2） 练习题解答区 学科网（北京）股份有限公司 $$