2.1.2不等式性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§2.1.2等式性质与不等式性质 1、教学目标：（1）梳理等式的基本性质，能从中归纳出等式基本性质中蕴含的思想方法。 （2）能类比等式的基本性质，猜想并证明不等式的基本性质，体会等式与不等式基本性质的共性与差异性。 （3）能利用不等式的基本性质，猜想并证明一些常用的不等式性质。 2、教学重点与难点： 教学重点：梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法，猜想和证明不等式的基本性质. 教学难点：梳理等式基本性质中蕴含的思想方法；猜想和证明不等式的基本性质；发现不等式的一些常用性质. 3、教学过程设计： 环节1：确定研究内容，明确研究方法 我们知道现实世界的大小关系包括相等关系与不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表示这两类关系。上节课我们提到，解方程要用等式性质，解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不等式性质. （点题） 既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质， 【设计意图】从单元整体入手构建研究路径，唤醒学生头脑中已有的相关知识，直接引入课题，明确学习任务。 环节2：梳理等式基本性质，归纳其中蕴含的数学思想方法 问题1：请你回忆一下等式都有哪些性质？ 师生活动：学生独立思考、回答并相互补充，说出等式的性质3、4、5，教师引导学生用严格的数学符号语言表达，并按照学生所说的顺序板书 追问1 这些性质有什么特性？ 师提醒学生注意“加、减、乘、除”能用一个什么词来概括它们 师生活动：学生在教师引导下，归纳出这些性质都是从运算的教度给出的，即等式两边加、减、乘、除同一个数或式（其中，除同一个非零的数或式），等式成立，教师总结：这些性质反映了等式在运算中保持的不变性，运算中的不变性就是性质. 追问2：我们知道，字母可以表示任意实数，因为减法、除法可以分别划归为加法、乘法。由此，请你进一步梳理这些性质，并说说哪些性质更为“基本” 师生活动：学生在教师引导下，梳理出不等式的基本性质 性质1 如果，那么. 性质2 如果，那么. 追问3：等式还有哪些其他性质？ 师生活动：教师引导学生梳理出在等式自身的特性：对称性及传递性 性质3 如果，那么. 性质4 如果，，那么. 然后教师说明：在研究数学对象的性质时，应该按照先研究数学对象自身具有的性质，在研究其其他性质的顺序，所以，我们把这些性质重新排序，即： 师板书： 性质1 如果，那么. 性质2 如果，，那么. 性质3 如果，那么. 性质4 如果，那么. 【设计意图】通过问题和追问，引导学生梳理等式的性质，探究并发现这些性质中蕴含的数学思想方法，提高学生从同类数学结论中归纳、概括数学思想方法的能力。对于性质1、2，学生并不知道它们是等式的重要性质，教学中采用教师直接讲解的方式，只要学生了解它们的本质和作用就可以了。让学生从“基本运算”的角度解释为什么这些性质是“基本性质”，可以为不等式基本性质探究奠定基础。 环节3:类比等式的基本性质，探究不等式的性质 问题2：类比等式的基本性质蕴含的“自身特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？ 师生活动：由学生独立思考后，表达猜想及提出证明方法. 【设计意图】类比等式的基本性质1,2，可以猜想不等式的基本性质1,2. 师板书： 2.不等式的基本性质 性质1 如果 ，那么；如果，那么.即.(对称性) 性质2 如果，，那么.即，.（传递性） 追问：如何证明性质1、2？ 师生活动：学生先尝试证明，教师可以从学生典型错误中进行分析，并给出示范证明. 【设计意图】性质1的证明是本节课的难点之一，该证明对其他性质证明有示范作用。教学中应使学生明确不等式性质的证明需要除了用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的一些基本事实，例如： （1） 正数大于非正数，负数小于非负数； （2） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； （3） 两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数； （4） 同号得正，异号得负等 问题3：类比等式基本性质3,4中蕴含的“运算中的不变性”的思想方法，你能猜想出不等式的哪些性质？能给出证明吗？ 师生活动：学生独立思考后交流讨论，教师进行点评完善学生证明的步骤、规范书写。 师板书：性质3 如果，那么.(可加性) 性质4 如果，，那么；如果，，那么.(可乘性) 追问1：你能用用文字语言表述这些性质吗？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对性质3进行解释吗？ 师生活动：通过教师展示,的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数的正负.教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题.　　 【设计意图】从不同角度表述不等式的性质，进而加深对不等式性质3的理解. 问题4：加法、乘法是数学的基本运算，因此上述四条性质是不等式的基本性质。你能比较一下不等式的基本性质与等式的基本性质，说说它们的共性与差异吗？ 师生活动：学生思考、交流后教师引导，得出两者的共性是都有“自身的特性”和“运算中的不变性、规律性”；差异性在于不等号是有方向性的而等号没有，在不等式两边乘以同一个数时需要分类讨论，在等式两边乘同一个数不需要分类讨论。 【设计意图】通过比较，进一步区分等式性质与不等式性质，为准确使用性质打下基础。 问题5：在不等式基本性质3中，不等式的两边同加同一个实数.如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？ 师生活动：先让学生独立思考，如果学生得不出结论，教师再进行启发提问。 追问：当不等式两边所加的数不同但有确定的大小关系时，例如在的两边分别加上c和d,且，这时a+c和b+d是否具有明确的大小关系呢？ 师生活动：学生在教师提示下得出猜想“性质5”师板书后可以让学生用文字语言表述，在此基础上启发学生给出多种证明方法。 【设计意图】不等式的性质比等式性质要丰富得多，先提出比较宏观的问题5，使学生体会从变化的观点发现和提出问题的方法，在通过“追问”进一步明确思考方向，帮助学生得出猜想，鼓励学生用不同的证明方法，是为了培养学生的代数推理能力。 师板书：性质5 如果，，那么.(同向可加性) 问题6：性质5的发现方法对你有什么启发？你能由此对性质4进行变式，得出类似结论吗？证明你的猜想。 师生活动：学生独立思考，提出各自猜想，教师引导学生验证，修正后得出“性质6”，并鼓励学生给出不同证明方法。 师板书： 性质6 如果，，那么.（同向同正可乘性） 追问:如果性质6中,，你有何新的结论？能否将此结论进行推广？ 师生活动：让学生体会从一般到特殊、特殊到一般的数学思想方法，得到常用结论. 板书7： 性质7 如果，那么().(可乘方性) 【设计意图】类比性质5得出过程，引导学生从性质4出发得出性质6和性质7，这个过程中可以让学生感受“类比”、“特殊化”“一般化”等思想方法在发现数学结论中的作用。在此过程中，学生的代数推理能力，发现和提出问题的能力都能得到培养。 环节4：应用性质证明问题，巩固加深性质的理解 例1：已知，，求证. 师生活动：教师引导学生分析所证不等式的特点，明确证明思路，由学生独立完成后教师点评，鼓励多种证明方法. 【设计意图】会利用不等式的性质来证明一些简单的不等式结论. 课堂练习：课本P42 1,2 师生活动：学生自主完成（两名学生板演），教师点评. 【设计意图】能够利用不等式的性质证明一些简单不等式的结论,并进行归纳推理. 环节5：课堂小结、布置作业 请从课题角度对本节课做以小结 【设计意图】设置开放性问题引导学生从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结. 作业布置：教材42页习题2.1 1.基础作业：第6，7题 2.提升作业：第8，10题 【设计意图】巩固本节课所学知识，使不同学生有不同发展. 板书设计 课题 1. 等式的基本性质 性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 2.不等式的基本性质 性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 性质5： 性质6： 性质7： 多媒体展示区 （问题及例题） 例题解答区 学科网（北京）股份有限公司 $$