1.2.1 直接提公因式法 课件 　　2023—2024学年 鲁教版（五四制）数学八年级上册

第1章 因式分解 1.2 提公因式法 第1课时 直接提公因式法 1 学习目标 2 课时导入 3 感悟新知 4 随堂检测 5 课堂小结 公因式 提公因式法 学习目标 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 . 二、整式乘法与分解因式之间的关系. 互为逆运算 回顾与思考 课时导入 多项式ab＋bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2＋x呢？多项式mb2＋nb－b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流. 知识点 公因式 1 感悟新知 公因式的定义： 一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这个多项式各项的公因式 . 感悟新知 特别解读 1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 只在某项或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分. 2. 公因式可以是单项式，也可以是多项式． 3. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式. 感悟新知 怎样确定多项式各项的公因式？ 系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂； 感悟新知 例1 指出下列多项式各项的公因式： (1)3a2y－3ya＋6y； (2) xy3－ x3y2； (3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3； (4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b. (1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y. (2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是 27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数 解： 感悟新知 是 ；两项都有x，y，且x的最低次数是 1，y的最低次数是2，所以公因式是 (3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公 因式是(x－y)2. (4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b. 感悟新知 归纳 找准公因式要“五看”，即：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负． 感悟新知 1 . 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(　　) A．8xy B．2xy C．4xy D．2y B 感悟新知 2. 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(　　) A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a) C．5a2b(b－a) D．以上均不正确 C 感悟新知 3. 下列各组式子中，没有公因式的是(　　) A．4a2bc与8abc2 B．a3b2＋1与a2b3－1 C．b(a－2b)2与a(2b－a)2 D．x＋1与x2－1 B 感悟新知 4. 下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是(　　) A．15a2b－20a2b2 B．30a2b3－15ab4－10a3b2 C．10a2b2－20a2b3＋50a4b5 D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2 A 感悟新知 议一议 (1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ (2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同伴交流. 知识点 提公因式法 2 感悟新知 确定一个多项式的公因式时，要从____________ 和__________________分别进行考虑 . 数字系数 字母及其指数 感悟新知 　　公因式的系数应取各项系数的最大公约数. 　　公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的. 数字系数 字母及其指数 感悟新知 例2 (1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2); (2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3); (3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1 ＝ab(8a2b－12b2c＋l)； 解： 把下列各式因式分解： (1)3x＋x3； (2)7x3－21x2; (3)8a3b2－12ab3c＋ab； (4)－24x3＋12x2－28x. 感悟新知 (4)－24x3＋12x2－28x ＝－( 24x3－12x2＋28x) ＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7) ＝ －4x(6x2－3x＋7). 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号. 感悟新知 想一想 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系? 感悟新知 例 3 导引：(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；(2)题先对所求式提取公因式，再整体代入计算． 利用提公因式法解答下列各题： (1)计算：978×85＋978×7＋978×8； (2)已知2x－y＝ ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值． 感悟新知 解： (1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800. (2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)． 当2x－y＝ ，xy＝2时，原式＝23× ＝ 感悟新知 归纳 (2)题运用整体思想，利用提公因式法化简，得到与已知条件相关的因式，再整体代入求解． 感悟新知 1. 把下列各式因式分解： (1)ma＋mb； (2)5y3＋20y2； (3)6x－9xy； (4)a2b－5ab； (5)4m3－6m2； (6)a2b－5ab＋9b； (7)－a2＋ab－ac； (8)－2x3＋4x2－6x. 感悟新知 解： (1) ma＋mb＝m(a＋b)．(2) 5y3＋20y2＝5y2(y＋4)． (3) 6x－9xy＝3x(2－3y)．(4) a2b－5ab＝ab(a－5)． (5) 4m3－6m2＝2m2(2m－3)． (6) a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)． (7) －a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)． (8) －2x3＋4x2－6x＝－2x(x2－2x＋3)． 感悟新知 2. 将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(　　) A．3a－b B．3(x－y) C．x－y D．3a＋b C 感悟新知 3. 多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是(　　) A．x4 B．x3＋1 C．x4＋1 D．x3－1 C 感悟新知 4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是(　　) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4 A 感悟新知 5. 下列多项式因式分解正确的是(　　) A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2) B 感悟新知 6. 已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值 为(　　)　 A．－6 B．6 C．－2或6 D．－2或30 B 感悟新知 7. 如果多项式－ abc＋ ab2－a2bc的一个因式是－ ab，那么另一个因式是(　　) A．c－b＋5ac B．c＋b－5ac C．c－b＋ ac D．c＋b－ ac A 感悟新知 8 . 因式分解：x2－2x＋(x－2)＝ _____________.　 9 .已知x2＋3x－2＝0，则2x3＋6x2－4x＝________. 10.若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于________． (x＋1)(x－2) 0 －2 感悟新知 练点1 公因式 1. [2024·烟台莱州市期中]多项式12 m3 n2＋8 m2 n －20 m2 n3 的公因式是(　A　) A. 4 m2 n B. 4 m2 n2 C. 2 mn D. 8 m2 n A 随堂检测 演练提升 2. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 ⁠. 2 a 　 随堂检测 演练提升 练点2 提单项式公因式分解因式 3. 把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是(　B　) A. x B. x －1 C. x ＋1 D. x2 【点拨】 x2－ x ＝ x ( x －1)，则把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是 x －1. B 随堂检测 演练提升 1、确定公因式的方法： (1)定系数 (2)定字母 (3)定指数 2、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式；第二步，提取公因式. 3、提公因式法分解因式应注意的问题： (1)公因式要提尽；(2)小心漏掉1; (3)提出负号时,要注意变号. 课堂小结 结构导图 因式分解：－14x3－21x2＋28x. 易错点：首项符号为“－”时，在利用提公因式法分解因式的过程中出现符号错误 －14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2＋3x－4)． 解： 课堂小结 结构导图 一个多项式中第一项含有“－”时，一般要将“－”一并提出，但要注意括在括号里面的各项要改变符号．本题易出现－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2－3x＋4)的错误． 易错总结： 课堂小结 结构导图 必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题 作业1 作业2 课后作业 $$