1.1 因式分解 课件　　2023—2024学年 鲁教版（五四制）数学八年级上册

第1章 因式分解 1.1 因式分解 因式分解的定义 因式分解与整式乘法的关系 学习目标 回顾与思考 口答： 反过来 课时导入 知识点 因式分解的定义 1 问 题 993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流. 感悟新知 小明是这样做的: 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800 ＝98×99×100. 所以，993－ 99能被100整除. 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数 的积的形式. 993－99还能被哪些正整数整除？ 感悟新知 议一议 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 感悟新知 做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. 感悟新知 归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)，am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都是因式分解. 因式分解也可称为分解因式. 感悟新知 特别提醒 1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积. 2. 因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变. 3. 因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止. 感悟新知 例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　) A．a2＋1＝a(a＋ ) B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y) D 感悟新知 紧扣因式分解的定义进行判断． 因为 不是整式，所以a2＋1＝a(a＋ )不是因式分解，故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，因此是因式分解，D正确． 导引： 感悟新知 1. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r). 解： (2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项式化成几个整式的积的形式． 感悟新知 2. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是(　　) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 B 感悟新知 3. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是(　　) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x C 感悟新知 做一做 计算下列各式： (1)3x(x－1)＝ (2)m(a＋b－1)＝ (3)(m＋4)(m－4)＝ (4)(y－3)2＝ 根据上面的算式进行因式分解: (1)3x2－3x＝( )( )； (2)ma＋mb－m＝( )( ) (3)m2－16＝( )( )； (4)y2－6y＋9＝( )( ) 知识点 因式分解与整式乘法的关系 2 感悟新知 整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形． 即：多项式 整式乘积． x2－1 (x＋1)(x－1) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 感悟新知 例2 导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是正确答案． 把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( 　　) A．(x＋3xy)(x－3xy) B．x(x－3xy) C．x2(1－3xy2) D．x(x－3y2) D 感悟新知 归纳 四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性． 感悟新知 例3 导引：可将20162－2016化为2016×(2016－1)，即2016× 2015. 很明显此结果可以被6，2016，2015整除，而不能被2017整除． 20162－2016不能被下列哪个数整除？(　　) A．6　 B．2017 C．2016 D．2015 B 感悟新知 归纳 本题考查整除性，将原式进行因式分解，使之化为积的形式，即可判断其整除性． 感悟新知 1. 连一连： x2－y2 9－25x2 x2＋6x＋9 xy－y2 (x＋3)2 y(x－y) (3－5x)(3＋5x) (x＋y)(x－y) 感悟新知 2. 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为____________． (a－2)2 感悟新知 3. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果(　　) A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2 C．9a2－y2 D．－9a2－y2 C 感悟新知 4. 若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 感悟新知 5. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个多项式是(　　) A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4 B 感悟新知 6. 下列因式分解正确的是(　　) A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B．(x2－4)x＝x3－4x C．ax＋bx＝(a＋b)x　　　 D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2 C 感悟新知 7. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　) A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3 B 感悟新知 练点1 因式分解的定义 1. [母题·教材P4随堂练习T2·2024·滨州期末]下列从左到右的 变形中，不是因式分解的是(　D　) A. x2－2 x ＝ x ( x －2) B. x2＋2 x ＋1＝( x ＋1)2 C. x2－4＝( x ＋2)( x －2) D. x ＋2＝ x D 随堂检测 演练提升 2. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是 ⁠. (填序号) ①( x － y )2＝ x2－2 xy ＋ y2； ② am ＋ b ＝ a ； ③ x2－2 x ＝ x ( x －2)； ④ x2－9＋6 x ＝( x ＋3)( x －3)＋6 x ； ⑤ a2－4 b2＝( a ＋2 b )( a －2 b ). ③⑤　 随堂检测 演练提升 练点2 因式分解与整式乘法的关系 3. [2024·烟台招远市期中]对于① x －3 xy ＝ x (1－3 y )，②( x ＋3)( x －1)＝ x2＋2 x －3，从左到右的变形，表述正确的 是(　D　) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是乘法运算，②是因式分解 D. ①是因式分解，②是乘法运算 D 随堂检测 演练提升 1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式． 2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程， 即：几个整式相乘 一个多项式 整式乘法 因式分解 课堂小结 结构导图 必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题 作业1 作业2 课后作业 $$