1.3.2 完全平方公式 课件　　2023—2024学年 鲁教版（五四制）数学八年级上册

第1章 因式分解 1.3 公式法 第2课时 完全平方公式 完全平方式的特征 用完全平方公式分解因式 完全平方公式在分解因式中的应用 学习目标 回忆完全平方公式： 课时导入 我们把以上两个式子叫做完全平方式 . 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项” 的积的两倍 知识点 完全平方式的特征 1 感悟新知 我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 . 感悟新知 例1 导引： (1)中b不是数b与1的乘积的2倍； (2)中ab不是a，b乘积的2倍； (3)中1与2a的乘积的2倍没有出现； (4)中a是a与 乘积的2倍． 判断下列多项式是否为完全平方式． (1)b2＋b＋1； (2)a2－ab＋b2； (3)1＋4a2； (4)a2－a＋ . 感悟新知 解：(1)不是完全平方式； (2)不是完全平方式； (3)不是完全平方式； (4)是完全平方式． 感悟新知 总结 完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍． 感悟新知 例2 错解解析： 错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间 项的符号是负的情况，产生漏解． 错解：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝2x·2. 因此m－3＝4. 所以m＝7. 若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m的值． 感悟新知 正确解法： 因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或m＝－1. 感悟新知 总结 在求与完全平方式有关的字母取值时，要注意中间项的符号有“＋”“－”两种情形，否则容易产生漏解． 感悟新知 1. 下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式因式分解： (1) x2－x＋ ； (2) 9a2b2－3ab＋1； (3) m2＋3mn＋9n2； (4) x6－10x2－25． 感悟新知 解： (1)是，x2－x＋ ＝（x- ）2 (2)不是． (3)是， m2＋3mn＋9n2＝（ m+3n）2 (4)不是． 感悟新知 2.【中考·龙岩】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9 D 感悟新知 3. 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　) A．64 B．48 C．32 D．16 A 感悟新知 4．已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为(　　) A．8 B．±8 C．24 D．±24 D 感悟新知 5.给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是________________ (写出一个即可)． 6.【中考·珠海】填空：x2＋10x＋______＝(x＋______)2. 7.【中考·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝________. 4x4(答案不唯一) 25 5 ±10 感悟新知 从项数看：都是有3项 从符号看：带平方的项符号相同(同“+”或同“－”) 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 用公式法正确分解因式关键是什么？ 熟知公式特征！ 知识点 用完全平方公式分解因式 2 感悟新知 例 3 把下列完全平方式因式分解： (1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9 ＝ [(m＋n)－3]2 ＝(m＋n－3)2. 感悟新知 例4 计算或化简下列各式： (1)2022＋202×196＋982； (2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4. 导引：对于(1)可将202×196化为2×202×98，利用完全平方公式分解因式即可计算； 对于(2)利用完全平方公式分解因式，便可达到化简的目的． 感悟新知 解：(1)原式＝2022＋2×202×98＋982 ＝(202＋98)2 ＝3002＝90 000. (2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4. 感悟新知 总结 利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想不到的解题效果． 感悟新知 1.把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2. 感悟新知 解：(1) x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2. (2) 16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2. (3) －2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2) ＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2. (4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2 ＝(3x－3y－2)2. 感悟新知 2.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A．x2＋1 B．x2＋2x－1 C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4 D 感悟新知 3．(中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　) A．(x－3)2 　　　　 　B．(x－9)2 C．(x＋3)(x－3) 　　　D．(x＋9)(x－9) 4．把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是(　　) A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2 A C 感悟新知 5．把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　) A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2 C 感悟新知 6．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　) A．a2＋b2　　 B．a＋b　　 C．a－b　　 D．a2－b2 B 感悟新知 因式分解的一般步骤： 1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式； 2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解； 3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止. 知识点 完全平方公式在分解因式中的应用 3 感悟新知 例 5 把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2； (2)－x2－4y2＋4xy ＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2. 感悟新知 1.【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(　　) A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2 C 感悟新知 2．【中考·毕节】下列因式分解正确的是(　　) A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋ C．x2－2x＋4＝(x－2)2 D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y) B ＝（x- ）2 感悟新知 3．【中考·厦门】设681×2 019－681×2 018＝a，2 015 ×2 016－2 013×2 018＝b， ＝c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a A 感悟新知 4．若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________． x2＋x 感悟新知 练点1 完全平方式 1. [2023·威海环翠区期中]下列四个多项式是完全平方式的为 (　D　) A. x2＋ xy ＋ y2 B. x2－2 xy － y2 C. 4 m2＋2 mn ＋ n2 D. a2＋ ab ＋ b2 D 随堂检测 演练提升 2. [2024·烟台蓬莱区期中]若 x2－( a －1) x ＋9是一个完全平 方式，则 a 的值是(　C　) A. 4 B. 2 C. 4或－2 D. 2或－4 【点拨】 ∵ x2－( a －1) x ＋9是一个完全平方式，∴－( a －1) ＝±2× ×3，解得 a ＝4或 a ＝－2. C 随堂检测 演练提升 3. 分解因式： (1)[2023·株洲] x2－2 x ＋1＝ ⁠； (2)[2023·无锡]4－4 x ＋ x2＝ ⁠. ( x －1)2　 (2－ x )2　 随堂检测 演练提升 完全平方公式法： 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和(或差)的平方． 即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 课堂小结 结构导图 必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题 作业1 作业2 课后作业 $$