概率分布期末专题复习讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二下期期末热点概率分布专题 热点解读 用样本估计总体，古典概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差是高考重点，高考试题强调应用性，以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查统计与概率的思想和考生的数据处理能力及应用意识。考生在复习过程中，要立足课本基础知识，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果 知识导图 解题妙计 1、条件概率公式：，乘法公式 2、全概率公式：若事件两两互斥，且它们的和，且，，则对于中的任何事件，有. 3、贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，，有， 4、均值与方差的计算 均值：；均值性质： 方差： 方差性质： 5、二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减.故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一） 6、独立重复试验与二项分布 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 7、超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 8、关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 （1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 模拟预测 一单选题 1、（22-23高二下·江苏盐城·期末）某班经典阅读小组有名成员，暑假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：、、、、，则这组数据的上四分位数为（    ） A． B． C． D． 2、（22-23高二下·江苏盐城·期末）如果随机变量，那么等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 3、（2023高二下·江苏·期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 4、（22-23高二下·江苏淮安·期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（    ）    A． B． C． D． 5、（22-23高二下·江苏苏州·期末）已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 6、（22-23高二下·江苏淮安·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 7、（22-23高二下·江苏连云港·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，事件，事件，则（    ） A． B． C． D． 8、（22-23高二下·江苏连云港·期末）设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 9、（22-23高二下·江苏徐州·期末）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10、（22-23高二下·江苏徐州·期末）已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 11、（22-23高二下·江苏扬州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．若越大，则越大 12、（22-23高二下·江苏连云港·期末）袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（    ） A．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是 B．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是 C．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是 D．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是 13、（22-23高二下·江苏南通·期末）某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占75%，乙地块产出苹果中一级果个数占60%，丙地块产出苹果中一级果个数占80%．已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2：5：3，现将三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是（    ） A．任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2 B．任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75 C．任取一个苹果是一级果的概率为0.69 D．如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为 14、（22-23高二下·江苏徐州·期末）某市两万名高三学生数学期末统考成绩（满分150分）近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，．） A．该次成绩高于144分的学生约有27人 B．任取该市一名高三学生，其成绩低于80分的概率约为0.023 C．若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分 D．试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.60 三、填空题 15、（22-23高二下·江苏盐城·期末）某射手射击三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 ． 16、（22-23高二下·江苏扬州·期末）五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则 ， . 17、（22-23高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，则 ． 18、（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量的概率分布列如下表所示，当时， ． 0 1 2 19、（22-23高二下·江苏连云港·期末）某厂用甲､乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占，而各自的产品中废品率分别为，则该厂这种零件的废品率为 . 20、（22-23高二下·江苏南通·期末）如果随机变量，且，则 ． 21、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 四、解答题 22、（22-23高二下·江苏盐城·期末）在学校校本研究活动中，数学兴趣小组开展了一个特别的投骰子游戏.如果学生投中1或6得2分，并且可以继续下一次投骰子；如果投中2或5得1分，也可以继续下一次投骰子；如果投中3或4得0分且游戏结束．但投骰子的次数最多不超过3次．用X表示游戏结束时学生累计获得的分数． (1)求该学生获得2分的概率； (2)求的分布列及数学期望． 23、（22-23高二下·江苏扬州·期末）在这7个自然数中. (1)每次取一个数，取后放回，共取3次，设为取到奇数的次数，求的数学期望； (2)任取3个不同的数，设为其中奇数的个数，求的概率分布. 24、（22-23高二下·江苏淮安·期末）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为；乙投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为．假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立． (1)求甲投壶3次得分为3分的概率； (2)求乙投壶多少次，得分为8分的概率最大． 25、（22-23高二下·江苏连云港·期末）李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二､第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立. (1)求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望. 26、（22-23高二下·江苏南通·期末）有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B． (1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由； (2)求． 27、（22-23高二下·江苏徐州·期末）甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． (1)求第一次取出的球是红球的概率； (2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 28、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅2022年6月印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022－2025年）》，为了更具有针对性，某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区500个家庭中随机抽取了个家庭燃气使用情况进行调查，统计这个家庭燃气使用量（单位：m3），得到如下频数分布表（第一行是燃气使用量，第二行是频数），并将这一个月燃气使用量超过22 m3的家庭定为“超标”家庭． 8 14 16 30 16 12 4 (1)估计该社区这一个月燃气使用量的平均值； (2)若该社区这一个月燃气使用量大致服从正态分布，其中近似为个样本家庭的平均值（精确到m3），估计该社区中“超标”家庭的户数； (3)根据原始样本数据，在抽取的个家庭中，这一个月共有个“超标”家庭，市政府决定从这8个“超标”家庭中任选个跟踪调查其使用情况．设这一个月燃气使用量不小于m3的家庭个数为，求的分布列和数学期望． 附：若服从正态分布，则， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下期期末热点概率分布专题 热点解读 用样本估计总体，古典概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差是高考重点，高考试题强调应用性，以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查统计与概率的思想和考生的数据处理能力及应用意识。考生在复习过程中，要立足课本基础知识，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果 知识导图 解题妙计 1、条件概率公式：，乘法公式 2、全概率公式：若事件两两互斥，且它们的和，且，，则对于中的任何事件，有. 3、贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，，有， 4、均值与方差的计算 均值：；均值性质： 方差： 方差性质： 5、二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减.故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一） 6、独立重复试验与二项分布 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 7、超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 8、关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 （1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 模拟预测 一单选题 1、（22-23高二下·江苏盐城·期末）某班经典阅读小组有名成员，暑假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：、、、、，则这组数据的上四分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：、、、、， 因为，因此，这组数据的上四分位数为. 故选：D. 2、（22-23高二下·江苏盐城·期末）如果随机变量，那么等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用二项分布数学期望的公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3、（2023高二下·江苏·期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率计算公式，先算出所选3人中没有1名女生的情况的概率，继而得出所选3人中至少有1名女生的概率. 【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛共有种，所选3人中没有1名女生的情况有，所以所选3人中至少有1名女生的概率是. 故选：D． 4、（22-23高二下·江苏淮安·期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果. 【详解】所有“重卦”共有种； 恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的“重卦”种数有种， 恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率为. 故选：B. 5、（22-23高二下·江苏苏州·期末）已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可求得，，然后根据条件概率，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 根据条件概率可知，. 故选：A. 6、（22-23高二下·江苏淮安·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得. 【详解】因为，，， 所以，，又， 所以， 所以，故A错误； 由，可得，故B错误； 所以，故C正确； 所以，，故D错误. 故选：C. 7、（22-23高二下·江苏连云港·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，事件，事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，和，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题知，，，， 所以. 故选：B 8、（22-23高二下·江苏连云港·期末）设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线的性质即可求解. 【详解】因为，， 所以根据正态分布曲线特征可得，，即. 故选：D 9、（22-23高二下·江苏徐州·期末）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据二项分布的概率公式来解. 【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则， 故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为. 故选：B. 二、多选题 10、（22-23高二下·江苏徐州·期末）已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用条件概率公式和相互独立事件的概率公式对选项一一判断即可. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 所以，即，故A正确； 对于B，因为①，， 又因为，所以，所以 代入①可得：，所以， ，所以，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确； 故选：AB. 11、（22-23高二下·江苏扬州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．若越大，则越大 【答案】AC 【分析】根据正态分布曲线的对称性和正态分布曲线的形状，逐项判定，即可求解. 【详解】由正态分布，可得对称轴为， 对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确； 对于B中，根据正态分布区间的对称性，可得， 所以，所以B不正确； 对于C中，根据正态分布区间的对称性，可得， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布曲线，越大，正态分布曲线越扁平，所以越小，所以D不正确. 故选：AC. 12、（22-23高二下·江苏连云港·期末）袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（    ） A．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是 B．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是 C．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是 D．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是 【答案】BCD 【分析】AB选项，考虑有放回时，利用白球和黑球个数比例求出相应的概率；C选项，考虑两种情况，求出相应的概率求和即可；D选项，在C选项的基础上进行求解即可. 【详解】A选项，有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率为，A错误； B选项，放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球，则前两次均摸到黑球， 故概率为，B正确； C选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球， 分以下两种情况进行求解，前两次摸到1个白球，第三次摸到白球和前两次没有摸到白球，第三次摸到白球， 其中 前两次摸到1个白球，第三次摸到白球的概率为， 前两次没有摸到白球，第三次摸到白球的概率为， 综上：第三次摸到白球的概率为，C正确； D选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率为，D正确. 故选：BCD 13、（22-23高二下·江苏南通·期末）某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占75%，乙地块产出苹果中一级果个数占60%，丙地块产出苹果中一级果个数占80%．已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2：5：3，现将三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是（    ） A．任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2 B．任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75 C．任取一个苹果是一级果的概率为0.69 D．如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为 【答案】ACD 【分析】设出甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为：，对于选项A，B，C，由概率公式分别计算即可，对于选项D，在选项B，C的基础上，由条件概率公式计算即可. 【详解】已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2：5：3，可设甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为：，现将三个地块产出的苹果混放一堆， 对于A，则任取一个苹果是甲地块产出的概率为，故A正确； 对于B，由于甲地块产出苹果中一级果个数占75%， 所以甲地块产出苹果中一级果个数为， 则任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为，故B错误； 对于C，由于甲地块产出苹果中一级果个数为， 乙地块产出苹果中一级果个数为， 丙地块产出苹果中一级果个数为， 所以三块地总共产出一级果个数为：， 所以任取一个苹果是一级果的概率为，故C正确； 对于D，由条件概率可知，如果取到的一个苹果是一级果， 则其是由甲地块产出的概率为，故D正确； 故选：ACD. 14、（22-23高二下·江苏徐州·期末）某市两万名高三学生数学期末统考成绩（满分150分）近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，．） A．该次成绩高于144分的学生约有27人 B．任取该市一名高三学生，其成绩低于80分的概率约为0.023 C．若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分 D．试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.60 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性以及原则，结合选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，设两万名高三学生数学期末统考成绩为，则， 所以，则， 所以， 所以该次成绩高于144分的学生约有人，故A正确； 对于B，， 所以，故B不正确； 对于C，因为， 所以 ， 若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分，故C正确； 对于D，试卷平均得分即为，试卷总分， 所以，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题 15、（22-23高二下·江苏盐城·期末）某射手射击三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 ． 【答案】 【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案. 【详解】由题意，，， 则， ，， 则. 故答案为：. 16、（22-23高二下·江苏扬州·期末）五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则 ， . 【答案】 /0.3125 【分析】X表示向右移动的次数，则，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到与X关系，得到，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可. 【详解】设X表示向右移动的次数，则. 若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次， 所以回到原点的概率. 因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，X表示向右移动的次数则表示向左移动的次数， 则， 则， 所以. 故答案为：；. 17、（22-23高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，则 ． 【答案】/0.75 【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可． 【详解】因为随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为， 又因为， 所以，， 所以. 故答案为：. 18、（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量的概率分布列如下表所示，当时， ． 0 1 2 【答案】 【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，，即可求出，再根据方差的性质得到． 【详解】依题意，解得， 0 1 2 ， ， 故答案为：． 19、（22-23高二下·江苏连云港·期末）某厂用甲､乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占，而各自的产品中废品率分别为，则该厂这种零件的废品率为 . 【答案】 【分析】由全概率公式求解即可. 【详解】由已知得， 这种零件的废品率为. 故答案为： 20、（22-23高二下·江苏南通·期末）如果随机变量，且，则 ． 【答案】0.8/ 【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为该正态分布曲线关于对称， 所以， 故答案为：. 21、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 【答案】 /0.3 10 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为， 所以第三次取出的球为白球的概率为 ， 解得=10. 故答案为：. 四、解答题 22、（22-23高二下·江苏盐城·期末）在学校校本研究活动中，数学兴趣小组开展了一个特别的投骰子游戏.如果学生投中1或6得2分，并且可以继续下一次投骰子；如果投中2或5得1分，也可以继续下一次投骰子；如果投中3或4得0分且游戏结束．但投骰子的次数最多不超过3次．用X表示游戏结束时学生累计获得的分数． (1)求该学生获得2分的概率； (2)求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）分析该学生获得2分的情况，从而利用独立事件与互斥事件的概率公式求解即可； （2）先由题意得到的可能取值，再依次求得的取值对应的概率，从而得解. 【详解】（1）依题意，在单次投骰子中，投中1或者6的概率为，投中2或5的概率为，投中3或4的概率为， 而该学生获得2分的情况有：第一次投中投中1或者6，第二次投中3或4；第一次与第二次都投中2或5，第三次投中3或4；共2种情况， 所以该学生获得2分的概率为：. （2）依题意，可知的可能取值为， ， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 故. 23、（22-23高二下·江苏扬州·期末）在这7个自然数中. (1)每次取一个数，取后放回，共取3次，设为取到奇数的次数，求的数学期望； (2)任取3个不同的数，设为其中奇数的个数，求的概率分布. 【答案】(1)数学期望为 (2)概率分布见解析 【分析】（1）解法一，由条件确定，再根据二项分布期望公式，即可求解； 解法二，首先确定的取值，再根据独立重复事件概率公式，即可求分布列，再根据分布列求期望； （2）随机变量可能的取值为，根据超几何分布求分布列. 【详解】（1）（解法一）因为每次取到的数是奇数的概率为，取到的数不是奇数的概率为， 所以随机变量可能的取值为，且，所以. （解法二）因为随机变量可能的取值为， 所以， . 所以. （2）奇数为：，共4个；偶数为，共3个.随机变量可能的取值为. 则. 可得随机变量的概率分布为： 0 1 2 3 24、（22-23高二下·江苏淮安·期末）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为；乙投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为．假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立． (1)求甲投壶3次得分为3分的概率； (2)求乙投壶多少次，得分为8分的概率最大． 【答案】(1) (2)乙投壶6次时，得分为8分的概率最大． 【分析】（1）根据互斥事件求和公式及独立事件的乘法公式即得； （2）设乙投壶次时得分为8分的概率为，根据独立事件概率公式可得，然后根据条件可得不等式组，进而即得；或结合条件可得的值，分别计算概率比较即得. 【详解】（1）因为甲投入壶口概率为，投入壶耳概率为， 所以甲未投中的概率为， 设事件为甲投壶3次得分为3分， 则； （2）设乙投壶次时得分为8分的概率为，设投壶次中投入壶口次，投入壶耳次， 则，所以， 则， 所以，即， 整理得，结合可得， 所以乙投壶6次时，得分为8分的概率最大． 法二：设乙投壶次时得分为8分的概率为，设投壶次中投入壶口次，投入壶耳次， 则，所以， 由可得且， 所以，5，6，7，8． 因为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以当时，取得最大值，即乙投壶6次时，得分为8分的概率最大． 25、（22-23高二下·江苏连云港·期末）李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二､第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立. (1)求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，由已知列出方程组，求解得出的值，即可得出答案； （2）的可能值为，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，分别求出取不同值的概率，列出分布列，然后根据期望公式，即可得出答案. 【详解】（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，， 依题意可得 解得或（舍去）， 所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率. （2）由已知可得，的可能值为， ， ， ， ， 所以，分布列为 0 1 2 3 所以，. 26、（22-23高二下·江苏南通·期末）有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B． (1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由； (2)求． 【答案】(1)是相互独立事件；理由见解析 (2) 【分析】（1）由相互独立事件的定义判断即可； （2）由概率的性质求解即可. 【详解】（1）解法一：，，． 若A发生，则B发生的概率为； 若A不发生，则B发生的概率为； 可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率， 因此，A，B为相互独立事件． 解法二：，，，． 所以，，， 即． 因此，A，B为相互独立事件． （2）解法一：由概率性质得 ． 解法二：，，，． 所以． 27、（22-23高二下·江苏徐州·期末）甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． (1)求第一次取出的球是红球的概率； (2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）根据全概率公式和条件概率公式计算即可. 【详解】（1）设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件，“第二次取出的球是白球”为事件，则． 由题意易得，， 所以． 即第一次取出的球是红球的概率为． （2），． 故． 所以， 故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为． 28、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅2022年6月印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022－2025年）》，为了更具有针对性，某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区500个家庭中随机抽取了个家庭燃气使用情况进行调查，统计这个家庭燃气使用量（单位：m3），得到如下频数分布表（第一行是燃气使用量，第二行是频数），并将这一个月燃气使用量超过22 m3的家庭定为“超标”家庭． 8 14 16 30 16 12 4 (1)估计该社区这一个月燃气使用量的平均值； (2)若该社区这一个月燃气使用量大致服从正态分布，其中近似为个样本家庭的平均值（精确到m3），估计该社区中“超标”家庭的户数； (3)根据原始样本数据，在抽取的个家庭中，这一个月共有个“超标”家庭，市政府决定从这8个“超标”家庭中任选个跟踪调查其使用情况．设这一个月燃气使用量不小于m3的家庭个数为，求的分布列和数学期望． 附：若服从正态分布，则， ，. 【答案】(1) (2)79 (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用组中值可求燃气使用量的平均值； （2）利用正态分布的对称性结合题设中给出的数据可求该社区中“超标”家庭的户数； （3）利用超几何分布可求的分布列和数学期望． 【详解】（1）样本数据各组的中点值分别为， 则， 估计该社区这一个月燃气使用量的平均值. （2）据题意，, 则，   估计该社区500个家庭中“超标家庭”有个 （3）由频数分布表知8个“超标家庭”有4个不小于24.5，有4个在内， 则的可能取值有， ，， ，， 则的分布列为 1 2 3 4 则 学科网（北京）股份有限公司 $$