专题03 随机变量及其分布列期末专项复习讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

【高二下学期数学】【期末专项复习】【专题03】随机变量及其分布列 【知识点回顾】 一、条件概率与全概率公式 1.条件概率 1） 定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称 P(B|A)= 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2）性质：设P(A)>0，则 (1)P(B|A)∈[0，1]，P(Ω|A)=1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 2.概率的乘法公式 1）由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A). 我们称上式为概率的乘法公式. 2）推广： (1)若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). (2) 若Ai(i=1，2，3，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An)>0，则P(A1A2…An)=P(A1)· P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1). 3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)= P(Ai)P(B|Ai). 我们称此公式为全概率公式. 4.贝叶斯公式* 1）设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,…,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)= =， i=1，2,…,n. 2） 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知条件和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 二、离散型随机变量机器分布列 1.离散型随机变量X的分布列 1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 2）分布列的表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3）离散型随机变量分布列具有的两个性质 (1)pi≥0，i=1，2，…，n；(2)p1+p2+…+pn=1. 2.两点分布(0—1分布) 1） 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”，定义 X= 2） 如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. 三、离散型随机变量的数字特征 1.离散型随机变量的均值 1） 定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简 称期望. 2）性质：若X是一个离散型随机变量，则有E(aX+b)=aE(X)+b. 2.离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 离散型随机变量的方差的性质 1）设a，b为常数，则D(aX+b)=a2D(X). 2） 均值与方差的性质公式：D(X)=E(X 2)-(E(X))2. 两点分布的方差 若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)(其中p为成功概率). 四、二项分布与超几何分布 1.伯努利试验 1）伯努利试验的概念：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2） n重伯努利试验的两个特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立. 2.二项分布 1）一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A