4.4探索三角形相似的条件（第一课时） 课件2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件（第一课时） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 相似三角形的定义. 分别相等、 ⁠成比例的两个三角形叫做相似三 角形. 2. 相似三角形的性质. 相似三角形的对应角 ，对应边 ⁠. 3. 相似三角形的判定定理一. 角分别相等的两个三角形相似. 三角　 三边　 相等　 成比例　 两　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 （1）如图，在△ ABC 中， CE ⊥ AB ，垂足为 E ， BD ⊥ AC ，垂 足为 D ， CE 与 BD 交于点 F ，则图中与△ ABD 相似的三角形 有 ⁠. △ FBE ，△ ACE ，△ FCD 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】根据两角分别相等的两个三角形相似，在图中先 找相等的角，再找与△ ABD 相似的三角形. 【解析】∵ BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ AEC ＝∠ ADB ＝90°，∠ BEF ＝∠ CDF ＝90°. ∵∠ ABD ＝∠ FBE ，∠ ADB ＝∠ FEB ， ∴△ ABD ∽△ FBE . ∵∠ A ＝∠ A ，∠ ADB ＝∠ AEC ， ∴△ ABD ∽△ ACE . ∵∠ ACE ＝∠ FCD ，∠ AEC ＝∠ FDC ， 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴△ ACE ∽△ FCD . ∴△ ABD ∽△ FBE ∽△ ACE ∽△ FCD . 故答案为△ FBE ，△ ACE ， △ FCD . 【点拨】利用两角判定两个三角形相似时，关键是在图中找相 等的角.同时，需要注意公共角这一隐含的条件，如此题中∠ ABD ＝∠ FBE . 常见的隐含条件还有直角相等，对顶角相等. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件： ⁠ （填一个即可），使△ ABC ∽△ ADE 成立. ∠ B ＝∠ D （或 ∠ C ＝∠ AED ）　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】这是一个开放性的题目，只要添加一对角相等， 利用“两角分别相等的两个三角形相似”就可以得到两个三角 形相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠ BAE ＝∠2＋∠ BAE ， 即∠ BAC ＝∠ DAE . 由∠ B ＝∠ D ，∠ BAC ＝∠ DAE 可得， △ ABC ∽△ ADE . 同理，由∠ C ＝∠ AED ，∠ BAC ＝∠ DAE ， 可得△ ABC ∽△ ADE . 故答案为∠ B ＝∠ D （或∠ C ＝∠ AED ）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】对于此类开放性问题，先看结论，再找条件，关键是 根据结论去找两对等角.找相等角的技巧是“对应顶点的对应角 相等”，如：根据△ ABC ∽△ ADE ，“A”与“A”对应，那 么一定有∠ BAC ＝∠ DAE . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，点 E 是▱ ABCD 的边 BC 的延长线上一点，连接 AE 交 CD 于点 F ，则图中共有相似三角形（　B　） A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 （第1题图） B 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 在 AC 上（点 D 不与 A ， C 两点 重合）.再添加一个条件： ⁠ （填一个即可），就可证出△ ABD ∽△ ACB . （第2题图） ∠ ABD ＝∠ C （或∠ ADB ＝ ∠ ABC ）　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 M 为 BC 上一点，点 F 是 AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延长线于点 E ，交 DC 于点 N . （1）求证：△ ABM ∽△ EFA ； （2）若 AB ＝12， BM ＝5，求 DE 的长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）根据正方形的性质和已知条件得到两组相等 的角，再利用相似三角形的判定定理即可证明结论成立；（2） 利用相似三角形的性质求出 AE 的长，再求得 DE 的长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ B ＝90°， AD ∥ BC . ∴∠ AMB ＝∠ EAF . ∵ EF ⊥ AM ， ∴∠ AFE ＝90°. ∴∠ B ＝∠ AFE ＝90°. ∴△ ABM ∽△ EFA . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）解：∵∠ B ＝90°， AB ＝12， BM ＝5， ∴ AM ＝13， AD ＝12. ∵点 F 是 AM 的中点， ∴ AF ＝ AM ＝6.5. ∵△ ABM ∽△ EFA ， ∴ ＝ ， 即 ＝ . 解得 AE ＝16.9.∴ DE ＝ AE － AD ＝4.9. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】在两个三角形中找两组相等的角，是证明两个三角形 相似的基本方法. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）∠ EAF ＝∠ B ； 如图，已知 AB ∥ CD ， AD ， BC 相交于点 E ，点 F 为 EC 上一 点，且∠ EAF ＝∠ C . 求证： 证明：（1）∵ AB ∥ CD ， ∴∠ B ＝∠ C . 又∵∠ EAF ＝∠ C ， ∴∠ EAF ＝∠ B . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2） AF2＝ EF · FB . （2）∵∠ EFA ＝∠ AFB ，∠ EAF ＝∠ B ， ∴△ EFA ∽△ AFB . ∴ ＝ . ∴ AF2＝ EF · FB . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图， 在Rt△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D . （1）求证： AD2＝ BD · CD ； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若 BD ＝30， CD ＝20，求 AB 与 AC 的长. 【思路导航】（1）先证明△ ABD 与△ CAD 相似，再利用相似 三角形的对应边成比例即可证明；（2）分别证明△ ABD ∽△ CBA ，△ CAD ∽△ CBA ，再利用相似三角形的对应边成比例列 式即可求出 AB 和 AC 的长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）证明：∵∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D ， ∴∠ B ＋∠ BAD ＝90°，∠ BAD ＋∠ DAC ＝90°. ∴∠ B ＝∠ DAC . 又∵∠ BDA ＝∠ ADC ＝90°， ∴△ ABD ∽△ CAD . ∴ ＝ . ∴ AD2＝ BD · CD . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）解：∵∠ B ＝∠ B ，∠ ADB ＝∠ CAB ＝90°， ∴△ ABD ∽△ CBA . ∴ ＝ . ∴ AB2＝ BD · BC ＝ BD ·（ BD ＋ CD ）. 又∵ BD ＝30， CD ＝20，∴ AB2＝1 500. ∴ AB ＝10 .∵∠ C ＝∠ C ， ∠ ADC ＝∠ BAC ＝90°，∴△ CAD ∽△ CBA . ∴ ＝ . ∴ AC2＝ CD · BC ＝20×50＝1 000. ∴ AC ＝10 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】（1）“三点定形法”找相似三角形：①先将等积式转 化为比例式，如 AD2＝ BD · CD 转化为 ＝ ；②横看：分子 AD ， CD 来源于△ ACD ，分母 BD ， AD 来源于△ ABD ，因此考 虑证明△ ACD 与△ ABD 相似（或竖看：定位△ ABD 与△ ACD ）. （2）由本题的图形结构可以得到三个重要等积式（俗称射影定 理）：① AD2＝ BD · CD ；② AB2＝ BD · BC ；③ AC2＝ CD · BC . 在该图形中，只要知道其中两条线段的长度，就可以求出其他 线段的长度. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，点 P ， D 分别是 BC ， AC 边上的点，且∠ APD ＝∠ B . （1）求证： AC · CD ＝ CP · BP ； （1）证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C . ∵∠ APD ＝∠ B ，∴∠ APD ＝∠ B ＝∠ C . ∵∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ B ， ∠ APC ＝∠ APD ＋∠ DPC ，∴∠ BAP ＝∠ DPC . ∴△ ABP ∽△ PCD . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ ＝ . ∴ AB · CD ＝ CP · BP . 又∵ AB ＝ AC ， ∴ AC · CD ＝ CP · BP . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若 AB ＝10， BC ＝12，当 PD ∥ AB 时，求 BP 的长. （2）解：∵ PD ∥ AB ，∴∠ APD ＝∠ BAP . ∵∠ APD ＝∠ C ，∴∠ BAP ＝∠ C . 又∵∠ B ＝∠ B ， ∴△ BAP ∽△ BCA . ∴ ＝ . ∵ AB ＝10， BC ＝12， ∴ ＝ .∴ BP ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$