4.4探索三角形相似的条件（第四课时） 课件　2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件（第四课时） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图），如 果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线 段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比，这个比值 为 ，约为0.618. 注意：一条线段有两个黄金分割点. ＝ 　 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 黄金分割的判定方法. （1）定义法：长2＝短×全（或 ＝ ）. （2）比值法： ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 （1）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP ＞ PB ，则有 （　B　） A. AB2＝ AP · PB B. AP2＝ AB · PB C. PB2＝ AP · AB D. AB ＝（ ＋1） AP B 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】根据黄金分割和黄金比的定义逐项判断即可. 【解析】依据黄金分割和黄金比的定义可知， ＝ ，∴ AP2＝ AB · PB . ∵ ＝ ，∴ AB ＝ AP . 故选B. 【点拨】在黄金分割线段中，较长线段的平方等于较短线段与 原线段的乘积，一定要分清长线段和短线段. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图，已知 C ， D 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AD ＝ －1，则线段 CD 的长为 　2 －4　. 【思路导航】由黄金分割的定义及黄金比求出 AB ，再由 CD ＝ AD ＋ BC － AB 进行计算即可. 2 －4　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】∵点 C ， D 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AD ＝ －1， ∴ ＝ ， BC ＝ AD ＝ －1. ∴ AB ＝2. ∴ CD ＝ AD ＋ BC － AB ＝ －1＋ －1－2＝2 －4. 故答案为2 －4. 【点拨】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线 段中只要知道其中一条线段的长，就可以求出另外两条线段的 长，其计算过程就是多次运用黄金比. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 下列说法正确的是（　B　） A. 每条线段有且仅有一个黄金分割点 B. 黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这 条线段的0.618 C. 若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2＝ AB · BC D. 以上说法都不对 B 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，若 AC ＞ BC ， BC ＝2，则 AC ＝ ⁠. ＋1　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.现将折叠黄金矩形的方 法归纳如下（如图所示）. 第一步：作一个正方形 ABCD ； 第二步：分别取 AD ， BC 的中点 M ， N ，连接 MN ； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 第三步：以点 N 为圆心， ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 点 E ； 第四步：过点 E 作 EF ⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 F . 请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形. 【思路导航】把正方形的边长设为2 a ，然后利用作图和勾股 定理可以把 CE 的长计算出来，最后判断其比值是否为黄金 比即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 证明：在正方形 ABCD 中，设 BC ＝ CD ＝2 a . ∵点 N 为 BC 的中点， ∴ NC ＝ BC ＝ a . 在Rt△ DNC 中， ND ＝ ＝ ＝ a . 由作图可知， NE ＝ ND ＝ a ， ∴ CE ＝ NE － NC ＝（ －1） a . ∴ ＝ ＝ . ∴矩形 DCEF 为黄金矩形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解答本题的关键是掌握正方形的性质和黄金比的定义. 求线段比例问题中，常先设出基本线段的长（如设 BC ＝ CD ＝2 a ），再用其表示其他线段. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图1，已知线段 AB ＝2，点 C 在线段 AB 上，且满足 ＝ .如 图2，以图1中的 AC ， BC 长为边构建矩形 AFBC ，以 CB 长为边 构建正方形 DBCE ，则矩形 AFDE 的面积为 ⁠. 图1 图2 10 －22　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】如图1，∵ ＝ ， AB ＝2， ∴ AC ＝ AB ＝ ×2＝ －1. ∴ BC ＝ AB － AC ＝2－（ －1）＝3－ . 如图2，∵四边形 DBCE 为正方形，∴ EC ＝ BC . ∴ AE ＝ AC － CE ＝ AC － BC ＝ （ －1）－（3－ ）＝2 －4. 图1 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴矩形 AFDE 的面积＝ AF · AE ＝ BC · AE ＝（3－ ）×（2 －4）＝10 －22. 故答案为10 －22. 图1 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，以定线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连接 PD ，在 BA 的延长线上取点 F ，使 PF ＝ PD ，以 AF 为边作正方 形 AMEF ，点 M 在线段 AD 上（ AM ＞ MD ）. （1）求证：点 M 是线段 AD 的黄金分割点. （2）作 PN ⊥ PD 交 BC 于点 N ，连接 ND . △ PDN 与△ BPN 是否相似？若相似，证明 你的结论；若不相似，请说明理由. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）设正方形 ABCD 的边长为2 a ，求出 AM 的长 （用含 a 的代数式表示），证明 ＝ ，即可得到点 M 是线 段 AD 的黄金分割点；（2）易得∠ DPN ＝∠ PBN ＝90°，要证 △ PDN ∽△ BPN ，只需证 ＝ 即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）证明：设正方形 ABCD 的边长为2 a ，则有 AD ＝2 a ， AP ＝ a ， PD ＝ ＝ a . ∴ PF ＝ PD ＝ a . ∴ AM ＝ AF ＝ PF － AP ＝（ －1） a . ∴ ＝ ＝ . ∴点 M 是线段 AD 的黄金分割点. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）解：△ PDN ∽△ BPN . 证明如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ DAP ＝∠ PBN ＝90°. ∴∠ ADP ＋∠ APD ＝90°. ∵ PN ⊥ PD ， ∴∠ DPN ＝90°. ∴∠ APD ＋∠ BPN ＝90°. ∴∠ ADP ＝∠ BPN . ∴△ DAP ∽△ PBN . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ ＝ . ∵点 P 是 AB 的中点， ∴ AP ＝ PB . ∴ ＝ ， 即 ＝ . 又∵∠ DPN ＝∠ PBN ＝90°， ∴△ PDN ∽△ BPN . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本题主要考查正方形的性质、黄金分割点、相似三角 形的判定与性质等知识.把证明 ＝ 转化为证明 ＝ ，进 而转化为证明△ DAP ∽△ PBN 是解决第（2）小题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，用边长为 a 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABDE 得折痕 MN ，连接 EN ，把边 AE 折到线段 EN 上，即使点 A 的对应点 H 落在 EN 上，得折痕 EC ，请证明：点 C 是线段 AB 的 黄金分割点. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 证明：如答图，设 EC 与 MN 交于点 P . 由题可知， MN ∥ AB ，且点 M 为 EA 中点， ∴ ＝ ＝ . 过点 P 作 PQ ⊥ EN 于点 Q . 易知 EC 平分∠ AEN ，∴ PM ＝ PQ . 设 PM ＝ PQ ＝ AC ＝ x ， 则 PN ＝ MN － PM ＝ a － x . 在Rt△ NDE 中，根据勾股定理，得 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 EN ＝ ＝ ＝ a . 易知△ PQN ∽△ EMN ， ∴ ＝ ， 即 ＝ . ∴ ＝ . 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解得 x ＝ a . ∴ AC ＝2 x ＝ a . ∴ ＝ ＝ . ∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点. 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$