2025届高三数学一轮复习对点练5：二次函数及其性质

2025届高三数学一轮复习对点练5　二次函数及其性质 【基础巩固】 1.函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3] 2.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x 3.(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 4.已知f(x)＝－x2＋2ax＋1，则(　　) A.f(a)>f(a－1)>f(a＋1) B.f(a)>f(a－1)＝f(a＋1) C.f(a)<f(a－1)＝f(a＋1) D.f(a＋1)>f(a－1)>f(a) 5.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 6.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) 7.(多选)(2024·宜昌质检)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　) A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(|x|)有四个零点 8.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为____________. 9.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________. 10.(2024·盐城模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________. 11.(2024·大庆质检)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 12.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上单调，求m的取值范围. 【能力提升】 13.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞) 14.(2024·佛山质检)设a，b，c∈R且a≠0，函数g(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝(x＋2)g(x)，若f(x)＋f(－x)＝0，则下列判断正确的是(　　) A.g(x)的最大值为－a B.g(x)的最小值为－a C.g(2＋x)＝g(2－x) D.g(2＋x)＝g(－x) 15.定义：如果在函数y＝f(x)的定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________. 16.已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]? 参考答案 1.A　[易知函数y＝x2－2ax＋3的单调递减区间是(－∞，a]，故a≥3.] 2.B　[二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 可得则a＝3，b＝－2， 所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.] 3.C　[若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D； 对于B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.] 4.B　[函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝a，故f(a)>f(a－1)＝f(a＋1).] 5.A　[由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0， 又f(0)＝f(4)>f(1)， 所以f(x)的图象开口向上，a>0.故选A.] 6.B　[易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线， 当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3， 由y＝－2，得x＝1或x＝3， 因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B.] 7.ABC　[二次函数对应二次方程根的判别式 Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确； 由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a， ＋＝＝，故B正确； 因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确； 当a＝0时，y＝f(|x|)＝x2－2|x|有3个零点，故D不正确.] 8.f(x)＝x2－4x＋3　[∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立， ∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3， 设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)， ∵f(x)的图象过点(4，3)， ∴3a＝3，∴a＝1， ∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3.] 9.[－2，0]　[当0≤x≤1时，φ(x)＝x2－mx＋m， 此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0； 当x>1时，φ(x)＝x2＋mx－m， 此时φ(x)单调递增，则－≤1，则m≥－2. 综上，实数m的取值范围是[－2，0].] 10.[2，4]　[解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2， 解得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2， 解得x＝2， 由于f(x)在[a，b]上的值域为[－2，2]. 若f(x)在[a，b]上单调， 则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]， 此时b－a取得最小值2； 若f(x)在[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4. 所以b－a的取值范围是[2，4].] 11.解　当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2. 当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为x＝. ①当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f(x)min＝f＝－＝－. ②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴x＝＜0， ∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 综上所述，f(x)min＝ 12.解　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a≠0). 当a＞0时，f(x)在[2，3]上单调递增， 故⇒⇒ 当a＜0时，f(x)在[2，3]上单调递减， 故⇒⇒ (2)因为b＜1，所以a＝1，b＝0， 即f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， 因为g(x)在[2，4]上单调， 所以≤2或≥4， 解得m≤2或m≥6. 故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞). 13.C　[二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1， ∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)， 即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数， ∴a－1≤－1或a－1≥2， ∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞).] 14.D　[因为g(x)＝ax2＋bx＋c， 所以f(x)＝(x＋2)g(x)＝(x＋2)(ax2＋bx＋c) ＝ax3＋(b＋2a)x2＋(c＋2b)x＋2c. 因为f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(x)是奇函数， 所以即b＝－2a，c＝0， 所以g(x)＝ax2－2ax. 因为a≠0，不清楚a是正还是负， 所以不能确定g(x)有最大值还是最小值， 所以A，B均不正确. g(x)图象的对称轴为直线x＝－＝1. 若g(2＋x)＝g(2－x)，则g(x)的图象关于直线x＝2对称； 若g(2＋x)＝g(－x)，则g(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以C不正确，D正确.] 15.(0，2)　[因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数， 设x0为均值点， 所以＝m＝f(x0)， 即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根， 解方程得x0＝1或m－1. 由于x0≠±1， 则x0＝m－1， 所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2， 所以实数m的取值范围是(0，2).] 16.解　(1)由f(x)＝ax2＋bx，且f(2)＝0， 则4a＋2b＝0，又方程f(x)＝x有等根， 即ax2＋(b－1)x＝0有等根， 得b＝1，从而a＝－， 所以f(x)＝－x2＋x. (2)假定存在符合条件的m，n，由(1)知 f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤， 则有2n≤，即n≤. 又f(x)图象的对称轴为直线x＝1， 则f(x)在[m，n]上单调递增， 于是得 即 解方程组得m＝－2，n＝0， 所以存在m＝－2，n＝0，使函数f(x)在[－2，0]上的值域为[－4，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$