4.3 相似多边形 课件　　2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 3　相似多边形 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 相似多边形的相关定义. （1）各角分别 、各边 ⁠的两个多边形叫做相 似多边形.用符号“ ”表示，该符号读作“ ”. 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上. （2）相似多边形 叫做相似比. 2. 相似多边形的性质. 相似多边形对应角 ，对应边 ，对应边的比 都等于 ⁠. 相等　 成比例　 ∽　 相似于　 对应边的比　 相等　 成比例　 相似比　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 （1）下列命题中，正确的是（　B　） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 B 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】根据相似多边形的定义，从角和边分别进行判定. 【解析】A. 等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确 定，所以A选项错误；B. 由于所有的等边三角形的各角都是 60°，三边相等，所以任意两个等边三角形三边的比都相等，选 项B正确；C. 由于菱形的角不能确定，所以所有的菱形不一定 相似，选项C错误；D. 由于矩形的四条边不能确定，所以所有 的矩形不一定相似，选项D错误.故选B. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】（1）两个多边形相似，必须同时满足：①各角分别相 等；②各边成比例.两个条件缺一不可.（2）常见的相似多边形 有：等腰直角三角形、等边三角形、正方形、正多边形等. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图，已知四边形 ABCD ∽四边形 EFGH ，求∠α，∠β 的 大小和 EH 的长度. 【思路导航】利用相似多边形的性质分别计算角和边. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：∵四边形 ABCD ∽四边形 EFGH ， ∴∠α＝∠ C ＝83°，∠ A ＝∠ E ＝118°. 在四边形 ABCD 中，∠β＝360°－83°－78°－118°＝81°. ∵四边形 ABCD ∽四边形 EFGH ， ∴ AD ∶ EH ＝ AB ∶ EF ， 即21∶ x ＝18∶24. 解得 x ＝28. ∴ EH ＝28 cm. 【点拨】相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 下列说法正确的是（　C　） A. 任意两个直角三角形相似 B. 任意两个梯形相似 C. 任意两个等腰直角三角形相似 D. 任意两个平行四边形相似 C 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 已知两个相似多边形的最长边分别为10 cm和20 cm ，其中一 个多边形的最短边为5 cm，则另一个多边形的最短边为 ⁠ ⁠. 2.5 cm 或10 cm　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，已知矩形 ABCD 的长 AB ＝30，宽 BC ＝20. （1）如图1，若沿矩形 ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所 形成的矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '相似吗？请说明理由. 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图2，当 x 为多少时，图中的矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '相似？ 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）两个矩形的角都相等（均为90°），只需要 判断它们的边是否成比例即可；（2）要使这两个矩形相似，它 们的边就要成比例，这两个矩形相似有两种情况，分别列比例 解答即可. 解：（1）不相似，理由如下： ∵ AB ＝30， BC ＝20， ∴ A ' B '＝28， B ' C '＝18. 又∵ ≠ ， ∴矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '不相似. 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '相似， 则有 ＝ 或 ＝ ， 即 ＝ 或 ＝ . 解得 x ＝1.5或 x ＝9. ∴当 x ＝1.5或 x ＝9时，矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '相似. 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】要使多边形相似，既要看角，又要看边.一般地，根据 对应边成比例，我们可以列比例解答.同时需要注意，若题干中 未明确给出矩形 ABCD ∽矩形 A ' B ' C ' D '，则存在两种情况：矩 形 ABCD ∽矩形 A ' B ' C ' D '或矩形 ABCD ∽矩形 B ' C ' D ' A '，它们 的对应边不同. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，已知左边格点图中有一个四边形 ABCD ，请在右边的 格点图中画一个与该四边形相似的四边形 A ' B ' C ' D '. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：如图所示.（答案不唯一） 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，已知点 G 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，作 GE ⊥ AD ， GF ⊥ AB ，垂足分别为 E ， F . 求证：四边形 AFGE 与四 边形 ABCD 相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ，∠ DAC ＝∠ BAC ＝45°. ∵ GE ⊥ AD ， GF ⊥ AB ， ∴ EG ＝ FG ，且 AE ＝ EG ， AF ＝ FG . ∴ AE ＝ EG ＝ FG ＝ AF . ∴四边形 AFGE 为正方形. ∴ ＝ ＝ ＝ ，且∠ EAF ＝∠ DAB ，∠ AFG ＝∠ ABC ， ∠ FGE ＝∠ BCD ，∠ AEG ＝∠ ADC . ∴四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图1，已知矩形 ODEF 的一边落在矩形 ABCO 的一边上，并且 矩形 ODEF ∽矩形 ABCO ，其相似比为1∶4，矩形 ABCO 的边 AB ＝4， BC ＝4 . 图1 （1）求矩形 ODEF 的面积； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图2，将图1中的矩形 ODEF 绕点 O 逆时针旋转一周，连 接 EC ， EA ， AC ，求旋转过程中△ ACE 面积的最小值. 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）根据相似多边形的性质求出 OD 和 DE 的 长，即可得到小矩形的面积；（2） AC 长是一个定值，求出点 E 到 AC 的距离的最小值即可求出△ ACE 的面积的最小值. 解：（1）∵矩形 ODEF ∽矩形 ABCO ，其相似比为1∶4， ∴ ＝ ＝ . ∵ AB ＝4， BC ＝4 ， ∴ OD ＝1， DE ＝ . ∴ ＝1× ＝ . 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）连接 OE ，根据勾股定理，得 OE ＝ ＝ ＝2. 设点 O 到 AC 的距离为 H ，当点 E 在点 O 到 AC 的垂线段上时， △ ACE 的面积取最小值. ∵ AC ＝ ＝ ＝8， ∴ ·8 H ＝ ×4×4 . 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解得 H ＝2 . ∴当点 E 到 AC 的距离为2 －2时，△ ACE 的面积最小，为 ×8× ＝8 －8. 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本题考查相似多边形的性质、矩形的性质、勾股定 理，理解点 E 在点 O 到 AC 的垂线段上时 AC 边上的高取最小值 是解本题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，已知点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点， 以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG ，且菱形 AEFG ∽菱形 ABCD ，相似比为 ∶2，连接 EB ， GD . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求证： EB ＝ GD ； （1）证明：∵菱形 AEFG ∽菱形 ABCD ， ∴∠ EAG ＝∠ BAD . ∴∠ EAG ＋∠ GAB ＝∠ BAD ＋∠ GAB . ∴∠ EAB ＝∠ GAD . 又∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是菱形， ∴ AE ＝ AG ， AB ＝ AD . ∴△ AEB ≌△ AGD （SAS）. ∴ EB ＝ GD . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若∠ DAB ＝60°， AB ＝2，求 GD 的长. （2）解：如图，连接 BD ，交 AC 于点 P ，则 BP ⊥ AC . ∵∠ DAB ＝60°， ∴∠PA B ＝30°. ∴ BP ＝ AB ＝1. ∴ AP ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∵菱形 AEFG ∽菱形 ABCD ，相似比为 ∶2， AB ＝2， ∴ AE ＝ . ∴ EP ＝2 . ∴ EB ＝ ＝ ＝ . ∴ GD ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$