函数与导数解答题专题练-2024届高考数学复习

函数与导数 1．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求a的取值范围． 2．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，求的最大值． 3．已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 4．已知函数， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)对任意的时，成立，求的取值范围. 5．已知函数． (1)求证：至多只有一个零点； (2)当时，分别为的极大值点和极小值点，若成立，求实数k的取值范围． 6．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)讨论函数的单调性. 7．已知函数，其中. (1)求曲线在点处切线的倾斜角； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围； (3)证明：. 8．已知函数． (1)若有3个极值点，求a的取值范围； (2)若，，证明：． 9．已知函数，其中． (1)当时，若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，讨论的零点个数． 10．已知函数，． (1)若对恒成立，求实数a的取值范围； (2)若曲线与x轴交于A，B两点，且线段AB的中点为，求证：． 11．在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”． (1)若，求； (2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为． （ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果） （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：． 12．若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由： (2)若，求实数的取值范围； (3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 参考答案： 1．(1) (2) （1）由于，则切点坐标为， 因为，所以切线斜率为， 故切线方程为； （2）当时，等价于， 令，， 恒成立，则恒成立，， 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意； 当时，由，得， 时，，函数单调递减，，不符合题意； 当时，，因为，所以，则， 所以函数在上单调递增，符合题意． 综上所述，，所以的取值范围为． 2．(1)极小值，无极大值； (2) （1）时，， 函数的定义域， ， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以时，取得极小值，极小值为，无极大值. （2）函数的定义域，， 当时，，函数在上单调递增， 趋向于时，趋向于，与矛盾. 当时，则时，，在上单调递减， 则时，，在上单调递增， 时，取得最小值， 最小值为， 即， 则， 令， ， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 时，取得最大值，最大值为， 即当，，的最大值为. 3．(1) (2)答案见解析 （1）因为，， 所以， 曲线在处的切线与垂直， 所以， 得； （2）由得， 当时，的定义域为， 令得， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，的定义域为， 令得 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 4．(1) (2) （1）当时，，则， 所以，又知，所以在点处的切线方程为. （2）对任意的成立，则， 则. 令，显然在单调递增， 则， 令，则， 显然在单调递增，且， 可知当时，；当时，； 所以在递减，在递增，即， 综上所述，. 5．(1)证明见解析 (2) （1）由题意得，， 当时，令，解得， ①当时，，所以在上单调递增， 又，此时函数有唯一的零点； ②当时，， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 时，单调递增， 又， 则函数在区间上无零点， 在上至多只有一个零点， 所以函数 至多只有一个零点； ③当时，， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 时，单调递增， 又， 则函数在上至多只有一个零点，在区间上无零点， 所以函数至多只有一个零点， 综上，函数至多只有一个零点； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，在单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为， 此时， 因为，所以， 因为，所以，所以, 所以，即， 设，则， 令，则， ①当时，，此时恒成立，则在上单调递增， 所以，此时， ②当时，，设的两个根为，且， 则，所以， 则当时，，此时在上单调递减， 所以当时，，此时，与 矛盾，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 6．(1)最小值 (2)答案见解析 （1）当时，由，所以， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； （2）由， 所以. ①当时，若时，， 所以为上的单调递减函数， 若时，，所以为上的单调递增函数， ②当时，， 若时，， 所以为上的单调递增函数， 若时，， 所以为上的单调递减函数， 若时，，所以为上的单调递增函数， ③当时，， 对，所以为上的单调递增函数， ④当时，， 若时，，所以为上的单调递增函数； 若时，，所以为上的单调递减函数； 若，所以为上的单调递增函数. 7．(1)0 (2)或 (3)证明见解析 （1）由， 所以， 设曲线在点处切线的倾斜角为，则， 又因为，所以， 所以曲线在点处切线的倾斜角为0. （2）由（1）知，且，解得：或， 当时，，，，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 所以； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即此时极小值不可能小于0，所以当时不符合题意； 当时，恒成立， 所以在上单调递增，即函数无极值，不满足题意， 所以当时不符合题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 所以； 综上可知实数的取值范围为或. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， ，即，即，两边取自然对数得：，则. 要证成立，只需证，. 两边同除得：，即. 只需证：，即证， 令，，，解得：， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以，即， 经检验，当时，成立. 综上可知不等式得证. 8．(1) (2)证明见解析 （1）由有3个极值点， 可得到具有3个变号零点， 当时不是的零点， 则可得在有3个交点， 构造函数，， 则，令，解得， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以， 而当时，，当时，，当时，, 所以, 则的取值范围为. （2）构造函数 则，且， 构造函数，则， 再令，则， 因为时，则，在单调递增， 而，所以在单调递增， 所以，所以在单调递增， 故，即. 9．(1) (2)答案见解析 （1）当时, ， 则， 因为在区间上单调递增，且，， 则在上恒成立， 即在上恒成立，又明显函数在上单调递增， 所以，即， 又明显函数在上单调递增，且， 所以， 所以； （2）当时，， 令，得， 令，这两个函数的图象关于直线对称 当均与直线相切时，如图：    设切点为，又，所以 则切线方程为，代入点得， 所以， 所以， 即当，的图象相切，只有一个交点， 则当，的图象不相交，没有交点， 当，的图象相交，有两个交点， 综上所述： 当时，有一个零点； 当时，无零点； 当时，有两个零点. 10．(1) (2)证明见解析 （1）解：因为函数，可得其定义域为， 由，即，化为， 因为对恒成立，即恒成立， 令，则，可得， 设，则， 当时，，当时，， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以， 当时，，当时，， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增，则， 所以实数a的取值范围是． （2）证明：令， 由（1）知方程有两个不等实根，且一根小于1，另一根大于1， 不妨设，因为， 所以， 又因为，构造函数，，则， 得在单调递增，，即， 即，即， 要证，即证， 即证，即证， 构造函数， 则， 故在区间内单调递减，则，即， 取，则有，即，故． 11．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 （1）因为，所以， 所以的分布列为： 所以. （2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件， 则，，，， 所以 ， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）知，则， 则， 设，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减； 所以，即（当且仅当时取等号）， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 12．(1)是偶函数；理由见解析 (2) (3)证明见解析 （1）因为，故对任意的都有． 又因为函数是函数的“约束函数”， 则对任意，都有， 取，可得恒成立， 即对任意的成立，故是偶函数； （2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数， 设，则， 进而， 可得，， 所以，， 设，， 则与均为上的严格增函数， 因为，恒成立， 对于恒成立， 因为，，当且仅当时，等号成立， 所以，解得得， 当时，恒成立， 所以实数的取值范围为. （3）设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对任意，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以不存在，使得， 同理可得：也不存在，使得， 所以当时，. ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有 所以是上的严格增函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$