重点01奔驰定理及三角形四心的向量表示（六大常考题型）-【高一升高二衔接】2024年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

重点01奔驰定理及三角形四心的向量表示 考点一、奔驰定理 若是内的一点，，则、、的面积之比等于 考点二、三角形“四心”的向量式 1.重心 （1）概念：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）向量表示：①为的重心； ②结合奔驰定理： 2.垂心 （1）概念：高线的交点，高线与对应边垂直 （2）向量表示：①为的垂心； ②结合奔驰定理： 3.内心 （1）概念：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 （2）向量表示：①为的内心； ②结合奔驰定理： 4.外心 （1）概念：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等 （2）向量表示：①为的外心； ②结合奔驰定理： 题型一 奔驰定理 1．已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 4．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 5．已知是内的一点，满足，设，则实数 ， ． 6．已知D是所在平面内一点，且满足，则 ． 题型二 重心问题 7．点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 8．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 10．（多选）已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 11．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 题型三 垂心问题 12． 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 13．设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 14．若是的垂心，且，则的值为 ． 15．平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 16．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 17．（多选）已知为的垂心，且，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 题型四 内心问题 18．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 19．点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 20．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 21．平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型五 外心问题 22．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 23．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 24．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 25．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 26．M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 题型六 四心的综合 27．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（    ） A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心 C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心 28．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 29．（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 30．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则O是的外心 B．若，则I是的内心 C．若，则P是的垂心 D．若，则N是的重心 31．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点是的重心 B．若，则点是的内心 C．若，则点是的外心 D．若为三角形外心，且，则为的垂心 32．（多选）点O为所在平面内一点，则（    ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的内心 C．若，则点O为的垂心 D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点01奔驰定理及三角形四心的向量表示 考点一、奔驰定理 若是内的一点，，则、、的面积之比等于 考点二、三角形“四心”的向量式 1.重心 （1）概念：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）向量表示：①为的重心； ②结合奔驰定理： 2.垂心 （1）概念：高线的交点，高线与对应边垂直 （2）向量表示：①为的垂心； ②结合奔驰定理： 3.内心 （1）概念：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 （2）向量表示：①为的内心； ②结合奔驰定理： 4.外心 （1）概念：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等 （2）向量表示：①为的外心； ②结合奔驰定理： 题型一 奔驰定理 1．已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】   如图，延长交于点，设， 易知，可得， 又，得，故， 可知， 同理，可得， 结合可得， 整理得成立， 而由题意得，故， 设即，，故，故C正确. 故选：C 2．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 由奔驰定理得，解之得，故选C． 3．在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】B 【详解】 过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示， 由于， 根据奔驰定理就有： ， 即， 因此，故点是的内心，B选项正确. 故选：B    4．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，， 因为，所以，即共线，故B错误． 对于C，当为的外心时，， 所以， 即，故C错误． 对于D，当为的内心时，（为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 5．已知是内的一点，满足，设，则实数 ， ． 【答案】 【详解】 根据奔驰定理，得， 整理得． 6．已知D是所在平面内一点，且满足，则 ． 【答案】 【详解】 解法一：设，则，易得．    解法二：， 由奔驰向量定理得． 题型二 重心问题 7．点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【详解】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A 8．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】取线段BC的中点E，则， 动点P满足：， 则，则，所以， 又为两向量的公共起点，所以三点共线， 所以直线一定通过的重心． 故选：C． 9．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A．    10．（多选）已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 对于A项，如图，点是的重心，点，，，设点，则，故A选项正确； 对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则 即,解得，故B项正确； 对于C项，因为，则， 故,即，故C项错误； 对于D项，因则，故D项错误. 故选:AB. 11．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 题型三 垂心问题 12． 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】如图所示，过点作，垂足为点． 则， 同理， 动点满足，． ，． ， ， 因此的轨迹一定通过的垂心． 故选：D． 13．设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【详解】由题意可得，则，故点是的垂心. 故选：A. 14．若是的垂心，且，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】由，得， 所以，故垂心在中线上，即高线与中线重合，故， 又，所以， 又因为，，得， 所以，即， 得到，由余弦定理得， 又，所以， 所以，所以, 得到．    故答案为：. 15．平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【详解】分别设旦华楼、笃志楼、问思楼、喷水池对应坐标点为， 则，，，，，, 所以，，， 故喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的垂心， 故选：C 16．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 17．（多选）已知为的垂心，且，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】，且，得，同理可得， 设，，则， 由于，，所以 化简得，故，得，故A正确，B错误 设，，，，， 故，，，故，故C正确，D错误. 故选：AC 题型四 内心问题 18．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【详解】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D 19．点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【详解】 由题意， 故所在的直线与三角形的高重合，故通过垂心. 故选：C． 20．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【详解】 解：因为 ， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线， 点的轨迹过的内心. 故选：． 21．平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】由得， 由得， 根据平面向量基本定理可得，， 所以，， 延长交于，延长交于， 则，又，所以， 所以为的平分线， 同理可得是的平分线， 所以为的内心. 故选：B 题型五 外心问题 22．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 23．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B 24．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】解：根据题意，，即， 所以，则向量在向量上的投影为的一半， 所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上， 所以点O为该三角形的外心． 故选：B． 25．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】C 【详解】因为， 所以， 设的中点为，则，则， 即，所以，所以点在线段的中垂线上， 故点的轨迹过的外心. 故选：C 26．M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】C 【详解】设边的中点为， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又点为边的中点， 所以点在边的垂直平分线上， 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心， 故选：C.    题型六 四心的综合 27．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（    ） A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心 C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心 【答案】C 【详解】 因为，所以， 设AB的中点D，则，所以， 所以C，G，D三点共线，即G为的中线CD上的点，且， 所以G为的重心． 因为，所以，所以O为的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得：，，所以H为的垂心. 故选：C. 28．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】B 【详解】因为，所以到顶点的距离相等，所以点为的外心； 由，则，取的中点， 则，所以，所以点是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 故选：B. 29．（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；    选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线， 则，同理， ，故B正确；    选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；    选项D：若点O为的内心，在的平分线上， 则，故D正确. 故选：ABD 30．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则O是的外心 B．若，则I是的内心 C．若，则P是的垂心 D．若，则N是的重心 【答案】B 【详解】 对于选项A：若，即到的距离相等， 根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确； 对于选项B：若，则， 即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误； 对于选项C：若， 则，即， 同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确； 对于选项D：若，则（D为AB的中点）， 即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确； 故选：B. 31．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点是的重心 B．若，则点是的内心 C．若，则点是的外心 D．若为三角形外心，且，则为的垂心 【答案】BCD 【详解】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得， 则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图， 则四边形ADFE是菱形，且，所以平分， 因为即， 所以，即， 所以， 所以三点共线，即在的平分线上， 同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，错误； 对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图， 则，且， 因为，即，又知，平分， 同理，可得平分，故O为的内心，正确； 对于C，取的中点分别为，如图， 因为，所以， 即，所以O是的外心，正确； 对于D，因为，所以，即O为AC中点，又为三角形外心， 所以，则为的垂心，正确. 故选：BCD 32．（多选）点O为所在平面内一点，则（    ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的内心 C．若，则点O为的垂心 D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心 【答案】ABD 【详解】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得， 则以为邻边作平行四边形，可得，且， 设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线， 同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确； 对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 可得四边形是菱形，则， 因为， 所以，即，即和共线，即是的角平分线， 同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确. 对于C中，如图所示，取分别为的中点， 根据向量的平行四边形法则，可得， 因为，可得， 所以，所以点在线段的垂直平分线上， 所以点为的外心，所以C不正确； 对于D中，由, 因为，可得， 即， 设为的中点，可得， 所以，即，且为的中点， 所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确. 故选：ABD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$