7.4.2 超几何分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章　随机变量及其分布 7.4.2 超几何分布 7.4 二项分布与超几何分布 2024/5/29 实例引入，提出问题 问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用又放回方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列. （1）采用有放回抽样，随机变量服从二项分布吗？ （2）如果采取不放回抽样，抽取的4件产品中次品数服从二项分布吗？若不服从，那么的分布列是什么？ 抽象概念，内涵辨析 问题2： 上述问题中不服从二项分布.你能说说这类不放回简单抽样的特征吗？你能根据这些特征尝试归纳出这一类分布的概念吗？ 一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. M N－M 记为X~H(N,n, M). 注意：(1) “总体由差异较明显的两类个体组成”： 如“男生、女生”， “正品、次品”; (2) 不放回抽样 (3) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围. 抽象概念，内涵辨析 追问： 公式中的各个字母含义是什么？ N——总体中的个体数 M——总体中的特殊个体总数（如次品总数） ——样本容量 ——样本中的特殊个体数（如次品数） 抽象概念，内涵辨析 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 抽象概念，内涵辨析 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 注意（1）超几何分布的模型是不放回的 （2）在超几何分布中，只要知道参数就可以根据公式求出不同值时的概率. 抽象概念，内涵辨析 问题3 根据已有经验，定义完超几何分布后，接下来要研究什么？ 追问： 你能推导出服从超几何分布的随机变量的均值吗？ 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数. 令 ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率. 我们猜想 抽象概念，内涵辨析 下面对均值进行证明. 证明：令m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 由随机变量的定义： 当m>0时， 当m=0时，类似可以证明结论依然成立. 若随机变量X服从超几何分布，则有E(X)= 求与超几何分布有关的均值问题，可利用均值公式，也可以直接利用E(X)=求解。 例题练习，巩固理解 解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60 个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数. (1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, X服从超几何分布, X的分布列为 例题练习，巩固理解 (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001), 如下表所示. 样本中黄球的比例 是一个随机变量, 根据表中数据计算得 因此, 在相同的误差限制下, 采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 不放回摸球: 有放回摸球: 例题练习，巩固理解 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近. 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似. 例题练习，巩固理解 问题4 二项分布与超几何分布的联系与区别是什么？ 抽样方式 分布 有放回 二项分布 无放回 超几何分布 (1)在抽样试验如抽次品或摸球模型中，二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，有放回抽取是二项分布，不放回抽取是超几何分布.两个分布的均值相同,但由于<,因此超几何分布的方差小于二项分布的方差,即超几何分布取值更集中于均值附近. (2)对于超几何分布,当N充分大,且n远远小于N时,各次抽样结果彼此影响很小,近似认为是独立的.因此,超几何分布可以用二项分布近似.但从方差角度看,由于,两个分布的方差近似相等. (3)在确定分布列时,超几何分布必须同时知道N和M,而二项分布只需要知道即可. 小结提升，提升结构 问题5 回顾本节课所学内容，并回答下列问题： （1）超几何分布的分布列是怎样的？ （2）超几何分布的均值是多少？ （3）在抽样试验（如抽次品或摸球模型）中，如何区分二项分布与超几何分布？ （1）超几何分布的分布列： （2）超几何分布的均值： （3）在抽样试验（如抽次品或摸球模型）中，二项分布与超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，有放回抽取是二项分布，不放回抽取是超几何分布，且二项分布与超几何分布的均值相等，超几何分布的方差更小. 目标检测，检验效果 下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ） 将一枚硬币连抛3次，正面朝上的次数 从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数 某射手射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数 2. 已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为 . 3.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求:(1)不放回抽样时,抽取次品数ξ的均值;(2)放回抽样时,抽取次品数η的均值. 布置作业，应用迁移 作业： 教科书第81页习题7.4第4,6,8题 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\43521\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml19428\\wps1.png" \* MERGEFORMATINET ，，.因此甲被选中的概率 . 解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\43521\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml19428\\wps5.png" \* MERGEFORMATINET ，，.X的分布列为 ，，1，2，3. 至少有1件不合格的概率为 . 也可以按如下方法求解； . $$