第8章 专题4 第2课时 范围问题（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 专题四　高考中的解析几何问题 第二课时　范围问题 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 课时作业(五十一) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 圆锥曲线中的范围问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求范围问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求范围问题． 【例】 已知椭圆E： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，又四个顶点围成的四边形面积为4 eq \r(5) . (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围． 思维导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)由点A求出b，再由四边形面积求出a，进而确定椭圆方程； (2)设出直线l的方程，联立消元，由判别式求出斜率的范围；设出直线AB，AC的方程，写出点M，N的坐标，利用条件“|PM|＋|PN|≤15”得到关于k的不等式后求解 解：(1)因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2. 又四个顶点围成的四边形面积为4 eq \r(5) ， 故 eq \f(1,2) ×2a×2b＝2ab＝4 eq \r(5) . 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,2ab＝4\r(5)，,a2＝b2＋c2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(5)，,b＝2，,c＝1，)) 故椭圆E的标准方程为 eq \f(x2,5) ＋ eq \f(y2,4) ＝1． (2)由题意可得，直线l的斜率存在， 且直线l的方程为y＝kx－3， 设B(x1，y1)，C(x2，y2). 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,4x2＋5y2＝20，)) 得 (5k2＋4)x2－30kx＋25＝0， Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0， 解得k＞1或k＜－1． 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－ eq \f(－30k,5k2＋4) ＝ eq \f(30k,5k2＋4) ，x1x2＝ eq \f(25,5k2＋4) ， 进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－ eq \f(24,5k2＋4) ， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝ k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝ eq \f(36－20k2,5k2＋4) . 直线AB的方程为y＋2＝ eq \f(y1＋2,x1) x， 令y＝－3，则x＝－ eq \f(x1,y1＋2) ， 故点M(－ eq \f(x1,y1＋2) ，－3). 直线AC的方程为y＋2＝ eq \f(y2＋2,x2) x， 令y＝－3，则x＝－ eq \f(x2,y2＋2) ， 故点N(－ eq \f(x2,y2＋2) ，－3). 所以|PM|＋|PN|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,y1＋2))) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y2＋2))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1·（y2＋2）＋x2·（y1＋2）,（y1＋2）·（y2＋2）))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1·（kx2－1）＋x2·（kx1－1）,y1·y2＋2（y1＋y2）＋4))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2kx1x2－（x1＋x2）,y1·y2＋2（y1＋y2）＋4))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k×\f(25,5k2＋4)－\f(30k,5k2＋4),\f(36－20k2,5k2＋4)－\f(48,5k2＋4)＋4))) ＝|5k|≤15， 即|k|≤3，解得－3≤k≤3. 综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3]. 【练1】 已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为 eq \f(2\r(3),3) ，且过点( eq \r(6) ，1). (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左右顶点为A，B，且动点C(m，n)，D(m，－n)在双曲线上，直线BC与直线AD交于点P，M(－ eq \r(2) ，0)，N( eq \r(2) ，0)，求 eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PN,\s\up13(→)) 的取值范围． 解：(1)设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0)) ， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(6,a2)－\f(1,b2)＝1，,c2＝a2＋b2，,\f(c,a)＝\f(2\r(3),3)，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,b2＝1，)) 所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,3) －y2＝1． (2)已知C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，n)) ，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－n)) ，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0)) ，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，0)) . 当m＝± eq \r(3) 时，动点P与点A，B重合， 当m≠± eq \r(3) 时，直线AD：y＝ eq \f(n,－\r(3)－m) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3))) ， 直线BC：y＝ eq \f(n,m－\r(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(3))) ， 联立两直线方程得y2＝ eq \f(n2,3－m2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－3)) . 又因为 eq \f(m2,3) －n2＝1，即－3n2＝3－m2， 所以y2＝－ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－3)) ，即 eq \f(x2,3) ＋y2＝1． 又 eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PN,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up13(→))＋\o(OM,\s\up13(→)))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up13(→))－\o(OM,\s\up13(→)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up13(→)))) eq \s\up12(2) － eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OM,\s\up13(→)))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up13(→)))) eq \s\up12(2) －2， 且PO∈(1， eq \r(3) ]，所以 eq \o(PM,\s\up13(→)) · eq \o(PN,\s\up13(→)) ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1)) . 【练2】 已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|＝ eq \r(2) |OP|，当l⊥x轴时，△AOB的面积为2 eq \r(2) . (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l不过坐标原点时，求F1A·F1B的取值范围． 解：(1)因为△POF2为直角三角形， 所以b2＋c2＝|PF2|2＝( eq \r(2) b)2，则b＝c，a＝ eq \r(2) b， 又S△AOB＝ eq \f(1,2) × eq \f(2b2,a) ×c＝ eq \f(b2c,a) ＝2 eq \r(2) ，所以b2c＝2 eq \r(2) a， 所以b3＝2 eq \r(2) · eq \r(2) b＝4b，则b2＝4， a2＝2b2＝8， 故椭圆C的标准方程为 eq \f(x2,8) ＋ eq \f(y2,4) ＝1． (2)由(1)知F1(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又直线l不过坐标原点， 所以设直线l的方程为x＝my＋2，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，)) 得(m2＋2)y2＋4my－4＝0， Δ＝(4m)2＋16(m2＋2)>0， 所以y1＋y2＝ eq \f(－4m,m2＋2) ，y1y2＝ eq \f(－4,m2＋2) ， ＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝ (my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝ (m2＋1)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝ (m2＋1) eq \f(－4,m2＋2) ＋4m· eq \f(－4m,m2＋2) ＋16＝－4＋ eq \f(36,m2＋2) . 因为m2＋2≥2，所以0＜ eq \f(36,m2＋2) ≤18， 所以－4＜－4＋ eq \f(36,m2＋2) ≤14， 所以的取值范围是(－4，14]. $$