第8章 微专题系列之数学运算——圆锥曲线中的“设而不求”问题（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 微专题系列之数学运算——圆锥曲线中的“设而不求”问题 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 课时作业(四十七) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学． 【例】 已知椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且满足PF2⊥x轴，|PF2|＝ eq \f(3,2) ，离心率为 eq \f(1,2) . (1)求椭圆的标准方程； (2)若M为y轴正半轴上的定点，过M的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，△AOB的面积S△AOB＝－ eq \f(3,2) tan ∠AOB，求点M的坐标． [思维过程] 明确目标→(1)求椭圆标准方程；(2)求点M的坐标． 提取信息→PF2⊥x轴，|PF2|＝ eq \f(3,2) ，离心率为 eq \f(1,2) ；M为y轴上的定点，直线l过M且与椭圆交于两点，S△AOB＝－ eq \f(3,2) tan ∠AOB. 建立联系→(1)利用离心率及|PF2|值建立方程组求a，b的值；(2)设出直线l的点斜式方程y＝kx＋t，利用三角形面积公式将条件“S△AOB＝－ eq \f(3,2) tan ∠AOB”转化为 eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝－3，再联立方程组并利用根与系数的关系求出t的值，最后确定M点的坐标． 思路导引→(1)由题意知，e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(1,2) ， eq \f(b2,a) ＝ eq \f(3,2) ，所以a＝2，b＝ eq \r(3) ， 所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1． (2)设M(0，t)(t>0)，直线l：y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由S△AOB＝－ eq \f(3,2) tan ∠AOB可得 eq \f(1,2) |OA||OB|sin ∠AOB＝－ eq \f(3,2) · eq \f(sin ∠AOB,cos ∠AOB) ， 所以|OA||OB|cos ∠AOB＝－3， 即 eq \o(OA,\s\up13(→)) · eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝x1x2＋y1y2＝－3. 联立直线l和椭圆的方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，)) 得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0， 所以x1＋x2＝ eq \f(－8kt,3＋4k2) ，x1x2＝ eq \f(4t2－12,3＋4k2) . 由x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝－3， 得(k2＋1)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝－3， 即(k2＋1) eq \f(4t2－12,3＋4k2) ＋kt eq \f(－8kt,3＋4k2) ＋t2＝－3， 化简得7t2＝3，解得t＝ eq \f(\r(21),7) 或t＝－ eq \f(\r(21),7) (舍去). 所以点M的坐标为(0， eq \f(\r(21),7) ). 【练】 过点M(1，1)作斜率为－ eq \f(1,2) 的直线与椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________________． 答案： eq \f(\r(2),2) 　解析：由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∵eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,b2)＝1，①,\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,a2)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,b2)＝1，②)) ①—②得， eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2) ＋ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2) ＝0. ∴kAB＝ eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝－ eq \f(b2,a2) ＝－ eq \f(1,2) ， ∴a2＝2b2. 又∵a2＝b2＋c2， ∴b2＝c2，即a2＝2c2， 所以e＝ eq \r(\f(c2,a2)) ＝ eq \f(\r(2),2) . $$