第8章 微专题系列之数学应用——椭圆与物理知识的交汇创新（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 微专题系列之数学应用——椭圆与物理知识的交汇创新 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 课时作业(四十六) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 椭圆的一个光学性质，即从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，双曲线和抛物线是否也有类似光学性质呢？请同学们认真探究． 圆锥曲线的光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面，如图所示． 【例】 如图所示，椭圆有这样的一个光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，若椭圆的离心率e＝ eq \f(\r(3),2) ，△PMF2的面积为△PMF1面积的3倍，则椭圆C的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 B． eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1 C． eq \f(x2,4) ＋y2＝1 D． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 [思维过程] 明确目标→求椭圆C的标准方程． 提取信息→椭圆的一个光学性质，直线l与椭圆相切，|PF1|＝1，直线l′垂直于l，交椭圆长轴于点M，椭圆离心率已知，两个三角形面积关系已知． 建立联系→结合光学知识可知直线l′平分∠F1PF2，由三角形面积之比得 eq \f(|PF1|,|PF2|) ＝ eq \f(1,3) ，且|PF1|＝1，求出a，由离心率求出b，从而求出椭圆的标准方程． 思路导引→由光学知识可知直线l′平分∠F1PF2. 又因为 eq \f(S△PMF1,S△PMF2) ＝ eq \f(\f(1,2)|F1P||PM|sin ∠F1PM,\f(1,2)|F2P||PM|sin ∠F2PM) ＝ eq \f(|PF1|,|PF2|) ＝ eq \f(1,3) ，|PF1|＝1， 所以|PF2|＝3，又|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以a＝2. 因为e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) ，b2＝a2－c2，所以b＝1， 所以椭圆C的标准方程为 eq \f(x2,4) ＋y2＝1． 答案：C 【练】 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，下列结论不正确的是(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ eq \r(（m＋R）（n＋R）) C　解析：由题设条件可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝a－c－R，①,n＝a＋c－R，②)) ∴a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确； ①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋R＝a－c，,n＋R＝a＋c，)) 可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2， ∵a2－c2＝b2， ∴b2＝(m＋R)(n＋R)，∴b＝ eq \r(（m＋R）（n＋R）) ，故D正确． $$