第8章 微专题系列之数学应用——活用直线系方程（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 微专题系列之数学应用——活用直线系方程 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 课时作业(四十三) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 直线系方程的常见类型 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2). 类型1　相交直线系方程 【例1】 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． [思维过程] 明确目标→求过点P且与已知直线垂直的直线． 提取信息→两条直线的交点． 建立联系→联立方程求出交点坐标，利用点斜式求解或利用相交直线系方程设出方程后，再利用垂直关系求解． 思路导引→(方法一)　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)， 因为k3＝ eq \f(3,4) ， 所以直线l的斜率k＝－ eq \f(4,3) ， 则方程为y－2＝－ eq \f(4,3) x，即4x＋3y－6＝0. (方法二)　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0， 由方法一可知，P(0，2)， 将其代入方程，得c＝－6， 所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. (方法三)　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， 因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0， 所以λ＝11， 所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 【练1】 经过两条直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为________________． 答案：4x－3y－6＝0　解析：设所求直线所在的直线系方程为2x＋y－8＋λ(x－2y＋1)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－8＋λ＝0.因为与直线4x－3y－7＝0平行，所以4(1－2λ)＋3(2＋λ)＝0，得λ＝2.所求直线方程为4x－3y－6＝0. 类型2　平行直线系方程 【例2】 已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴，y轴上的截距和是1的直线l的方程． [思维过程] 明确目标→求直线l的方程． 提取信息→已知直线3x－4y＋7＝0，所求直线在x轴，y轴上的截距和是1． 建立联系→(方法一)设直线方程的截距式；(方法二)利用平行直线系设出方程后再利用截距之和为1求直线方程． 思路导引→(方法一)　设直线l： eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1， 则a＋b＝1和－ eq \f(b,a) ＝ eq \f(3,4) 组成的方程组的解为a＝4，b＝－3. 故直线l的方程为 eq \f(x,4) － eq \f(y,3) ＝1，即3x－4y－12＝0. (方法二)　根据平行直线系可设直线l为3x－4y＋c＝0(c≠7)， 则直线l在两坐标轴上的截距分别是－ eq \f(c,3) ， eq \f(c,4) ， 由－ eq \f(c,3) ＋ eq \f(c,4) ＝1，知c＝－12. 故直线l的方程为3x－4y－12＝0. 【练2】 已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 D　解析：∵点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0外一点，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D. 类型3　垂直直线系方程 【例3】 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． [思维过程] 明确目标→求直线l的方程． 提取信息→已知A点坐标及直线2x＋y－10＝0. 建立联系→利用垂直直线系方程求解． 思路导引→因为所求直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， 所以设直线l的方程为x－2y＋c＝0， 又直线l经过点A(2，1)， 所以有2－2×1＋c＝0， 解得c＝0， 即所求直线l的方程为x－2y＝0. 【练3】 某直线经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0，求该直线的直线方程． 解：解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0,3x＋4y－2＝0)) ，得交点(－2，2)，斜率为－ eq \f(2,3) ，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－ eq \f(2,3) (x＋2)，即2x＋3y－2＝0. 类型4　直线系方程的应用 【例4】 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程． [思维过程] 明确目标→求直线方程． 提取信息→已知两条直线方程及两点坐标． 建立联系→利用相交直线系设出方程后利用点到直线距离求解． 思路导引→设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0， 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0， 由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离， 可得 eq \f(|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2)) ＝ eq \f(|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2)) ， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|， 解得λ＝ eq \f(29,35) 或λ＝ eq \f(1,3) ， 所以所求直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1． 【练4】 不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒过一个定点，这个定点的坐标是________________． 答案：(2，3)　解析：直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，即k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0，根据k的任意性可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0,－x－3y＋11＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝3)) ，∴不论k取何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0都经过一个定点(2，3). $$