第8章 微专题系列之数学应用——活用抛物线焦点弦的4个结论（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 微专题系列之数学应用——活用抛物线焦点弦的四个结论 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 课时作业(四十九) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝ eq \f(p2,4) ； (2)y1·y2＝－p2； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)； (4) eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(2,p) 为定值(F是抛物线的焦点). 【例】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． eq \f(9,2) C．5 D．6 [思维过程] 明确目标→求弦长|AB|. 提取信息→直线l过抛物线焦点，且满足“|AF|＝2|BF|”． 建立联系→(方法一)　将直线方程与抛物线方程联立利用焦点弦长为定值；(方法二)利用结论(3)求解；(方法三)利用结论(4)求解． 思路导引→(方法一：一般解法)　易知直线l的斜率存在，设为k， 则其方程为y＝k(x－1). 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x)) 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝ eq \f(1,2) ，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝ eq \f(9,2) . (方法二：应用结论(3))　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E， 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ， 则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m， |BC|＝|BF|＝m， |AE|＝|AD|－|BC|＝m， 所以cos θ＝ eq \f(|AE|,|AB|) ＝ eq \f(1,3) ，所以sin θ＝ eq \f(2\r(2),3) ， 所以sin2θ＝ eq \f(8,9) .又y2＝4x，知2p＝4. 故利用弦长公式|AB|＝ eq \f(2p,sin2θ) ＝ eq \f(9,2) . (方法三：应用结论(4))　因为|AF|＝2|BF|， 所以 eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(1,2|BF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(3,2|BF|) ＝ eq \f(2,p) ＝1， 解得|BF|＝ eq \f(3,2) ，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝ eq \f(9,2) . 答案：B 【练】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C． eq \f(16,3) D． eq \f(20,3) C　解析：如图，设l与x轴交于点M， 过点A作AD⊥l交l于点D， 由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4， 由F是AC的中点， 知|AF|＝2|MF|＝2p， 所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. (方法一)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＝x1＋ eq \f(p,2) ＝x1＋1＝4， 所以x1＝3，可得y1＝2 eq \r(3) ，所以A(3，2 eq \r(3) )， 又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝ eq \f(2\r(3),3－1) ＝ eq \r(3) ， 所以直线AF的方程为y＝ eq \r(3) (x－1)， 代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0， 所以x1＋x2＝ eq \f(10,3) ，|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(16,3) . (方法二)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＝x1＋ eq \f(p,2) ＝x1＋1＝4， 所以x1＝3，又x1x2＝ eq \f(p2,4) ＝1， 所以x2＝ eq \f(1,3) ，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋ eq \f(1,3) ＋2＝ eq \f(16,3) . (方法三)　因为 eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(2,p) ，|AF|＝4， 所以|BF|＝ eq \f(4,3) ，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋ eq \f(4,3) ＝ eq \f(16,3) . $$