第8章 第6节 双曲线（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 第六节　双曲线 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 定点 a<c 两条射线 a>c 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 x∈R，y≤－a 或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)， A2(a，0) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 a2＋b2 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 × × √ √ 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 课时作业(四十八) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3．通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想． 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个____F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距．其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若______，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为________； (3)若______，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1 (a>0，b>0) 图形 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1 (a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x≤－a， y∈R __________________ __________________ 对称性 对称轴：______；对称中心：____ 顶点 _________________， __________________ A1(0，－a)， A2(0，a) 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1 (a>0，b>0) 性质 渐近线 y＝± eq \f(b,a) x __________ 离心率 e＝__，e∈(1，＋∞) y＝± eq \f(a,b) x eq \f(c,a) 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1 (a>0，b>0) 性质 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝_________________ 在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”． 1．判断正误 (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　　) (2)方程 eq \f(x2,m) － eq \f(y2,n) ＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　　) (3)双曲线方程 eq \f(x2,m2) － eq \f(y2,n2) ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 eq \f(x2,m2) － eq \f(y2,n2) ＝0，即 eq \f(x,m) ± eq \f(y,n) ＝0.(　　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 eq \r(2) .(　　　) 2．(多选)方程 eq \f(x2,2＋m) － eq \f(y2,m＋1) ＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．m>－1 B．m<－2 C．m>－2 D．m<－1 答案：AB 3．(多选)已知双曲线的渐近线方程是y＝± eq \f(1,2) x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,16) ＝1 B． eq \f(x2,16) － eq \f(y2,4) ＝1 C．y2－ eq \f(x2,4) ＝1 D．x2－ eq \f(y2,4) ＝1 答案：BC 4．设P是双曲线 eq \f(x2,16) － eq \f(y2,20) ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对 B　解析：根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 5．与椭圆 eq \f(x2,49) ＋ eq \f(y2,24) ＝1有公共焦点，且离心率e＝ eq \f(5,4) 的双曲线的渐近线方程为____________________． 答案：y＝± eq \f(3,4) x 6．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 eq \f(π,3) ，则双曲线的离心率为________________． 答案：2或 eq \f(2\r(3),3) 1．P是双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,9) ＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝(　　) A．9 B．2 C．10 D．2或10 D　解析：∵双曲线的方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,9) ＝1， ∴b2＝9，即b＝3. 又∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0， ∴ eq \f(b,a) ＝ eq \f(3,2) ，即a＝2， ∴||PF1|－|PF2||＝4.∵|PF1|＝6， ∴|6－|PF2||＝4，即|PF2|＝2或10. 2．(2024·湖南长沙模拟)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 B　解析：如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点， 所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|， 所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝ |MF2|＝2<|F1F2|， 所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线． 3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________________． 答案：2 eq \r(3) 　解析：不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 eq \r(2) ， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝ eq \f(1,2) ， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝ eq \f(1,2) |PF1|·|PF2|·sin 60°＝2 eq \r(3) . 4．已知F是双曲线 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,12) ＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________________． 答案：9　解析：由题意知a＝2，b＝2 eq \r(3) ，c＝4，F(－4，0)，设右焦点H(4，0)，则|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋ eq \r(（4－1）2＋（0－4）2) ＝4＋5＝9. 1．已知方程 eq \f(x2,m2＋n) － eq \f(y2,3m2－n) ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－1， eq \r(3) ) C．(0，3) D．(0， eq \r(3) ) A　解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1．又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1<n<3. 2．双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1过点( eq \r(2) ， eq \r(3) )，离心率为2，则双曲线的方程为(　　) A． eq \f(x2,3) －y2＝1 B． x2－ eq \f(y2,3) ＝1 C． eq \f(x2,2) － eq \f(y2,3) ＝1 D． eq \f(x2,3) － eq \f(y2,2) ＝1 B　解析：由双曲线离心率e＝ eq \f(c,a) ＝2，a2＋b2＝c2，得c＝2a，b＝ eq \r(3) a，将点( eq \r(2) ， eq \r(3) )代入双曲线方程，得 eq \f(2,a2) － eq \f(3,3a2) ＝ eq \f(1,a2) ＝1，故a2＝1，b2＝3，故双曲线方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1． 3．(2023·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2 eq \r(2) ，则双曲线的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1 B． eq \f(x2,3) － eq \f(y2,2) ＝1 C． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,8) ＝1 D．x2－ eq \f(y2,2) ＝1 D　解析：由题意可知|PF1|＝ eq \f(4\r(3)c,3) ， |PF2|＝ eq \f(2\r(3)c,3) ，2b＝2 eq \r(2) ， 由双曲线的定义可得 eq \f(4\r(3)c,3) － eq \f(2\r(3)c,3) ＝2a， 即c＝ eq \r(3) a. 又b＝ eq \r(2) ，c2＝a2＋b2， ∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－ eq \f(y2,2) ＝1． 4．(2022·全国甲卷) 若双曲线y2－ eq \f(x2,m2) ＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________________． 答案： eq \f(\r(3),3) 　解析：双曲线y2－ eq \f(x2,m2) ＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m>0)) 的渐近线为y＝± eq \f(x,m) ，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2)) eq \s\up12(2) ＝1，所以圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2)) ，半径r＝1， 依题意圆心 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2)) 到渐近线x＋my＝0的距离d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2m)),\r(1＋m2)) ＝1，解得m＝ eq \f(\r(3),3) 或m＝－ eq \f(\r(3),3) (舍去). 考向1　双曲线离心率的值(或范围) 【例1】 (1)(2023·山东泰安一模)若双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(　　) A． eq \r(3) B． eq \f(2\r(3),3) C．2 D． eq \r(2) (2)已知点F是双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，2) C．(2，1＋ eq \r(2) ) D．(1，1＋ eq \r(2) ) (1)C　(2)B　解析：(1)双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x， 由对称性，不妨取y＝ eq \f(b,a) x，即bx－ay＝0. 又圆x2＋y2－4y＋2＝0化为x2＋(y－2)2＝2， 则其圆心的坐标为(0，2)，半径为 eq \r(2) . 圆心(0，2)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝ eq \r(（\r(2)）2－12) ＝1， 又由点到直线的距离公式， 可得 eq \f(|2a|,\r(b2＋a2)) ＝ eq \f(2a,c) ＝ eq \f(2,e) ＝d＝1，所以e＝2. (2)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°， 在Rt△AFE中，|AF|＝ eq \f(b2,a) ，|FE|＝a＋c， 则 eq \f(b2,a) ＜a＋c，即b2＜a2＋ac，∴2a2－c2＋ac＞0， ∴e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2. 【练1】 (2023·山东潍坊一模)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线 eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为(　　) A． eq \f(5,3) B． eq \f(5,4) C． eq \f(4,3) D． eq \f(4,5) B　解析：焦点F(0，c)到渐近线y＝ eq \f(a,b) x，即ax－by＝0的距离d＝ eq \f(|－bc|,\r(a2＋b2)) ＝b＝12，又由题知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝36，,a2＋122＝c2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝16，,c＝20，)) 所以e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(20,16) ＝ eq \f(5,4) . 考向2　双曲线的渐近线问题 【例2】 (1)点(3，0)到双曲线 eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1的一条渐近线的距离为(　　) A． eq \f(9,5) B． eq \f(8,5) C． eq \f(6,5) D． eq \f(4,5) (2)(2022·全国甲卷)记双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________________． 答案：(1)A　(2)2(满足1<e≤ eq \r(5) 皆可) 解析：(1)双曲线 eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1的渐近线方程是3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得点(3，0)到渐近线3x±4y＝0的距离为 eq \f(|3×3|,\r(32＋42)) ＝ eq \f(9,5) . (2)双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x， 结合渐近线的特点，只需0< eq \f(b,a) ≤2，即 eq \f(b2,a2) ≤4， 可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”， 所以e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(1＋\f(b2,a2)) ≤ eq \r(1＋4) ＝ eq \r(5) ， 又因为e>1，所以1<e≤ eq \r(5) .故可填2(答案不唯一，只要1＜e≤ eq \r(5) 即可). 【练2】 (2022·北京卷)已知双曲线y2＋ eq \f(x2,m) ＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),3) x，则m＝________________. 答案：－3　解析：对于双曲线y2＋ eq \f(x2,m) ＝1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2－ eq \f(x2,－m) ＝1， 则a＝1，b＝ eq \r(－m) ，又双曲线y2＋ eq \f(x2,m) ＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),3) x， 所以 eq \f(a,b) ＝ eq \f(\r(3),3) ，即 eq \f(1,\r(－m)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，解得m＝－3. 考向3　与双曲线有关的最值和范围问题 【例3】 已知M(x0，y0)是双曲线C： eq \f(x2,2) －y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是(　　) A．(－ eq \f(\r(3),3) ， eq \f(\r(3),3) ) B．(－ eq \f(\r(3),6) ， eq \f(\r(3),6) ) C．(－ eq \f(2\r(2),3) ， eq \f(2\r(2),3) ) D．(－ eq \f(2\r(3),3) ， eq \f(2\r(3),3) ) A　解析：因为F1(－ eq \r(3) ，0)，F2( eq \r(3) ，0)， 所以MF1·MF2＝(－ eq \r(3) －x0，－y0)·( eq \r(3) －x0，－y0)＝x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －3<0，又因为eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(x,2) －y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝1， 代入可得3y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －1<0，解得－ eq \f(\r(3),3) <y0< eq \f(\r(3),3) . 【练3】 (2023·山东泰安一模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且∠F1PF2＝ eq \f(π,3) ，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) 的最小值为________________． 答案：1＋ eq \f(\r(3),2) 　解析：由题意，可设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，由椭圆和双曲线的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，则|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得(2c)2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos 60°，整理得4c2＝a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋3a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ，即eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(1,e) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(3,e) ＝4，则eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(1,4e) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(3,4e) ＝1， 所以e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4e)＋\f(3,4e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ))) (e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )≥ 1＋2eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \r(\f(e,4e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) )·\f(3e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,4e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )) ＝ 1＋ eq \f(\r(3),2) .当且仅当e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝ eq \r(3) e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) 时，等号成立．所以e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋e eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) 的最小值为1＋ eq \f(\r(3),2) . 【例4】 (2023·江苏南京模拟)已知双曲线C： eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 eq \r(2) ，且经过A(0，2). (1)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2，0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设P，Q中点为M，求三角形BOM面积的取值范围． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 (1)利用待定系数法求双曲线方程； (2)设直线方程为x－2＝my(m≠0)，联立方程消元，利用根与系数的关系求出m的取值范围，求出点M的纵坐标，再表示出三角形BOM的面积，利用函数的单调性求范围 解：(1)由题意得 eq \f(c,a) ＝ eq \r(2) ， eq \f(4,a2) ＝1，c2＝a2＋b2，解得a＝b＝2. 所以双曲线C的方程为y2－x2＝4. (2)设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)与双曲线C方程联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝my，,y2－x2＝4，)) 得(1－m2)y2－4my－8＝0， 设P，Q两点的纵坐标为y1，y2， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m2≠0，,Δ＝16m2＋32（1－m2）＞0，,y1＋y2＝\f(4m,1－m2)＜0，,y1y2＝\f(－8,1－m2)＞0，)) 解得1＜m＜ eq \r(2) . 设点M的纵坐标为y0， 由点M为PQ的中点，得y0＝ eq \f(y1＋y2,2) ＝ eq \f(2m,1－m2) . 所以S△OBM＝ eq \f(1,2) |OB|·|y0|＝ eq \f(1,2) ×2× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2m,1－m2))) ＝ eq \f(2m,m2－1) ＝ eq \f(2,m－\f(1,m)) ，1＜m＜ eq \r(2) ， 易知在(1， eq \r(2) )上单调递减，故三角形BOM面积的取值范围为(2 eq \r(2) ，＋∞). 【练4】 (2023·广东惠州模拟)已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1的离心率为 eq \f(\r(5),2) ，点P(4， eq \r(3) )在C上． (1)求双曲线C的方程； (2)设过点(1，0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 eq \o(QM,\s\up13(→)) · eq \o(QN,\s\up13(→)) 为常数，若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 解析：(1)由题意得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，,a2＋b2＝c2，)))) 解得a2＝4，b2＝1． 所以双曲线C的方程为 eq \f(x2,4) －y2＝1． (2)假设存在定点Q.设定点Q(t，0)， 当直线斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－y2＝1，,x＝my＋1，)))) 得(m2－4)y2＋2my－3＝0. ∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0， 解得m2＞3且m2≠4. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴y1＋y2＝－ eq \f(2m,m2－4) ，y1y2＝－ eq \f(3,m2－4) ， ∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝ eq \f(－2m2,m2－4) ＋2＝ eq \f(－8,m2－4) ， x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－ eq \f(3m2,m2－4) － eq \f(2m2,m2－4) ＋1＝－ eq \f(4m2＋4,m2－4) ＝－4－ eq \f(20,m2－4) ， eq \o(QM,\s\up13(→)) · eq \o(QN,\s\up13(→)) ＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝(x1－t)·(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝－4－ eq \f(20,m2－4) ＋t· eq \f(8,m2－4) － eq \f(3,m2－4) ＋t2＝－4＋t2＋ eq \f(8t－23,m2－4) ， 由 eq \o(QM,\s\up13(→)) · eq \o(QN,\s\up13(→)) 为常数，得8t－23＝0，即t＝ eq \f(23,8) ， 此时 eq \o(QM,\s\up13(→)) · eq \o(QN,\s\up13(→)) ＝ eq \f(273,64) . 当直线l斜率为0时， eq \o(QM,\s\up13(→)) · eq \o(QN,\s\up13(→)) ＝ eq \f(273,64) . ∴在x轴上存在定点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23,8)，0)) ，使得 eq \o(QM,\s\up13(→)) · eq \o(QN,\s\up13(→)) 为常数． $$