第8章 第2节 两条直线的位置关系与距离公式（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 第二节　两条直线的位置关系与距离公式 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 k1＝k2 平行 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 k1·k2＝－1 垂直 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 交点 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 (2a－x0，2b－y0) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 × × × √ 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔__________．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2____． (2)两条直线垂直 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线____． 2．两直线的交点 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解．因此，可通过求解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0)) 得到两条直线l1，l2的____坐标． 3．平面直角坐标系中的距离公式 (1)两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，若两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由勾股定理可得A，B两点间的距离公式|AB|＝______________________． (2)点到直线的距离公式 在平面直角坐标系中，有一点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，则点P到 直线l的距离公式d＝____________(其中A，B不全为0). eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) (3)两平行线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_________ (其中A，B不全为0，且C1≠C2). 4．对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′______________________. (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，)) 可求出x′，y′. eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意： (1)将方程化为最简的一般形式． (2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等． 1．判断正误 (1)当直线l1和l2斜率都存在时，k1＝k2⇒l1∥l2.(　　　) (2)如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．(　　　) (3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为 eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)) .(　　　) (4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　　) 2．与直线3x－4y＋5＝0关于y轴对称的直线方程为(　　) A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0 答案：A 3．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　　) A．(2，0) B．(0，2) C．(4，6) D．(6，4) AC　解析：设B(x，y)，根据题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(（x－3）2＋（y－3）2)＝\r(（0－3）2＋（4－3）2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6，)) 所以B(2，0)或B(4，6). 4．平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0之间的距离是(　　) A． eq \f(8,5) B．2 C． eq \f(11,5) D． eq \f(7,5) 答案：B 5．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________________． 答案：1 6．(2023·武汉质检)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝________________． 答案：－4　解析：∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－ eq \f(a,4) × eq \f(2,5) ＝－1，∴a＝10， ∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0. 将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2. 将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0， 得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12， ∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4. 1．(2024·四川成都模拟)已知直线l1：x＋y＋m＝0，l2：x＋m2y＝0.则“l1∥l2”是“m＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由题意，直线l1：x＋y＋m＝0，l2：x＋m2y＝0，因为l1∥l2，可得m2＝1，解得m＝±1，所以“l1∥l2”是“m＝1”的必要不充分条件． 2．(多选)(2023·江苏常州模拟)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝3 C．若l1⊥l2，则m＝－ eq \f(1,2) D．若l1⊥l2，则m＝ eq \f(1,2) BD　解析：若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1， 当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合， ∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故A错误，B正确； 若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝ eq \f(1,2) ，故C错误，D正确． 3．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　) A．－10 B．－2 C．0 D．8 A　解析：由题意可得直线l1，l2，l3的斜率存在，可分别设为k1，k2，k3，∵l1∥l2，即k1＝k2，∴ eq \f(4－m,m＋2) ＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合).∵l2⊥l3，即k2·k3＝－1，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10. 4．(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且|AC|＝|BC|，则△ABC的欧拉线的方程为(　　) A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0 C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0 D　解析：由题设，可得kAB＝ eq \f(2－0,1－2) ＝－2， 且AB的中点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1)) ， ∴AB的垂直平分线的斜率k＝－ eq \f(1,kAB) ＝ eq \f(1,2) ， 故AB的垂直平分线方程为y＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) ＋1＝ eq \f(x,2) ＋ eq \f(1,4) ， ∵|AC|＝|BC|，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上， ∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0. 1．(2023·北京清华附中模拟)已知点P与点(3，4)的距离不大于1，则点P到直线3x＋4y＋5＝0的距离最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：设点P(x，y)，则点P到点(3，4)的距离为(x－3)2＋(y－4)2≤1，圆心(3，4)到3x＋4y＋5＝0的距离为d＝ eq \f(|3×3＋4×4＋5|,\r(32＋42)) ＝6，则点P到直线3x＋4y＋5＝0的距离最小值为6－1＝5. 2．(多选)(2024·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0 C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0 BD　解析：设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9， 直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2， 由题意知d1＝ eq \f(|m＋2|,\r(16＋36)) ，d2＝ eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)) . 因为 eq \f(d1,d2) ＝ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36)) ＝ eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)) ， 即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－ eq \f(13,3) ，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0. 3．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为 eq \f(2\r(13),13) ，则c的值是________________． 答案：2或－6　解析：依题意知， eq \f(6,3) ＝ eq \f(a,－2) ≠ eq \f(c,－1) ，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋ eq \f(c,2) ＝0. 又两平行线之间的距离为 eq \f(2\r(13),13) ，即 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋（－2）2)) ＝ eq \f(2\r(13),13) ，解得c＝2或c＝－6. 4．(2023·湖州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________． 答案：[0，10]　解析：由题意得，点P到直线的距离为 eq \f(|4×4－3×a－1|,5) ＝ eq \f(|15－3a|,5) . 又 eq \f(|15－3a|,5) ≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10， 所以a的取值范围是[0，10]. 考向1　中心对称问题 【例1】 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________． 答案：x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a).由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【练1】 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0 B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，)) 可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1).设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则 eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9)) ＝ eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9)) ，解得c＝12或c＝－6(舍去).故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0. 考向2　轴对称问题 【例2】 (1)已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________________． (2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是____________． 答案：(1)(2，6)　(2)x－2y＋3＝0　解析：(1)设点A′的坐标为(x，y)， 由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－4,x＋4)＝\f(1,3)，,3×\f(x－4,2)＋\f(y＋4,2)－2＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝6，)) 所以点A′的坐标为(2，6). (2)设所求直线上任意一点P(x，y)， 点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0），)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.)) 因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， 所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0. 【练2】 (2023·福建上杭一中月考)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A对称的直线l′的方程． 解：(1)设A′(x，y)，由l：2x－3y＋1＝0， 得y＝ eq \f(2,3) x＋ eq \f(1,3) .则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，)) 即A′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))) . (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在 m′上．设对称点为M′(a，b)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，)) 即M′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))) . 设m与l的交点为N，则由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，)) 得N(4，3).又m′经过点N(4，3)， 故km′＝ eq \f(\f(30,13)－3,\f(6,13)－4) ＝ eq \f(9,46) ， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)(方法一)　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1，1)，N(4，3)， 则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上． 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. (方法二)　设Q(x，y)为l′上任意一点， 则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y). ∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即直线l′的方程为2x－3y－9＝0. $$